18.1.3. Формально-аксіоматичні системи інтуїціоністської логіки

Розглянемо формально-аксіоматичні системи інтуїціоністської логіки пропозиційного рівня.

Аксіоматичні системи гільбертівського типу для інтуїціоністської ПЛ називаються інтуїціоністськими пропозиційними численнями (ІПЧ).

Множина правил виведення ІПЧ складається з єдиного правила:

МР) A, AB B – modus ponens.

Множина аксіом ІПЧ визначається такими схемами аксіом:

А1) A(BA)

А2) (A(BC))((AB)(AC))

А3) A&BA

А4) A&BB

А5) A(BA&B)

А6) AAB

А7) BAB

А8) (AC)(BC))(ABC)

А9) (AB)((AB)A)

АI) A(AB)

Зауважимо, що при заміні схеми аксіом АI схемою аксіом AA отримаємо пропозиційне числення класичного типу, еквівалентне пропозиційному численню, розглянутому в 2.3.

Кжна теорема ІПЧ є теоремою класичного ПЧ, але зворотне невірне. Зокрема, в ІПЧ не можна вивести формули AA, AA, проте можна довести AA.

Аксіоматичні системи генценівського типу для інтуїціоністської ПЛ називаються інтуїціоністськими секвенційними пропозиційними численнями (ІСПЧ).

Зауважимо, що Г. Генцен одночасно побудував секвенційні числення для класичної та інтуїціоністської логік.

Різні варіанти інтуїціоністських секвенційних числень наведено в [17, 33, 61].

Побудуємо тут варіант ІСПЧ, тісно пов'язаний з реляційною семантикою інтуїціоністської логіки. Такий підхід до побудови секвенційних числень і семантичних таблиць інтуїціоністської логіки розглянуто в [33].

Інтуїціоністською специфікацією назвемо слово вигляду  чи , де  – інтуїціоністський префікс, що є іменем світу, у якому специфікована формула має відповідне значення.

Інтуїціоністський префікс – це слово, символами якого є імена натуральних чисел.

Усі формули початкової секвенції мають порожній інтуїціоністський префікс.

Для префіксів пишемо   , якщо  має вигляд .

Якщо    та   , то пишемо  < .

Для префіксів    означає, що _, тобто світ  є наступником світу .

Світ вигляду n назвемо безпосереднім наступником світу .

Будемо вважати, що замкненість секвенції (суперечність) дає пара специфікованих формул вигляду _ та _. Це відповідає умові, що формула, істинна у світі , зберігає істинність у всіх його наступниках.

Крім того, введемо такі додаткові умови замкненості секвенції:

– поява в секвенції пари формул _ та _;

– поява в секвенції пари формул _ та _.

Зауважимо, що пара формул _ та _, де   , не дає замкненості секвенції.

Секвенційні форми для випадку ІСПЧ модифікуються.

Форми _, _, _&, _& аналогічні відповідним формам секвенційних числень класичної логіки. Вони не змінюють інтуїціоністського префікса нових формул – предків основної формули.

_ _

_& _&

Для форм _  та _  нові формули стверджуються чи заперечуються не у світі  основної формули висновку, а у світі-наступнику n. При цьому кожний раз таке n вибирається новим (на шляху від початкової секвенції).

_  _ 

Тут n – нове, відмінне від yсіх імен натуральних чисел, що фігурують у префіксах формул світів секвенції-висновку.

Секвенційні форми _ та _ вимагають багатократного розбиття основної формули, адже при появі нових світів-наступників світу  тут виникають спростовувані формули, які не можуть автоматично переноситися на світи-наступники.

_

Тут ₁,…, _m – імена всіх світів-наступників світу , які фігурують у секвенції-висновку.

Виконання форми _ означає побудову піддерева, коренем якого є секвенція-виcновок.

Нехай така секвенція-виcновок  має вигляд _ AB, .

Нехай ₁,…, _m – імена всіх світів-наступників світу , які фігурують ву  (це означає   _i для всіх i{1,…, m}, при цьому вважаємо  = ₁).

Позаяк з  AB випливає _i AB для всіх i{1,…, m}, то виконання форми _ зводиться до побудови піддерева  з коренем , листами якого можуть бути довільні секвенції вигляду ₁, ..., _m, , де кожна формула _i має вигляд чи .

Якщо для деякої вершини побудованого піддерева маємо , то, ураховуючи збереження істинності при русі по світах згідно з , подальше розбиття на шляхах із цієї вершини формули _AB по світах _j таких, що _i  _j, зайве. При отриманні замкненої секвенції подальше розбиття теж не виконується.

Таким чином, секвенційна форма _ має вигляд

_

Приклад 18.1.4. Побудуємо виведення секвенції _AB(AB).

_AB(AB)

_AB, _1AB

_AB, _12A, _12B

_A, _12A, _12B  _B, _12A, _12B 

Отримали замкнене секвенційне дерево, тому формула AB(AB) інтуїціоністськи істинна.

Приклад 18.1.5. Побудуємо виведення секвенції _(AB)AB.

_(AB)AB

_AB, _1AB

_AB, _1A, _1B

_AB, _12A, _1B

_AB, _A, _12A, _1B _AB, _B, _12A, _1B 

_AB, _A, _2A, _12A, _1B  _AB, _A, _12B, _12A, _1B

Отримали незамкнене секвенційне дерево, яке дозволяє вказати контрмодель М таку, що М | (AB)AB:

12

1

Згідно з незамкненим листом секвенційного дерева, задаємо I(A, 1) = F, I(B, 1) = F, I(A, 12) = T, I(B, 12) = T.

Розглянемо тепер формально-аксіоматичні системи інтуїціоністської логіки предикатів першого порядку.

Аксіоматичні системи гільбертівського типу для інтуїціоністської логіки предикатів називаються інтуїціоністськими численнями предикатів.

Логічні аксіоми інтуїціоністського числення предикатів задаються схемами аксіом ІПЧ, до яких додаємо кванторні схеми:

АQ1) AxA;

АQ2) xAA.

Множина правил виведення інтуїціоністського числення предикатів складається з трьох правил:

МР) A, AB B – modus ponens;

П) AB  xAB, якщо x не вiльна у B,  правило -введення;

П) AB AxB, якщо x не вiльна в A,  правило -введення.

Аксіоматичні системи генценівського типу для інтуїціоністської логіки першого порядку називаються інтуїціоністськими секвенційними численнями предикатів.

Базовими секвенційними формами таких числень є базові секвенційні форми ІСПЧ, до яких додаються кванторні секвенційні форми:

_ за умови, що вільна змінна у{хA}.

_ .

_ .

При застосуванні форм _ та _ множина {z₁,…, z_т} складається з усіх вільних імен множини доступних формул секвенції-висновку та її наступників.

_ за умови, що вільна змінна у{хA}.

Тут n – нове, відмінне від yсіх імен натуральних чисел, що фігурують у префіксах формул світів секвенції-висновку.

Основні результати теорії доведень класичної логіки переносяться на випадок інтуїціоністської логіки. Для інтуїціоністських числень справджуються відповідні теореми коректності та повноти. Г. Генцен довів свою теорему про нормальну форму (елімінацію перетинів) одночасно для класичної та інтуїціоністської логік. У певному розумінні інтуїціоністська логіка слабша за класичну, адже не кожна теорема інтуїціоністського числення є теоремою класичного числення. У той же час, класична логіка ізоморфно занурюється в інтуїціоністську логіку (теорема Глівенка), тобто класичну логіку можна трактувати як підсистему інтуїціоністської.

ВПРАВИ

1. Побудуйте реляційну модель M інтуїціоністської логіки таку, щоб M | (AB)(BC)(AC).

Зауважимо, що (AB)(BC)(AC) – тавтологія класичної логіки.

2. Узагальнюючи задачу 1, побудуйте таку реляційну модель M інтуїціоністської логіки: M | (A₁A₂)(A₁A₃)…(A₁A_n)…(A_n–1A_n).

Це засвідчує, що інтуїціоністська логіка не може задаватися жодною скінченною множиною істиннісних значень.

3. Побудуйте реляційну модель M інтуїціоністської логіки таку, щоб M |= xP(x) та M | xP(x).

4. Побудуйте виведення в ІПЧ і в ІСПЧ для таких формул:

а) A A; b) (A&A);

б) A A B; в) (AA);

г) A  A; д) ABA&B;

е) (AB)A В);

є) (AВC)(BАC);

ж) (AВC)((АВ)(АC)).

5. Доведіть в ІПЧ і в ІСПЧ:

а) якщо |AВ та |ВС, то |AС;

б) якщо |(AВ) та |A, то |В.

6. Побудуйте у відповідних інтуїціоністських численнях виведення чи доведіть його відсутність, побудувавши контрмодель, для таких формул:

+а) (AA); +b) A A;

+б) АВА; –в) (A&В) AB;

+г) (AВ) A&B;

+д) AB  (A&В);

+е) A&B (AВ);

–є) ((АВ)А)A;

+ж) (АВ)(ВА);

–з) ВА)(АВ);

+и) (AВ)(ВА);

–i) ВА)(АВ);

–ї) ВА)(АВ);

–й) (AВC)(AB)(AC); k) (CA)(CAB)(CB);

+к) x(P(x)P(x)).

8