Інтуїціоністська логіка
Криза основ математики на межі XIX–XX ст., зумовлена відкриттям парадоксів теорії множин, спонукала вчених шукати шляхи виходу з такого стану. Один з таких шляхів запропонував Д. Гільберт. Він висунув програму порятунку класичної математики.
Гільберт виходив з того, що математика має справу переважно з ідеальними об'єктами. Такі об'єкти використовують актуальну (завершену) нескінченність, вони далеко виходять за межі безпосереднього осмислення й обґрунтування на інтуїтивній основі. Як зауважив Гільберт, у принципі ідеальні об'єкти та твердження потрібні лише як проміжні ланки для отримання реальних результатів, і в цьому розумінні не є необхідними. Проте математика не може існувати без ідеальних об'єктів, вони необхідні для ефективності нашого мислення, без них не можна отримати реальні результати. Наприклад, аналітична теорія чисел використовує для доведень тверджень про цілі числа засоби теорії дійсних чисел і теорії комплексних чисел, причому для багатьох теорем про цілі числа неаналітичні доведення невідомі. Тому треба обґрунтувати принципову можливість вилучення ідеальних об'єктів і тверджень з виведень реальних тверджень. Доведення про можливість такої перебудови виведень необхідно проводити максимально надійними, інтуїтивно переконливими засобами, що не викликають сумнівів. Такі засоби Гільберт назвав фінітними, тому що вони мають уникати використання актуальної нескінченності. Для фінітного доведення теорем про перебудову виведень потрібно дати строге математичне уточнення мови й логічного виведення. Це означає побудову формальної системи для відповідного розділу математики. Після формалізації необхідно довести чисто фінітними методами несуперечливість і повноту отриманої формальної системи.
Як ми вже знаємо, повна реалізація програми Гільберта неможлива. Це стало зрозумілим після опублікування результатів, отриманих К. Геделем. Проте ще задовго до цього сумніви в можливості повного обґрунтування математики на основі програми Гільберта висловив голландський математик Л. Брауер. Високо оцінюючи програму Гільберта в цілому, він заявляв, що навіть якби Гільберт довів несуперечливість класичної математики, то це не зробило б класичну математику коректною. Брауер писав: "Неправильна теорія, яка не наштовхнулась на суперечність, не стає від цього правильнішою, подібно до того, як злочинна поведінка, не зупинена правосуддям, не стає від цього менш злочинною" [18]. Ще в 1908 р. Брауер стверджував, що закони математики не мають ні абсолютного, ні апріорного характеру. Вони є узагальненням роботи зі скінченними множинами стійких у часі об'єктів, тому поширення таких законів на нескінченні множини об'єктів неадекватне. Отже, необхідно або цілком відмовитися від нескінченних множин, що не зовсім розумно, або перейти до нової логіки, інтуїтивно зрозумілої. Така логіка має описувати математичні твердження не як абстрактні істину чи фальш, а як твердження про можливість виконання деякої побудови. Математичне доведення має давати побудову та її обґрунтування. Методи, що дають побудову, Брауер назвав ефективними, а запропоновану ним логіку й математику – інтуїціоністськими.
Після появи інтуїціоністської логіки постало питання про її формалізацію. Дуже цікавим є той факт, що сам Брауер стверджував, що, на відміну від класичної, інтуїціоністська математика в принципі не може бути адекватно формалізованою. У той же час Брауер запропонував своєму учневі А. Гейтінгу створити формальні моделі інтуїціоністської логіки, що й було успішно зроблено. Далі з'явились семантичні моделі (інтерпретації) інтуїціоністської логіки.
Дуже цікаву інтерпретацію, яка базується на брауерівському розумінні формул як задач, запропонував А.М. Колмогоров, а далі розвинув А. Гейтінг. Таку інтерпретацію називають інтерпретацією Колмогорова, а також BKH-інтерпретацією [33]. У ній поняттю істинності формули класичної логіки відповідає поняття реалізовності формули як задачі.
Виникнення теорії алгоритмів надало потужного імпульсу розвитку інтуїціоністської математики й логіки. Зараз існує багато різновидностей інтуїціоністської логіки. Напрям у математиці й логіці, для якого основоположними є поняття задачі та побудови, а не істини та обґрунтування, називають конструктивізмом. Інтуїціонізмом називають напрям, який безпосередньо базується на брауерівських постулатах.