18.1.1. Мова інтуїціоністської логіки
Для інтуїціоністської логіки не діє закон виключеного третього й пов'язані з ним закони де Моргана, закон зняття подвійного заперечення. Пропозиційні зв'язки , , &, тепер незалежні, еквіваленція подається через імплікацію та кон'юнкцію: PQ = (PQ)&(QP). Операції квантифікації x та x теж незалежні.
Спочатку розглянемо інтуїціоністську логіку пропозиційного рівня – інтуїціоністську пропозиційну логіку.
Задамо мову інтуїціоністської ПЛ.
Алфавiт мови складається iз символiв логiчних зв’язок , , &, та множини Ps пропозицiйних символів.
Дамо iндуктивне визначення формули мови інтуїціоністської ПЛ:
1) кожний АPs є формулою;
2) якщо та – формули, то , , &, – формули.
Множину формул мови ІЛП позначимо Fp.
Тепер розглянемо інтуїціоністську логіку предикатів першого порядку. Обмежимося випадком чистої логіки, або логіки кванторного рівня (це означає, що не виділено спеціального предиката рівності й у сигнатурі мови немає функціональних символів).
Задамо мову інтуїціоністської логіки предикатів.
Алфавiт мови складається з таких символів:
– предметнi імена (змiннi) x, y, z,...;
предикатнi символи (ПС) p0, p1, p2,... заданої арностi;
символи логiчних операцiй , , &, та x, x.
Множину Ps предикатних символів назвемо сигнатурою мови ІЛП.
Атомарною формулою мови ІЛП називається вираз вигляду px1...xn, де p – n-арний ПС, x1, ..., xn – предметнi імена (змiннi).
Дамо iндуктивне визначення формули мови інтуїціоністської логіки предикатів:
1) кожна атомарна формула є формулою;
2) якщо та формули, то , , &, формули;
3) якщо формула, x предметне iм’я, то x та x формули.
Множину формул мови інтуїціоністської логіки предикатів позначимо Fr.
18.1.2. Реляційна семантика інтуїціоністської логіки
На відміну від класичної логіки, яка є логікою конкретного знання, інтуїціоністська логіка передбачає накопичення знань. На цій ідеї Брауера базуються найпопулярніші семантичні моделі інтуїціоністської логіки – моделі можливих світів, або реляційні моделі.
Моделі можливих світів були започатковані Л. Брауером і А. Гейтінгом, далі розвинуті С. Кріпке та Я. Хінтіккою. Вони успішно використовуються також для описання семантики модальних логік.
Про інші підходи до семантики інтуїціоністської логіки див. [33, 52].
Моделлю можливих світів інтуїціоністської логіки, або реляційною інтуїціоністською моделлю назвемо трійку М = (S, , I).
Тут S – множина світів, – бінарне відношення на S, I – відображення інтерпретації. Відношення є відношенням часткового порядку на S.
Уточнимо відображення інтерпретації для випадку інтуїціоністської ПЛ:
I : PsS{T, F}.
Світи узгоджуються з відношенням таким чином.
Якщо та I(A, ) = T, то I(A, ) = T. Це означає, що при підйомі по світах істинність атомарних формул не може перейти у фальш.
Bідображення інтерпретації I : PsS{T, F} індуктивно продовжимо до відображення J : FpS{T, F}:
1) J(A, ) = I(A, ) для всіх АPs;
2) J(, ) = T J(, ) = T або J(, ) = T;
3) J(&, ) = T J(, ) = T та J(, ) = T;
4) J(, ) = T для всіх таких, що , маємо J(, ) = F;
5) J(, ) = T для всіх таких, що , маємо: якщо J(, ) = T, то J(, ) = T.
Те, що J(, ) = T, тобто істинність формули у світі , позначаємо .
Формула істинна в реляційній моделі М, що позначаємо М |=, якщо для всіх S маємо .
Формула інтуїціоністськи істинна, що позначаємо I |=, якщо для кожної реляційної моделі М маємо М .
Для випадку інтуїціоністської логіки предикатів світами є алгебраїчні системи заданої сигнатури , яка визначає мову такої логіки.
Задамо відображення інтерпретації атомарних формул на світах:
I
:
SPr).
Світи узгоджуються з відношенням таким чином.
– Нехай = (A, ), = (B, ) та . Тоді AB.
– Нехай pPs. Якщо та p(a1,..., an) = T, то p(a1,..., an) = T.
Отже, при підйомі по світах їх носії можуть тільки розширюватися, при цьому істинність атомарних формул не може перейти у фальш.
Значення формули у світі визначаємо індуктивно:
1) для атомарних формул p(d) = T означає I(p, )(d) = T;
2) ()(d) = T (d) = T або (d) = T;
3) (&)(d) = T (d) = T та (d) = T;
4) ()(d) = T для всіх таких, що , маємо (d) = F;
5) ()(d) = T для всіх таких, що , маємо: якщо (d) = T, то (d) = T;
6) (x)(d) = T для деякого aA маємо (dxa) = T;
7) (x)(d) = T для всіх таких, що , для всіх aB маємо (dxa) = T.
Істинність формули у світі позначаємо .
Формула істинна в реляційній моделі М, що позначаємо М |=, якщо для всіх S маємо .
Формула мови сигнатури інтуїціоністськи істинна, що позначаємо I |=, якщо для кожної реляційної моделі М зі світами сигнатури маємо М .
Приклад 18.1.1. Покажемо, що формула AA не є інтуїціоністськи істинною. Для цього вкажемо для неї контрмодель – реляційну модель М таку, що М | AA.
Задамо I(A, ) = F, I(A, ) = T, I(A, ) = F. Зрозуміло, що невірно A. Для A необхідно | A, | A, | A. Однак I(A, ) = T, тому |A. Отже, невірно A, звідки | AA, тому М | AA.
Приклад 18.1.2. Покажемо, що формула (AB)(BA) не є інтуїціоністськи істинною. Для цього вкажемо для неї контрмодель М таку, що М | (AB)(BA).
Задамо I(A, ) = F, I(B, ) = F, I(A, ) = T, I(B, ) = F, I(A, ) = F, I(B, ) = T. Тоді |=A та | B, звідки, ураховуючи , невірно AB. Однак |= B та |A, тому, ураховуючи , невірно BA.
Отже, невірно |= (AB)(BA), тому М | (AB)(BA).
Приклад 18.1.3. Укажемо модель М таку, що М |= x(P(x)P(x)).
…
2 A2 = {0, 1, 2}
1 A1 = {0, 1}
0 A0 = 0}
Для кожного світу n його носій – це An = {0, 1,…, n}.
Задамо
(k)
=
T
для всіх k
< n
та
(n)
=
F.
Маємо
(0)
=
F;
але
(0)
=
T
означає,
що
(0)
=
F
для всіх n,
що невірно,
тому
(0)
=
F.
Отже,
(0)
=
F.
Маємо
(1)
=
F;
але
(1)
=
T
означає,
що
(1)
=
F
для всіх n
1,
що невірно,
тому
(1)
=
F.
Отже,
(1)
=
F.
Продовжуючи,
отримуємо
(2)
=
F
і т. д.
Отже,
для кожного n
(n) = F,
тому для кожного n
= F.
Звідси n
|= x(P(x)P(x))
для кожного n,
тому М |= x(P(x)P(x)).
Зауважимо, що в класичній логіці |= x(A(x)A(x)). Отже, в інтуїціоністській логіці є формули, які суперечать формулам класичної.