Физические основы термодинамики
Первое начало термодинамики:
,
где Q – количество теплоты, сообщенное системе или отданное ею; ∆U – изменение её внутренней энергии; А – работа системы, совершаемая против внешних сил.
Работа расширения газа:
(в
общем случае);
(при
изобарном процессе);
(при
изотермическом процессе);
,
или
(при адиабатном процессе), где
– показатель адиабаты.
Уравнения Пуассона, связывающие параметры идеального газа при адиабатном процессе:
,
;
.
Термический кпд цикла:
,
где Q1 – теплота, полученная рабочим телом от теплоотдатчика; Q2 – теплота, переданная рабочим телом теплоприемнику.
Термический кпд цикла Карно:
,
где Т1 и Т2 – термодинамические температуры теплоотдатчика и теплоприем-ника.
Изменение энтропии –
,
где А и В – пределы интегрирования, соответствующие начальному и конечному состояниям системы. Так как процесс равновесный, то интегрирование не зависит от формы пути.
Формула Больцмана:
,
где s – энтропия системы; W – термодинамическая вероятность ее состояния; k – постоянная Больцмана.
Электростатика. Постоянный ток.
Закон Кулона:
,
где F – сила взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2; r – расстояние между зарядами; - диэлектрическая проницаемость среды; 0 - электрическая постоянная
.
Закон сохранения заряда:
,
где
– алгебраическая сумма зарядов, входящих
в изолированную систему; n
– число зарядов.
Напряженность и потенциал электростатического поля:
;
,
или
,
где – сила, действующая на точечный положительный заряд q0, помещенный в данную точку поля; П – потенциальная энергия заряда; А∞ - работа, затраченная на перемещение заряда q0 из данной точки поля в бесконечность.
Поток
вектора напряженности
электрического поля:
а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле:
,
или
,
где
– угол между вектором напряженности
и нормалью
к элементу поверхности; dS
– площадь элемента поверхности; En
– проекция вектора напряженности на
нормаль;
б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное электрическое поле:
.
Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность –
(интегрирование ведется по всей поверхности).
Теорема Остроградского-Гаусса. Поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды q1, q2, …, qn, –
,
где
– алгебраическая сумма зарядов,
заключенных внутри замкнутой поверхности;
n
– число зарядов.
Напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r от заряда, –
.
Напряженность электрического поля, создаваемого сферой, имеющей радиус R и несущей заряд q, на расстоянии r от центра сферы такова:
внутри сферы (r R) Е=0;
на
поверхности сферы (r=R)
;
вне сферы (r R) .
Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей, согласно которому напряженность результирующего поля, созданного двумя (и более) точечными зарядами, равна векторной (геометрической) сумме напряженностей складываемых полей, выражается формулой
.
В
случае двух электрических полей с
напряженностями
и
абсолютное значение вектора напряженности
составляет
,
где - угол между векторами и .
Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной и равномерно заряженной нитью (или цилиндром) на расстоянии r от ее оси, –
,
где - линейная плотность заряда.
Линейная плотность заряда есть величина, равная его отношению к длине нити (цилиндра):
.
Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, –
,
где - поверхностная плотность заряда.
Поверхностная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по поверхности, к ее площади:
.
Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными и параллельными плоскостями, заряженными равномерно и разноименно, с одинаковой по абсолютному значению поверхностной плотностью заряда (поле плоского конденсатора) –
.
Приведенная формула справедлива при вычислении напряженности поля между пластинами плоского конденсатора (в его средней части) только в том случае, если расстояние между пластинами намного меньше линейных размеров пластин конденсатора.
Электрическое
смещение
связано с напряженностью
электрического поля соотношением
,
которое справедливо только для изотропных диэлектриков.
Потенциал электрического поля есть величина, равная отношению потенциальной энергии и точечного положительного заряда, помещенного в данную точку поля:
.
Иначе говоря, потенциал электрического поля есть величина, равная отношению работы сил поля по перемещению точечного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность к величине этого заряда:
.
Потенциал электрического поля в бесконечности условно принят равным нулю.
Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом q на
расстоянии r от заряда, –
.
Потенциал электрического поля, создаваемый металлической сферой, имеющей радиус R и несущей заряд q, на расстоянии r от центра сферы таков:
внутри сферы (r R) ;
на
поверхности сферы (r
= R)
;
вне сферы (r R) .
Во всех формулах, приведенных для потенциала заряженной сферы, есть диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.
Потенциал
электрического поля, образуемого
системой n
точечных зарядов в данной точке в
соответствии с принципом суперпозиции
электрических полей, равен алгебраической
сумме потенциалов
,
создаваемых отдельными точечными
зарядами
:
.
Энергия W взаимодействия системы точечных зарядов определяется работой, которую эта система может совершить при удалении их относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой
,
где
- потенциал поля, создаваемый всеми
(n-1)
зарядами (за исключением i-го)
в точке, где находится заряд
.
Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношением
.
В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией, эта связь выражается формулой
,
или в скалярной форме
.
В случае однородного поля, т.е. поля, напряженность которого в каждой его точке одинакова как по абсолютному значению, так и по направлению, –
,
где 1 и 2 – потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; d - расстояние между этими поверхностями вдоль электрической силовой линии.
Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда q из одной точки поля, имеющей потенциал 1, в другую, имеющую потенциал 2, равна
,
или
,
где
E
– проекция вектора
на направление перемещения;
- перемещение.
В случае однородного поля последняя формула принимает вид
,
где
– перемещение;
- угол между направлениями вектора
и перемеще-ния
.
Диполь есть система двух точечных (равных по абсолютному значению и противоположных по знаку) зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга.
Электрический
момент
диполя есть вектор, направленный от
отрицательного заряда к положительному,
равный произведению заряда
на вектор
,
проведенный от отрицательного заряда
к положительному, и называемый плечом
диполя, т.е.
.
Диполь называется точечным, если его плечо намного меньше расстояния r от центра диполя до точки, в которой нас интересует действие диполя ( r), см. рис. 1.
Рис. 1
Напряженность поля точечного диполя:
,
где р – электрический момент диполя; r – абсолютное значение радиус-вектора, проведенного от центра диполя к точке, напряженность поля в которой нас интересует; - угол между радиус-вектором и плечом диполя.
Напряженность поля точечного диполя в точке, лежащей на оси диполя
(=0), находится по формуле
;
в
точке, лежащей на перпендикуляре к плечу
диполя, восстановленном из его середины
,
– по формуле
.
Потенциал поля точечного диполя в точке, лежащей на оси диполя (=0), составляет
,
а в точке, лежащей на перпендикуляре к плечу диполя, восстановленном из его середины , –
=0.
Напряженность и потенциал неточечного диполя определяются так же как и для системы зарядов.
Механический момент, действующий на диполь с электрическим моментом р, помещенный в однородное электрическое поле с напряженностью Е, –
,
или
,
где - угол между направлениями векторов и .
Электроемкость уединенного проводника или конденсатора –
,
где q – заряд, сообщенный проводнику; - изменение потенциала, вызванное этим зарядом.
Электроемкость уединенной проводящей сферы радиусом R, находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью , –
.
Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то ее электроемкость при этом не изменяется.
Электроемкость плоского конденсатора:
,
где S – площадь каждой пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами; - диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами.
Электроемкость плоского конденсатора, заполненного n слоями диэлектрика толщиной di и диэлектрической проницаемостью i каждый (слоистый конденсатор), составляет
.
Электроемкость сферического конденсатора (две концентрические сферы радиусом R1 и R2 , пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ) находится так:
.
Электроемкость последовательно соединенных конденсаторов составляет:
в общем случае –
,
где n – число конденсаторов;
в случае двух конденсаторов –
;
в случае n одинаковых конденсаторов с электроемкостью С1 каждый –
.
Электроемкость параллельно соединенных конденсаторов определяется следующим образом:
в общем случае –
С=С1+С2+…+Сn;
в случае двух конденсаторов –
С= С1+С2;
в случае n одинаковых конденсаторов с электроемкостью С1 каждый –
С=nС1.
Энергия заряженного проводника выражается через заряд q, потенциал и электроемкость С проводника следующим образом:
.
Энергия заряженного конденсатора –
,
где q – заряд конденсатора; С – электроемкость конденсатора; U – разность потенциалов на его пластинах.