13. Четыре исходных задачи преобразования чертежа

В подавляющем большинстве метрических задач участвуют прямые и плоскости. Если будет известно заранее, какие построения необходимо выполнить, чтобы прямая (или плоскость) общего положения заняла частное положение, то это значительно облегчит решение многих метрических задач.

Частных положений прямой - два (прямая уровня и проецирующая прямая), частных положений плоскости - тоже два (плоскость уровня и проецирующая плоскость). Отсюда следует, что должны существовать четыре исход­ных задачи преобразования комплексного чертежа, в результате которых:

1. Прямая общего положения становится прямой уровня.

2. Прямая общего положения становится проецирующей прямой.

3. Плоскость общего положения становится проецирующей плоскостью.

4. Плоскость общего положения становится плоскостью уровня.

Для решения этих задач будем использовать метод замены плоскостей проекций, хотя каждая из них могла бы быть решена и методом вращения, и методом плоскопараллельного переноса.

Задача 1. Преобразовать прямую общего положения АВ в прямую уровня (рис. 40).

Решение. Для решения этой задачи введем новую фронтальную плоскость проекций П₄, расположенную параллельно горизонтальной проекции А₁В₁ прямой АВ. Поскольку при введении новой фронтальной плоскости про­екций координаты Z точек А и В не должны измениться, дальнейшие построения ясны из чертежа. Отметим, что проекция А₄В₄ представляет собой натуральную величину отрезка АВ.

Другими словами, решение исходной задачи 1 преобразования ком­плексного чертежа представляет собой ещё один способ нахождения натуральной величины отрезка прямой общего положения.

Задача 2. Прямую общего положения преобразовать в положение проецирующей прямой (рис. 41).

Решение. Задача решается за два преобразования, поскольку здесь понадобится делать две замены плоскостей проекций: первой заменой прямая обще­го положения переводится в положение прямой уровня, а второй заменой полу­ченная прямая уровня переводится в проецирующую прямую. Первое преобра­зование - решение первой исходной задачи преобразования. Так как вводимая во втором преобразовании плоскость проекций П₅ - новая горизонтальная плоскость проекций, точка А₅ располагается на линии проекционной связи А₄А₅ на расстоянии, равном величине координаты У точки А в системе плоскостей проекций П₁/П₄.

Зная решение этой задачи, можно найти:

• расстояние между параллельными прямыми;

• расстояние между скрещивающимися прямыми;

• расстояние от точки до плоскости;

• натуральную величину двугранного угла (если линию пересечения двух плоскостей представить в виде проецирующей прямой).

Задача 3. Перевести плоскость общего положения, заданную треугольником АВС, в проецирующую плоскость (рис. 42).

Решение. Любую плоскость, заданную любым способом, можно представить как множество соответствующих прямых уровня, либо её горизонталей, либо ее фронталей. Поэтому преобразования нужно проводить таким образом, чтобы прямые уровня плоскости спроецировались в точки. Тогда сама плоскость спроецируется в совокупность точек, располагающихся на одной прямой. Следовательно, если в заданной плоскости общего положения провести прямые какого-либо уровня, то, расположив новую плоскость проекций перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали или к фронтальной проекции фронтали, получим соответствующую проецирующую плоскость (рис. 42).

Зная решение этой задачи и поступая аналогично, можно находить:

• расстояние от точки до плоскости;

• расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой;

• расстояние между параллельными плоскостями.

Задача 4. Плоскость общего положения, заданную треугольником АВС, перевести в положение плоскости уровня (рис. 43)

Решение. Задача решается за два преобразования: первым - плоскость общего положения переводится в положение проецирующей плоскости (решение исходной задачи 3, изложенное выше); вторым полученная проецирующая плоскость переводится в положение плоскости уровня (на рис. 42 - это плоскость горизонтального уровня). Точки А₅, В₅ и С₅ расположены от оси X, разделяющей плоскости П₄ и П₅ на расстояниях, равных величинам коорди­нат Y для точек А, В и С в системе плоскостей проекций П₁/П₄.

Зная решение этой задачи, можно находить натуральные величины плоских фигур, а следовательно - сторон многоугольников, плоских углов.

Заметим, что решение этой же задачи методом плоскопараллельного переноса приведено на рис. 39 в предыдущем разделе.