Задача №1
Решить соответствующий вариант, применяя основные формулы классической и геометрической вероятности.
Вариант 1. Секретный замок содержит на общей оси пять дисков. Первый диск разделён на шесть секторов с буквами: A,B,C,D,E,F. Остальные четыре разбиты на десять секторов с цифрами от 0 до 9. Какова вероятность разгадать код с первой попытки?
Указание. Использовать формулу 1.1.
Ответ:
.
Вариант 2. Двенадцать книг расставлены на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что четыре определённые книги окажутся поставленными вместе?
Указание. Использовать формулу 1.1.
Ответ:
.
Вариант 3. Имеется пять отрезков, длины которых равны соответственно 1,3,5,7 и 9. Определить вероятность того, что с помощью взятых наудачу трёх отрезков из данных пяти можно построить треугольник.
Указание.
Из трёх
отрезков
можно
построить треугольник в том случае,
если
,
.
Для подсчёта вероятности использовать
формулу 1.1.
Ответ:
.
Вариант 4. Из колоды карт (52 шт.) случайно извлекают три. Какова вероятность, что это будут: тройка, семёрка, туз?
Указание. Применить формулу 1.1.
Ответ:
.
Вариант 5. Два теплохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих теплоходов независимо и равновозможно в течение суток. Определить вероятность того, что одному из теплоходов придётся ожидать освобождения причала, если время стоянки первого теплохода один час, а второго – два часа?
Указание. Применить формулу 1.2.
Ответ:
.
Вариант 6. Спутник Земли движется по орбите, которая заключена между 600 северной и 600 южной широты. Считая падение спутника в любую точку поверхности Земли между указанными параллелями равновозможным, найти вероятность того, что спутник упадёт выше 300 северной широты.
Указание. Использовать формулу 1.2.
Ответ:
.
Вариант
7. Определить
вероятность того, что корни уравнения
вещественны и положительны, если
(любое значение параметров
в указанных пределах равновозможны).
Указание. Использовать формулу 1.2 и свойства корней квадратного уравнения.
Ответ:
.
Вариант 8. Имеются две карточки с буквой «А» и четыре карточки с буквами «Е,К,Р,Т». Карточки перемешиваются, затем наугад извлекаются по одной. Какова вероятность, что получится слово «РАКЕТА»?
Указание. Применить формулу 1.5.
Ответ:
.
Вариант 9. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наудачу. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в три места.
Указание. Прейти к противоположному событию и применить формулу 1.4.
Ответ: .
Вариант 10. В лотерее 100 билетов, из которых 5 выигрышных. Какова вероятность выиграть, имея 3 билета?
Указание. Прейти к противоположному событию и применить формулу 1.4.
Ответ:
.
Вариант 11. В двух урнах находятся одинаковые шары, отличающиеся только цветом, причём в первой урне 5 белых шаров, 11 чёрных и 8 красных, а во второй соответственно 10,8 и 6. Из обеих урн случайным образом извлекается по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?
Указание. Применить формулы 1.1 и 1.9.
Ответ:
.
Вариант 12. Билет в партер стоит 500 руб., в бельэтаж – 400 руб., на ярусы – 300 руб. Определить вероятность того, что покупаемые наугад два билета стоят вместе не дороже 800 руб., если равновозможно приобретение билетов любого типа.
Указание. Использовать формулы 1.6, 1.9.
Ответ:
.
Вариант 13. Определить вероятность того, что случайно выбранное целое положительное число: а) не делится ни на два, ни на три; б) не делится на два или на три.
Указание. Использовать формулы 1.3, 1.7.
Ответ:
Вариант 14. Из урны, содержащей 13 шаров с номерами от 1 до 13, последовательно извлекаются два шара, причём первый шар возвращается, если его номер не равен единице. Найти вероятность того, что шар с номером два будет извлечён при втором выборе.
Указание. Использовать формулы 1.6 и 1.10.
Ответ:
Вариант 15. Двое игроков поочерёдно бросают монету. Выигрывает тот игрок, у которого раньше появится герб. Определить вероятности выигрыша для каждого из игроков.
Указание. Применить формулы 1.5 и 1.9.
Ответ:
первый бросающий
,
второй бросающий
.
Вариант 16. В электропоезд, состоящий из 4 вагонов, входят 5 пассажиров, которые выбирают вагоны наудачу. Определить вероятность того, что в каждый вагон войдёт хотя бы один пассажир.
Указание. Применить формулы 1.5 и 1.8.
Ответ:
.
Вариант 17. В двух урнах находится соответственно 5 и 3 белых и 7 и 5 чёрных шаров. Из каждой урны случайно извлекается один шара, а затем из этих двух шаров наудачу берётся один. Какова вероятность, что этот шар белый?
Указание. Применить формулу 1.11.
Ответ:
.
Вариант 18. Видеоплата, поставленная в компьютер, может принадлежать к одной из трёх партий с вероятностями соответственно 0,25; 0,5; 0,25. Вероятности того, что плата проработает заданное число часов для этих партий равны, соответственно: 0,95; 0,9; 0,81. Найти вероятность того, что плата проработает заданное число часов.
Указание. Применить формулу 1.11.
Ответ:
.
Вариант 19. Определить вероятность того, что 10 лампочек, взятых наудачу из 100, окажутся исправными, если известно, что число испорченных лампочек на 100 штук равновозможно от 0 до 32.
Указание. Применить формулу 1.11.
Ответ:
.
Вариант 20. В коробку, содержащую 5 шаров, опущен белый шар. Какова вероятность извлечь из этой коробки белый шар, если все предположения о начальном количестве белых шаров равновозможны?
Указание. Применить формулу 1.11.
Ответ:
.
Вариант 21. В тире имеется девять ружей, из которых только два пристреляны. Вероятность попадания в цель из пристрелянного ружья 0,8, а из непристрелянного – 0,1. Выстрелом из случайно выбранного ружья мишень поражена. Определить вероятность того, взято пристрелянное или непристрелянное ружьё.
Указание. Применить формулу 1.12.
Ответ:
и
.
Вариант 22. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяют стандарту. Некоторая схема контроля признаёт годной стандартную продукцию с вероятностью 0,98, а бракованную – с вероятностью 0,05. Какова вероятность того, что изделие, прошедшее этот контроль стандартно?
Указание. Применить формулу 1.12.
Ответ:
.
Вариант 23. Имеются десять одинаковых ящиков. В девяти из них находятся по два чёрных и по два белых шара, а в одном пять белых и один чёрный шар. Из случайно выбранного ящика извлечён белый шар. Какова вероятность, что этот шар выбран из ящика с пятью белыми шарами?
Указание. Применить формулу 1.12.
Ответ:
.
Вариант 24. В магазине имеются книги по программированию и математике. Вероятность того, что любой покупатель возьмёт книгу по программированию, равна 0,7, а по математике – 0,3. Определить вероятность того, что пять покупателей подряд возьмут книги или только по программированию, или только по математике, если каждый из них покупает только одну книгу.
Указание. Применить формулу 1.13.
Ответ:
.
Вариант 25. Пять электрических лампочек включены в цепь последовательно. Определить вероятность того, что при скачке напряжения в сети произойдёт обрыв цепи, если вероятность выхода из строя любой лампочки одинакова и равна 0,95.
Указание. Применить формулу 1.15.
Ответ:
.
Вариант 26. Вероятность того, что лампа остаётся исправной после 1000 часов работы, равна 0,2. Какова вероятность того, что хотя бы одна из трёх ламп остаётся исправной после 1000 часов Работы?
Указание. Применить формулу 1.15.
Ответ:
.
Вариант
27. Аппаратура
содержит 2000 одинаково надёжных элементов,
вероятность отказа для каждого из них
равна
.
Какова вероятность отказа аппаратуры,
если он наступает при отказе хотя бы
одного из элементов?
Указание. Применить формулу 1.18.
Ответ:
.
Вариант
28. Вероятность
того, что изделие не выдержит испытание,
равна
.
Найти вероятность того, что из 5000 изделий
более чем одно не выдержит испытание.
Указание. Использовать формулу 1.18.
Ответ:
.
Вариант 29. Производится 60 опытов в одинаковых условиях. Вероятность появления некоторого события в одном опыте равна 0,6. Какова вероятность того, что это событие появится в большинстве опытов.
Указание. Использовать формулу 1.17.
Ответ:
.
Вариант 30. Вероятность выхода из строя за 1000 часов одного конденсатора равна 0,2. Определить вероятность того, что из 100 конденсаторов в течение 1000 часов выйдут из строя от 14 до 26 конденсаторов.
Указание. Использовать формулу 1.17.
Ответ:
.