4 Характеристика и описание самостоятельной работы студентов

В методических рекомендациях по проведению практических занятий по дисциплине «Теория вероятностей и математическая

статистика» содержится тематическая подборка практических заданий, работа с которыми является важнейшим этапом изучения курса, а также одним из направлений самостоятельной работы по его усвоению. На практических занятиях студенты могут проверить правильность самостоятельного выполнения практических заданий, а также отработать методику их выполнения под руководством преподавателя.

Учебным планом по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» на практические занятия отводится 17 часов учебной работы, вследствие этого в графике учебной работы практические занятия предусмотрены через неделю. Для исключения влияния этого нежелательного фактора на успешность освоения дисциплины подготовку к практическим занятиям следует спланировать равномерно (см. таблицу 2). Примерные нормы времени на подготовку к практическим занятиям в зависимости от вида деятельности приведены в таблице 3.

Таблица 3 – Примерные нормы времени на подготовку к практическим занятиям

Номер занятия п/п	Вид деятельности
	Изучение лекционного материала и рекомендуемой литературы, ч	Решение задач к практическому занятию, ч
1	1
2	1	2
3	1	2
4	1	2
5	1	2
6	1	2
7		2
8	1	2
9	1	2

Одним из видов самостоятельной работы студентов является выполнение индивидуальных расчетных заданий. Типовой расчет по

дисциплине содержит 10 заданий. Ниже описывается тематика заданий типового расчета.

Первое задание типового расчета представляет собой задачу, для решения которой необходимо использовать классическое определение вероятности. Для решения задачи студенту необходимо разобраться с понятиями испытания, события, полной группы случайных событий,

исхода, благоприятствующего исхода; разобрать классическую формулу вероятности и уяснить границы ее применимости.

Второе задание типового расчета – задача по теме «Теоремы сложения и умножения вероятностей». Для решения данной задачи студенту необходимо разобраться с понятиями суммы и произведения событий, противоположных событий, совместных и несовместных событий, зависимых и независимых событий; отработать навыки выражения одних событий через другие и использования теорем сложения и умножения вероятностей.

Третье задание типового расчета может быть решено с использованием формулы полной вероятности или формулы Бейеса. В данном случае студенту необходимо, в первую очередь, разобраться с понятием гипотезы и уяснить, каким образом осуществляется проверка правильности введения гипотез.

Четвертое задание типового расчета – задача, условие которой удовлетворяет схеме Бернулли. Задача решается с помощью точной или одной из приближенных формул в схеме Бернулли. В ряде случаев приходится использовать теорему сложения вероятностей или интегральную формулу Муавра – Лапласа. Для решения задачи студенту необходимо разобраться с понятием повторных независимых испытаний, понять смысл всех величин, входящих в формулы схемы Бернулли; знать границы применимости всех указанных формул.

Пятое задание типового расчета – задача по теме «Дискретные случайные величины и их числовые характеристики. Типы распределений дискретных случайных величин». Для успешного решения заданий студенту требуется отработать навыки нахождения законов распределения дискретных случайных величин в форме ряда распределения и функции распределения, а также навыки нахождения числовых характеристик случайных величин. Также нужно разобрать различные типы распределений дискретных случайных величин. Необходимо уяснить, каким образом осуществляется проверка правильности вычисления вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины.

Шестое задание типового расчета представляет собой задачу по теме «Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики.

Типы распределений непрерывных случайных величин». В первую очередь в данном случае необходимо повторить дифференцирование и интегрирование функции одной переменной. Кроме того, для успешного решения задания студенту требуется отработать навыки различного представления распределений непрерывных случайных величин (с помощью плотности распределения и функции распределения) и

нахождения их числовых характеристик. Необходимо отработать формулы для плотностей распределения и числовых характеристик случайных величин, распределенных нормально, равномерно и по показательному закону.

Седьмое задание типового расчета посвящено двумерным непрерывным случайным величинам. Для того чтобы успешно решить это задание, студенту необходимо повторить вопросы, рассматривавшиеся в разделах математического анализа «Дифференциальное исчисление функции двух переменных» и «Интегральное исчисление функции двух переменных». Кроме того, следует отработать навыки нахождения плотностей и функций распределения составляющих двумерной непрерывной случайной величины через плотность и функцию их совместного распределения соответственно.

Восьмое задание типового расчета – задача нахождения доверительного интервала для математического ожидания нормального распределения при известной или неизвестной дисперсии. Студенту необходимо отработать навыки нахождения точечных статистических оценок параметров распределения, добиться четких знаний границ применимости точечных и интервальных оценок параметров распределения.

Девятое задание типового расчета содержит задачу определения корреляционной зависимости между случайными величинами на основе анализа опытных данных. При выполнении задания следует руководствоваться следующим. Все расчеты нужно производить с разумной степенью точности, сохраняя два знака после запятой. Чертеж следует выполнять четко и аккуратно, удачно выбирая масштабы по каждой оси (они могут быть различными) и начало отсчета. Необходимо помнить, что графическое изображение прямых регрессии может служить проверкой контроля правильности расчетов: они должны образовывать с осью ОХ либо только острые, либо только тупые углы в зависимости от знака коэффициента корреляции; прямые регрессии должны пересекаться в центре совместного распределения.

Десятое задание типового расчета – задача установления теоретического закона распределения случайной величины, характеризующей изучаемый признак по эмпирическому распределению, представляющему вариационный ряд. Для решения задачи нужно разобрать

методы статистической проверки статистических гипотез. Также необходимо знать ответы на вопросы о том, на основании каких предполо-

жений может быть выдвинута гипотеза о виде распределения, и о том, чем могут быть объяснены расхождения между эмпирическим и теоретическим распределением. Далее нужно тщательно изучить схему

применения критерия согласия Пирсона «хи-квадрат» для проверки статистической гипотезы о типе распределения.

Защита типового расчета происходит в форме письменной самостоятельной работы, включающей теоретические вопросы и задачи по указанным выше темам.

Примерные нормы времени на выполнение расчетных заданий в зависимости от их трудоемкости приведены в таблице 4.

Таблица 4 – Примерные нормы времени для выполнения расчетных

заданий

Номер расчетного задания	Виды деятельности
	Решение задания типового расчета, ч	Подготовка к защите задания типового расчета, ч
1	0,5	0,5
2	0,5	0,5
3	0,5	0,5
4	0,5	0,5
5	0,5	0,5
6	1	0,5
7	1	0,5
8	0,5	0,5
9	2	1
10	2	1

В ходе изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» студенты выполняют одну аудиторную контрольную работу. В ее состав входят задачи по темам:

1. Классическое определение вероятности.

2. Теоремы сложения и умножения вероятностей; формула полной вероятности; формула Бейеса.

3. Схема Бернулли.

4. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики.

5. Типы распределений случайных величин, свойства функций, характеризующих распределение случайных величин (функция распределения, плотность распределения), свойства числовых характеристик случайных величин.

6. Равномерное распределение случайной величины на плоскости; зависимость составляющих двумерной случайной величины.

В процессе подготовки к контрольной работе студенту нужно повторить теоретический материал и дополнительно решить задачи (контрольные задания из конспекта лекций по дисциплине) по всем объявленным выше темам.

Итоговая аттестация знаний студентов по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» происходит во время экзаменационной сессии. Экзаменационный билет содержит пять вопросов:

– теоретический вопрос по теории вероятностей;

– теоретический вопрос по математической статистике;

– задача 1 – по теме «Случайные события»;

– задача 2 – по теме «Случайные величины»;

– задача 3 – по разделу «Математическая статистика».

При подготовке к экзамену следует дать и выучить ответы на экзаменационные вопросы. Дополнительно нужно повторить ответы на контрольные вопросы и решения контрольных заданий, приведенных в конспекте лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика».