Идея алгоритма Евклида
Идея этого алгоритма основана на том свойстве, что если M>N, то
НОД(М, N) = НОД(М - N, N).
Иначе говоря, НОД двух натуральных чисел равен НОД их положительной разности (модуля их разности) и меньшего числа.
Легко доказать это свойство. Пусть К - общий делитель М u N (M> N). Это значит, что М = mК, N = nК, где m, n - натуральные числа, причем m > n. Тогда М - N = К(m - n), откуда следует, что К - делитель числа М - N. Значит, все общие делители чисел М и N являются делителями их разности М - N, в том числе и наибольший общий делитель.
Второе очевидное свойство:
НОД(М, М) = М.
Для "ручного" счета алгоритм Евклида выглядит так:
1) если числа равны, то взять любое из них в качестве ответа, в противном случае продолжить выполнение алгоритма;
2) заменить большее число разностью большего и меньшего из чисел;
3) вернуться к выполнению п. 1.
Рассмотрим этот алгоритм на примере М=32, N=24:
|
Получили: НОД(32, 24) =НОД(8, 8) = 8, что верно.
Описание алгоритма Евклида блок-схемой
На рис. 3.12 приведена блок-схема алгоритма Евклида.
|
Рис. 3.12. Блок-схема алгоритма Евклида |
Структура алгоритма - цикл-пока с вложенным ветвлением. Цикл повторяется, пока значения М и N не равны друг другу. В ветвлении большее из двух значений заменяется на их разность.
А теперь посмотрите на трассировочную таблицу алгоритма для исходных значений М = 32, N = 24.
Шаг |
Операция |
M |
N |
Условие |
1 |
ввод М |
32 |
|
|
2 |
ввод N |
|
24 |
|
3 |
M N |
|
|
32 24, да |
4 |
M>N |
|
|
32>24, да |
5 |
M:=M-N |
8 |
|
|
6 |
M N |
|
|
8 24, да |
7 |
M>N |
|
|
8>24, нет |
8 |
N:=N-M |
|
16 |
|
9 |
M N |
|
|
8 16, да |
10 |
M>N |
|
|
8>16, нет |
11 |
N:=N-M |
|
8 |
|
12 |
M N |
|
|
8 8, нет |
13 |
вывод M |
8 |
|
|
14 |
конец |
|
|
|
В итоге получился верный результат.