Aproksymacja rozkładu dwumianowego za pomocą rozkładu normalnego
W praktyce nie zawsze można zastosować wzór (1), gdy liczby n i k są wysokie. W takim przypadku bardzo cenna okazuje się możliwość aproksymacji rozkładu dwumianowego za pomocą rozkładu normalnego.
Wynika to z tzw. twierdzenia de Moivre’a – Laplace’a., podanego niżej.
Niech
{Xn}
będzie ciągiem zmiennych o rozkładzie dwumianowym z parametrami n
i p, tzn.:
, dla k = 1, 2, …, n., to dla ustalonego p, gdy n→∞ rozkład Xn
zdąża do rozkładu normalnego o średniej np
i odchyleniem standardowym
.
(można stosować, gdy np. n > 5 i n(1-p) > 5, a gdy p = 0,5,
wtedy np.>10).
Przykład III.
Niech X będzie liczbą sukcesów w 1000 razy powtórzonym doświadczeniu, w którym prawdopodobieństwo sukcesu wynosi 0,4 ( p = 0,4). Jesteśmy zainteresowaniu obliczeniem prawdopodobieństwa tego, że liczba sukcesów okaże się liczbą od 361 do 420.
Rozwiązanie
Prawdopodobieństwo
obliczymy z wzoru:
Obliczenia przewidziane tym wzorem są ogromne, wtedy aproksymujemy rozkład dwumianowy rozkładem normalnym (z tw. de Moivre’a – Laplace’a).
Do rozkładu normalnego potrzebujemy dwóch parametrów:
wartość oczekiwaną: m = np. = 1000∙0,4 = 400,
odchylenie
standardowe;
.
Na tej podstawie otrzymamy:
Odp.: Prawdopodobieństwo tego, że liczba sukcesów okaże się liczbą od 361 do 420 wynosi 0,8956, tzn. 89,56% wszystkich sukcesów będzie leżało w tym przedziale.
Zadania do rozwiązania
Zadanie
1.
Przeprowadzono
badanie spożycia mięsa wieprzowego w ciągu kwartału w
gospodarstwach domowych. Z badania uzyskano następujące wyniki:
średnie spożycie 8 kg (
),
odchylenie standardowe 2,5 kg (s = 2,5 kg). Przyjmując, że rozkład
spożycia mięsa w gospodarstwach domowych jest zgodny z rozkładem
normalnym, należy obliczyć jaki odsetek gospodarstw domowych
spożyło mięsa: a) poniżej 5 kg; b) od 6 kg do 9,0 kg.
Zadanie 2. Załóżmy, że rozkład wydatków na higienę w gospodarstwach domowych ma rozkład normalny o średniej m = 750 zł i odchyleniu standardowym s = 95 zł., tj. N (750, 95). Należy obliczyć odsetki gospodarstw wydających na higienę: a) do 700 zł; b) od 600 do 900 zł.
Zadanie 3. Na podstawie badań stwierdzono, że czas wykonania pewnego zadania przez pracownika ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej 45 minut i odchyleniu standardowym 10 minut, tj. N(45; 10).
jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba wykona zadanie w czasie nie dłuższym niż 30 minut?
jaki odsetek osób wykonuje to zadanie w czasie pomiędzy 40 a 50 minut?
Zadanie 4. Które zdarzenie jest bardziej prawdopodobne:
wyrzucenie dokładnie 3 orłów w 4 rzutach;
wyrzucenie dokładnie 4 orłów w 6 rzutach.
Zadanie 5. Niech X będzie liczbą sukcesów w 600 razy powtórzonym doświadczeniu, w którym prawdopodobieństwo sukcesu wynosi 0,3 ( p = 0,3). Jesteśmy zainteresowaniu obliczeniem prawdopodobieństwa tego, że liczba sukcesów okaże się liczbą od 261 do 320.