8.1.3. Нормирование распределения, функция Лапласа

Введем новую переменную . После замены переменной в (13.15) получаем

(13.20)

где и - новые пределы интегрирования.

Это действие называется нормированием распределения. Графическая интерпретация процедуры нормирования заключается в совмещении начала новой системы координат с центром группирования. В этом случае кривая нормального распределения становится симметричной относительно оси . После нормирования плотность вероятности выразится следующим образом

(13.21)

и называется плотностью вероятности нормированного распределения.

Пусть ; . Тогда

, (13.22)

Интеграл называется функцией Лапласа.

Геометрически функция Лапласа выражает площадь фигуры под кривой плотности вероятности нормированного распределения в промежутке от 0 до . Интеграл в нельзя выразить в элементарных функциях и его значение задано в специальных таблицах.

Применение функции Лапласа позволяет вычислить теоретические частость и частоту. Из выражений (13.13) и (13.14) получаем

. (13.23)

Выполним операцию нормирования. В результате замены переменной будем иметь

, (13.24)

где и - новые пределы интегрирования.

Тогда

(13.25)

8.1.4. Теоретическая кривая нормального распределения

Как было отмечено ранее, если постепенно увеличивать размер партии, то эмпирическая кривая распределения будет приближаться по форме к холмообразной кривой, представленной на рис 13.7, а частота и частность на каждом интервале будут стремиться к своим теоретическим значениям и , которые определяются по формулам (13.24) и (13.25). График зависимости, или от называется теоретической кривой нормального распределения. Кривую строят по точкам с координатами ( ) или ( ) непосредственно на эмпирической кривой (рис.8.1..7).

8.1.5. Критерии оценки точности методом кривых распределения

Для анализа точности методом кривых распределения необходимо сформулировать критерии, по которым будет выполнен этот анализ.

Будем понимать под точностью механической обработки соответствие поля рассеяния случайной величины допуску размера . Таким образом, оценка точности производится сопоставлением поля рассеяния с допуском размера. Допуск размера является конечной величиной. Теоретическое поле рассеяния размера величина бесконечно большая, т.к. кривая нормального распределения уходит своими ветвями в бесконечность. Сравнивать такие величины нельзя. В то же время, исследованиями установлено, что если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, то в интервале находится около 68% ее проявлений, т.к. табличное значение . Для интервала примерно 95%, а для интервала - 99,73%. Таким образом, теоретически вне интервала находится менее 0,3% проявлений случайной величины. Поэтому при механической обработке принимают

. (13.26)

где - поле рассеяния размеров; ; - нижнее и верхнее граничные значения этого поля, определяемые как

; . (13.27)

Такой выбор называется правилом «шести сигм».

Принято считать точность механической обработки удовлетворительной, если:

1. Поле рассеяния размера меньше допуска или равно ему, т.е.

. (13.28)

2. Нижнее граничное значение поля рассеяния больше наименьшего предельного размера или равно ему, т.е.

, (13.29)

где - наименьший предельный размер отверстия (вала); - номинальный размер отверстия (вала); - нижнее предельное отклонение размера для отверстия (вала).

3. Верхнее граничное значение поля рассеяния меньше наибольшего предельного размера или равно ему, т.е.

, (13.30)

где - наибольший предельный размер отверстия (вала); - верхнее предельное отклонение размера для отверстия (вала). Неравенство (13.28) называют необходимым условием удовлетворительной точности обработки. Неравенства (13.29) и (13.30) - достаточными условиями. Данные условия являются критериями, по которым выполняется анализ точности методом кривых распределения.

Графическая иллюстрация оценки точности при механической обработке представлена на рис.8.1.5. и рис.8.1.7. Из рисунка следует, что при неудовлетворительной точности обработки, одна или обе ветви теоретической кривой распределения, ограниченной , выходят за пределы поля допуска.