§7. Одноканальная смо с ограниченной длиной очереди.

В СМО с ограниченной очередью число мест m в очереди ограничено. Следовательно, заявка, поступившая в момент времени, когда все места в очереди заняты, отклоняется и покидает СМО. Граф такой СМО представлен на рис.6.

А.

JU

S1

А.

JU

S₂

1.

S(+1

~jT *fr

_{х_}

_V~

…

А.

_"Jr

Sm+1

Рис.6

18

Состояния СМО представляются следующим образом:

5₀ - канал обслуживания свободен,

5₁ – канал обслуживания занят, но очереди нет,

5₂ – канал обслуживания занят, в очереди одна заявка,

S

k+1

канал обслуживания занят, в очереди k заявок,

S_m+1 - канал обслуживания занят, все m мест в очереди заняты.

Для получения необходимых формул можно воспользоваться тем обстоятельством, что СМО на рис.6 является частным случаем системы рождения и гибели (рис.3), если в последней принять g = m + 1 и

λ_i = λ, μ _i = μ, (i = 0,m). (7.1)

Выражения для финальных вероятностей состояний рассматриваемой СМО можно найти из (3.2) и (3.3) с учётом (7.1). В результате получим:

р₀ =(1 + ρ + ρ² +...ρ ^m+1)^-1 = -ρ ; (7.2)

p _k = ρ ^k · p ₀, ( k = 1,m + 1) (7.3)

При ρ = 1 формулы (7.2), (7.3) принимают вид

p0=pk= , (k = 1,m + 1). (7.4)

m + 2

При m = 0 (очереди нет) формулы (7.2), (7.3) переходят в формулы (5.1) и (5.2) для одноканальной СМО с отказами.

Поступившая в СМО заявка получает отказ в обслуживании, если СМО находится в состоянии S_m+1, т.е. вероятность отказа в обслуживании заявки равна

p _отк = рm+1 = ρ ^m+1p0. (7.5)

Относительная пропускная способность СМО равна

Q = pобс = 1 - ротк = ρ ^m+1p0, (7.6)

а абсолютная пропускная способность равна

A = λ·Q = λ ·(1 - ρ^m+1p0). (7.7)

Среднее число заявок, стоящих в очереди L_оч, находится по формуле (4.8)

Lоч = 1· р ₂ + 2· р ₃ +…+m · p_m+1 и может быть записано в виде

2 1- ρ^mm⋅(1- ρ)+1] Lоч=ρ [ ₂⋅p0. (7.8)

(1-ρ )

При ρ = 1 формула (7.8) принимает вид

m(m + 1) L′= , (ρ = 1). (7 9)

2(m + 2)

L_обс- среднее число заявок, находящихся в СМО, находится по формуле(4.7)

L_обс = 1· р ₁ + 1· р2 + 2·р3 +…+m·p_m+1 = р ₁ + L_оч и может быть записано в виде

L _обс = ρ _⎨ 1+_P1- ρ ^m [ m 2 ρ ) ⎫ (7.10)

1- ρ^m[m(1- ρ)+1]

m² +m + 2 = , (ρ = 1). (7.11)

L′

обс

2(m + 2)

(1- ρ) При ρ = 1, из (7.10) получим:

19

Среднее время пребывания заявки в СМО и в очереди находится по формулам (4.9) и (4.10) соответственно.

Пример 8 . Магазин посещает в среднем 90 человек в час. Имеющийся один кассир обслуживает в среднем одного покупателя в минуту. Очередь в зал обслуживания ограничена 5 покупателями. Оценить эффективность работы СМО.

р

1-1,5

Решение. Имеем: X = 90 час-¹ = 1,5 мин-¹, /л = 1 мин-¹, р = X//л = 1,5, m = 5. По формулам (7.2) и (7.5) находим р₀ и р _отк :

р₀ =

=

= 0,031,

1-р^m+2 1-(1,5)⁷

ротк = р^m+1 · p ₀ ≈ (1,5)⁶ · 0,031 ≈ 0,354, т.е. 35,4% покупателей получают отказ в обслуживании, что недопустимо много. Среднее число людей, стоящих в очереди, находим по формуле (7.8)

L_m « (1,5) 2 (1,5)⁵5(1 2 1,5)i. 0,031« 3,457.

(1-1,5)²

очереди

находим по формуле (4.10)

Среднее время пребывания в

L

3,457

t_m = —^ = мин х 2,3 мин,

т.е. t^ не очень большое. Увеличение очереди до m = 10 даёт

p ₀ ≈ 0,0039, p_отк ≈ 0,0336, т.е. не приводит к заметному уменьшению отказов в обслуживании. Вывод: необходимо посадить ещё одного кассира, либо уменьшить время обслуживания каждого покупателя.