2.3 Екстремальні перестановки

При визначенні оптимального рішення необхідно знайти таку n-перестановку n із усіх можливих, при якій певна функція F(n) досягне екстремуму (мінімуму або максимуму) в залежності від постановки задачі та визначеному способу розрахунку F(n) на кожній перестановці n. Функцію, екстремум якої знаходиться в певній задачі, називають оптимізуючою функцією або функцією-критерієм.

Вибір функції-критерія є дуже важливим і складним у постановці задачі. Від успішності методики визначення та формалізації запису оптимізуючої функції залежить успішність вибору рішення. Для кожного випадку календарного планування вибирається завжди свій вид функції.

2.4 Методи рішення задач календарного планування

Не існує єдиного підходу до рішення задач теорії розкладу. Ряд простих задач вирішується за допомогою спеціальних правил, що допомагають знайти рішення без перебору варіантів. Це дозволяє уникнути значного числа складних логічних та розрахункових операцій. До таких задач відноситься задача одного верстата (задача директора) та задача двох верстатів.

2.4.1 Задача одного верстата

Постановка задачі одного верстата (задачі директора):

На верстаті обробляють n типорозмірів виробів. Час обробки виробу і- того типорозміру дорівнює Ті , кількість виробів і-того типорозміру дорівнює αі. Необхідно встановити таку послідовність обробки виробів, при якій загальний час простоювання робочого місця під час очікування своєї черги обробки було б мінімальним, тобто:

F(n) = і Ті  min (3.3)

Формулювання задачі у визначеннях „виріб – робоче місце” є традиційною, оскільки багато задач зводиться до неї, які мають загальне визначення – задачі черговості.

Вирішуюче правило цих задач дуже просте:

Перестановка _n =(і₁, і₂, і₃, …..,ік… іn), є рішенням задачі одного верстата, коли:

і1 Ті1 ≤ і2 Ті2 ≤ ... ≤ іn Тіn (3.4)

Тобто, найменший сумарний час очікування буде при складанні розкладу у порядку збільшення терміну операцій або зайнятості робочого місця.

2.4.2 Приклад рішення задачі одного верстата (задача директора)

На прийом до директора записалося декілька відвідувачів. Секретарка директора розмістила список відвідувачів в алфавітному порядку, вказавши для кожного приблизний потрібний час прийому. Прізвища записаних на прийом позначені в списку заглавними літерами (табл. 3.1).

Таблиця 3.1 – Список відвідувачів до директора

№ п/п	Прізвища (початкові літери)	Термін прийому, хв.
1	Б	25
2	Д	15
3	Е	10
4	К	5
5	С	35
6	Т	30
Сумарний час		120

На весь прийом директор відвів 2 години (120 хвилин), тому прийшлося обмежитися всього шістьома відвідувачами.

Чи є складений розклад найкращим?

Рішення. Якщо виходити із загального часу прийому, то кожна черговість відвідувачів рівнозначна: сумарний час прийому не змінюється при будь-якій послідовності. А от з точки зору відвідувача, який очікує своєї черги розклад прийому вагомий.

Підрахуємо загальний час очікування як суму часу очікування всіх відвідувачів. При нашому розкладі списку відвідувачів він складатиме 260 хвилин (4 год. 20 хв.).

Таблиця 3.2 – Список відвідувачів до директора і час їх очікування

№ n/n	Прізвища (початкові літери)	Термін прийому, хв.	Час очікування, хв.
1	Б	25	0
2	Д	15	25
3	Е	10	40
4	К	5	50
5	С	35	55
6	Т	30	90
Сумарний час		120	260

Звичайно час очікування бажано скоротити, склавши інший розклад відвідувачів, а саме: розташувавши відвідувачів послідовно із збільшенням часу їх прийому. В такому випадку новий розклад прийому буде мати наступний вигляд (табл.3.3).

Таблиця 3.3 – Оптимальний розклад прийому

№ п/п	Прізвища (початкові літери)	Термін прийому, хв.	Час очікування, хв.
1	К	5	0
2	Е	10	5
3	Д	15	15
4	Б	25	30
5	Т	30	55
6	С	35	85
Сумарний час		120	190

Отриманий оптимальний розклад дозволяє зменшити сумарний час очікування на 70 хв. (1 год. 10 хв.), що дозволяє використовувати цей час на корисні справи.

Задача директора знаходить своє використання не тільки у приймальні директора. Таким чином можна розробити і розклад черговості роботи верстата, іншого обладнання або робочого місця з різноманітними виробами.