Практична робота № 7

Тема: Оптимізація планування методами теорії розкладів

(Задача одного верстата)

1 Мета роботи:

1. Ознайомитись з методами теорії дослідження операцій (теорії оптимальних рішень) для рішення задач управління.

2. Придбати навички рішення задач календарного планування методами теорії розкладів.

3. Розвинути комбінаторне мислення у студентів.

2 Необхідні теоретичні відомості

2.1 Історична довідка.

В 1938 році до двадцятип’ятирічного професора Ленінградського університету Леоніда Віталійовича Канторовича звернулися представники фанерного тресту із незвичайним проханням. Необхідно було розрахувати найвигідніший розподіл роботи восьми верстатів при умові, що відома продуктивність кожного верстата по кожному із п’яти видів матеріалу.

Молодий вчений знайшов дуже дотепний метод вирішення “верстатної” задачі: швидкий та точний. Але висновок, зроблений Л. Канторовичем, виходить далеко за межі проблем фанерного тресту. Відштовхуючись від часткової задачі, вчений знайшов загальний метод вирішення цілого ряду найважливіших економіко-виробничих проблем. Новий метод згодом отримав назву лінійного програмування, відповів на питання, як управляти виробництвом, щоб забезпечити максимальний випуск продукції необхідного асортименту, як найкращим чином розподілити посівні площі, як скласти раціональний план перевезення вантажів і т. і.

У 1975 році спільно з американським професором Т. Кумпансом академік Л. Канторович отримав за свій метод Нобелівську премію з економіки. Сьогодні цей метод визнаний у всьому світі.

Лінійне, а в більш широкому значенні – математичне, програмування зараз один із основних методів виробничо-економічних рішень, що підвищують ефективність роботи підприємств та організацій.

До задач, які вирішуються методом лінійного програмування відносяться задачі оптимального розкладу: “задача директора”, „задача одного виконавця”, „задача двох верстатів”, “задача трьох верстатів”, “задача оптимального раціону”, “задача оптимального розкрою матеріалу” тощо.

2.2 Постановка задачі

Перед вирішенням будь-якої задачі розробки розкладу її, перш за все, необхідно поставити як математичну задачу.

Існує значна чисельність різноманітних способів представлення задач планування. Найбільш поширені – графічні (план-графік, часові діаграми, графіки Ганта, сіткові графіки) та табличні методи. Однак графічні методи мало придатні при практичному використанні у випадках, коли маємо справу із важкоосяжними графіками – при значному обсязі робіт та варіантності їх перестановок.

Табличні методи представлення розкладу також підходять лише при обмеженій чисельності та їх визначеності. Пошук оптимальних варіантів у такому випадку також ускладнений.

Найбільш прийнятним є формалізований опис задач календарного планування, який доцільно починати з вивчення поняття та сутності “перестановок”.

Багато практичних задач календарного планування зводяться до встановлення черги виконання деяких робіт або упорядкування об’єктів деякої природи. При визначенні варіантів є можливість говорити про перестановки цих робіт (об’єктів). Якщо пронумерувати роботи, то задача зведеться до визначення можливої кількості послідовно розташованих в любому порядку чисел від 1 до n, тобто до визначення n - перестановок. Довільну n-перестановку будемо визначати символом:

n =(і₁, і₂, і₃, …..,ік… іn), (3.1)

де ік – число, яке стоїть у перестановці n на k – тому місці від початку.

В спеціальній математичній дисципліні – комбінаториці установлено, що число Р(n) всіх можливих перестановок n чисел дорівнює добутку чисел від 1 до n, який називається n-факторіалом і визначається наступним чином:

n! = 1  2  3  …  n (3.2)

Необхідно відзначити, що n! дуже швидко зростає з ростом n, швидше, ніж степенева функція аⁿ. Так при n = 10 n! = 3628800, а при n = 10 – 2,433  10¹⁸, тобто при чисельності робіт рівній всього 20, кількість комбінацій в послідовності їх виконання складає астрономічну цифру.