Алгоритм Шенкса -Тонеллі

1. Обчислити значення символу Лежандра . Якщо , – квадратичний лишок, якщо , – квадратичний нелишок

2. Записати число у вигляді добутку парного і непарного чисел: , .

3. Знайти випадковий квадратичний нелишок за модулем , тобто для виконано співвідношення .

4. Покласти .

5. Обчислити , .

6. Обчислити порядок , який є дільником , тобто (порядком називається число таке, що ).

7. Обчислити степінь , в який треба підносити : .

8. Обчислити , ,

Якщо при деякому порядок виявиться рівним 1, то – шуканий корінь.

Приклад 2. Розв’язати конгруенцію:

Розв’язання.

1. Обчислимо значення символу Лежандра

Отже, конгруенція має розв’язки.

2. Запишемо число у вигляді добутку парного і непарного чисел: . Отже, , .

3. Знайдемо квадратичний нелишок за модулем . Нехай , тому що

.

4. Покладемо .

5. Обчислимо ,

6. Обчислимо порядок :

.

Звідси, , .

7. Обчислимо степінь , в який треба підносити : .

8. Обчислимо

9) Перевірка: .

2. Алгебраїчні конгруенції -го степеня за простим модулем та способи їх розв'язування

Нехай задано конгруенцію

, (3)

або скорочено

,

де – просте число, , , , , .

Перед розв’язуванням таких конгруенцій, їх спрощують: замінюють коефіцієнтів абсолютно найменшими лишками за модулем , знижують степінь конгруенції, переходять до еквівалентної конгруенції, старший коефіцієнт якої дорівнює 1.

Розглянемо детально способи спрощення таких конгруенцій.

1. Заміна коефіцієнтів абсолютно найменшими лишками за модулем .

Нехай , , де – абсолютно найменший або найменший невід'ємний лишок за модулем . Тоді і конгруенція (3) еквівалентна конгруенції

.

Приклад 1. Спростити конгруенцію

,

зменшивши коефіцієнти за абсолютною величиною.

Розв’язання. Маємо: , , , , , , , . Отже, задана конгруенція еквівалентна конгруенції

.

2.Зниження степеня конгруенції.

Можливі випадки:

а) . Тоді не може набувати значень, кратних , тобто , значить . За теоремою Ферма . Якщо таке, що , то, поділивши з остачею на , маємо: , де , . Тоді

.

Замінивши в конгруенції (3) доданки на конгруентні їм , приходимо до конгруенції степеня меншого за , яка еквівалентна конгруенції (3).

Приклад 2. Спростити конгруенцію

,

знизивши її степінь.

Розв’язання. Помічаємо, що не є розв’язком даної конгруенції, значить . Тоді за теоремою Ферма . Враховуючи це, маємо:

;

;

;

.

Отже, задана конгруенція еквівалентна конгруенції

,

яку після зведення подібних доданків запишемо у вигляді:

.

а) для всіх , де , .

Конгруенцію (4) можна записати у вигляді:

,

або у вигляді:

.

Остання конгруенція еквівалентна сукупності конгруенцій

і

.

Оскільки , то, виконуючи перетворення випадку а), останню конгруенцію зведемо до еквівалентної конгруенції

степеня, меншого за .

Тоді конгруенція (3) еквівалентна сукупності конгруенцій

і

або конгруенції

,

степеня, меншого за .

Приклад 3. Спростити конгруенцію

,

знизивши її степінь.

Розв’язання. Запишемо дану конгруенцію у вигляді

.

Очевидно, дана конгруенція еквівалентна сукупності конгруенцій

і

.

Оскільки , то , значить . В силу тереми Ферма . Тоді остання конгруенція еквівалентна конгруенції

,

яку після зведення подібних доданків запишемо у вигляді:

степеня, меншого за .

Тоді дана конгруенція еквівалентна сукупності конгруенцій

і

або конгруенції

.

Теорема. Конгруенція , степінь якої не менше простого модуля , еквівалентна конгруенції, степінь якої менше .

Приклад 4. Розв’язати конгруенцію

,

Розв’язання. Маємо . Помічаємо, що не є розв’язком даної конгруенції, значить . Тоді за теоремою Ферма . Враховуючи це, маємо:

;

;

.

Отже, задана конгруенція еквівалентна конгруенції

,

яку після зведення подібних доданків запишемо у вигляді:

,

звідки , , .