Интерполяционный полином Бесселя и Стирлинга.

Пусть точка x^* расположена вблизи от некоторого узла, который назовем x₀ .

Для интерполирования выберем узлы, симметричные относительно x₀:

. . . x_-k , . . . , x_-1 , x₀ , x₁ , . . . , x_k , . . .

Введем в рассмотрение новую переменную

.

(14)

Выбор полинома осуществляется исходя из требования получения минимальной величины погрешности интерполяции и определяется величиной t^*:

Если

(15)

то используется полином Стирлинга, если

0,25< t^*<0,75 , - (16)

полином Бесселя.

Одно из условий (15) или (16) может быть обеспечено выбором соответствующего узла таблицы в качестве x₀ . При этом полином Стирлинга - полином четной степени - строится по нечетному числу узлов; полином Бесселя - нечетной степени - строится по четному числу узлов.

Итак, интерполяционный полином Стирлинга строится в виде:

(17)

Оценка (4) остаточной погрешности значения S_2k( t^*) может быть представлена в виде

(18)

или, согласно(13), 

Оценим теперь вычислительную погрешность результата

Как было сказано выше, абсолютная погрешность конечной разности порядка m

есть 2^m ^*, поэтому

2 = *( 1+2  t* +2t*2 +...)

(19)

Если выполняется условие (16), то есть точка интерполирования находится вблизи середины отрезка между узлами x₀ и x₁ (если так пронумерованы эти узлы), и строится полином нечетной степени, то следует использовать узлы, симметричные относительно середины отрезка между x₀ и x₁ , то есть относительно точки t=1/ 2.

Интерполяционный полином Бесселя для узлов

. . . x_-k , . . . , x_-1 , x₀ , x₁ , x₂ , . . . , x_k , x_k+1 , . . .

строится в следующем виде :

(20)

Оценки остаточной и вычислительной погрешностей результата B_2k+1( t^*) имеют соответственно следующий вид :

(21)

Интерполяционные полиномы Ньютона.

I и II интерполяционные полиномы Ньютона используют для определения значений функции в точках, находящихся соответственно в начале и конце таблицы интерполирования. В этом случае не всегда имеется возможность выбора достаточного количества узлов (слева или справа) для построения необходимых конечных разностей S_2k , B_2k+1 .

Пусть точка x^* расположена вблизи первого узла интерполирования x₀ на сетке x₀ , x₁ , . . . , x_n. Тогда следует использовать первую интерполяционную формулу Ньютона :

(22)

t определяется формулой (14);

x₀ - ближайший к x^* узел слева.

Оценки погрешностей приближенного значения могут быть представлены в виде:

(23)

Если точка интерполирования x^* расположена вблизи последнего узла сетки x₀,x₁,...,x_n , то используют второй интерполяционный полином Ньютона:

(24)

где x_n - ближайший к x^* узел справа, .

Оценки погрешностей приближенного значения N_n^II(t^*) можно записать в виде:

(25)