Построение простейших квадратурных формул
Формула
прямоугольников.
Допустим, что
.
Отрезок [a;b]
разделим на N
равных частичных отрезков [xi-1;xi],
где xi=a+ih;
;
xN=b;
.
Тогда
. (5)
Обозначим среднюю точку отрезка [xi-1;xi] через
|
(6) |
.Запишем для функции f(x) на каждом из отрезков [xi-1;xi] формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
|
(7) |
Подставим в правую часть соотношения (5) вместо f(x) ее представление (7)
|
(8) |
Используя
для вычисления
вторую теорему о среднем значении
функции и, учитывая, что
,
получим, что
|
(9) |
В
силу непрерывности
существует такая точка
,
что
|
(10) |
.Используя (10), получаем
или, так как ,
|
(11) |
Приближенное равенство
|
(12) |
называется
квадратурной формулой прямоугольников,
определяемой узлами
и коэффициентами
.
Величина
|
(13) |
является остаточным членом формулы прямоугольников (12).
Оценка остаточной погрешности формулы прямоугольников может быть записана в виде
|
(14) |
,где
.
Выражения
для остаточного члена (13) и остаточной
погрешности (14) показывают, что формула
прямоугольников (12) является точной для
любой линейной функции, так как вторая
производная такой функции равна нулю,
и, следовательно,
.
Оценим
вычислительную погрешность
формулы прямоугольников, которая
возникает за счет приближенного
вычисления значений функции f(x)
в узлах
.
Пусть,
например, значения f(
)
в формуле (12) вычислены с одинаковой
абсолютной погрешностью
,
тогда
|
(15) |
Пример 1. Вычислить с помощью формулы прямоугольников
с
точностью
= 10-2.
Применяя алгоритм решения задачи 2, представим суммарную погрешность в виде суммы трех слагаемых.
=0,01=0,009+0,0005+0,0005.
Выберем h из условия
.
Так
как
и (b-a)=1,
то
и, следовательно,
,
т.е. N=4,
h=0,25,
.
Составим
таблицу значений функции 1/1+x
с тремя знаками после запятой, так как
.
|
0,125 |
0,375 |
0,625 |
0,875 |
|
0,889 |
0,727 |
0,615 |
0,533 |
Используя формулу (12), получаем
.
Так
как в данном случае погрешность округления
равна
,
то получим
.
Формула
трапеций.
Предположим, что
.
Разделим отрезок [a;b]
на N
равных частей, тогда
,
(16)
где
.
Заменим функцию f(x) на каждом из отрезков [xi-1,xi] первой интерполяционной формулой Ньютона первой степени
(17)
Подставляя формулу (17) в правую часть (16), интегрируя и используя вторую теорему о среднем значении функции, получим
В силу (10) получаем:
Приближенное равенство
(20)
называется формулой трапеции. Величина
(21)
является остаточным членом формулы трапеций. Оценка остаточной погрешности формулы трапеций может быть записана в виде
(22)
Формула трапеций, как и формула прямоугольников, является точной для любой линейной функции. Вычислительная погрешность формулы трапеций также равна
(23)
Так как остаточные члены формул прямоугольников и трапеций (13) и (21) имеют противоположные знаки, то формулы (12) и (20) дают двухстороннее приближение для интеграла (1), то есть
если
f
˝(x)
> 0,
,
если f
˝(x)
< 0.
В таком случае можно принять, что
(24)
тогда
, (25)
т.е. погрешность выражается через приближенные значения интегралов.
Пример
2. Вычислить
по
формуле трапеций, полагая N=4;
оценить полную погрешность результата.
Учитывая результаты примера 1, найти
по формуле (24) и оценку (25).
Применяя алгоритм решения задачи 1, находим:
.
Составим таблицу значений функции 1/(1+x) с тремя знаками после запятой
.
|
0,00 |
0,25 |
0,50 |
0,75 |
1,00 |
|
1,000 |
0,800 |
0,667 |
0,571 |
0,500 |
=
.
Суммарная погрешность равна
.