§ 11. Розрахунок воднеподібних атомів

1. Квантовий розрахунок воднеподібних атомів.

Звичайне стаціонарне рівняння Шредінгера має вид

, (1)

де хвильова функція, потенціальна енергія електрона в полі ядра, маса електрона, ^ оператор Лапласа.

В аналітичному вигляді рівняння (1) розв'язується лише для воднеподібних атомів. До них відносяться власне водень та група одновалентних лужних елементів, однократно іонізований атом гелію , двічі іонізований атом літію і т.п. Потенціальна енергія електрона у таких атомів у полі ядра із зарядом Ze записується у вигляді

, (2)

де r  відстань електрона від ядра. При цьому рівняння Шредінгера запишеться так

. (3)

Розглянемо коротко результати розв'язку рівняння (3). Потенціальна енергія електрона у воднеподібних атомах, як центрально симетричній структурі, залежить від відстані r, азимутального кута та полярного кута . Відповідно до цього і , яка є добутком радіальної та азимутальної псі-функцій .

Числа n, l, m мають назву квантових чисел:

• n=1,2,3,…  головне квантове число, що визначає енергію електрона у атомі та ймовірність знаходження електрона на відстані r від ядра;

• l=0,1,2,…,n-1 – азимутальне (орбітальне) квантове число, що визначає момент імпульсу електрона у атомі;

• m=0,  1,  2, ... ,  l – магнітне квантове число, що визначає проекцію моменту імпульсу на вісь , яку ототожнюють із напрямком вектора магнітної індукції зовнішнього електромагнітного поля.

Радіальна частина псі-функції визначає густину ймовірності знаходження електрона на відстані r від ядра, яка задається виразом . Положення максимумів цієї ймовірності позначимо через і воно представляється виразом

, (4)

а на малюнку представлено графік залежності ймовірності для атома водню у координатах , я кий називається радіусом Бора. Енергія електрона визначається виразом

, (5)

де енергія основного стану атома водню. Значення і приведені у таблиці

Дж	13,6 еВ	м

2. Розрахунок воднеподібних атомів за Бором.

Вивчення спектра випромінювання видимого діапазону водню дозволило Бальмеру описати його за допомогою емпіричної формули

, (6)

де стала Рідберга, , довжина хвилі, хвильове число. Формула (6) називається серіальною формулою Бальмера-Рідберга.

В результаті досліджень розсіювання речовиною частинок, Резерфорд запропонував планетарну модель будови атомів, за якою у центрі воднеподібного атома знаходиться заряджене ядро з додатним зарядом Ze, а навколо нього на кругових орбітах рухаються Z електронів, порядковий номер атома в таблиці Менделєєва. Для того щоб теоретично описати планетарну модель найпростішого атома, яким є атом водню, Н. Бор у 1913 установив три принципи існування такої моделі, сутність яких зводиться до такого.

1. Усупереч класичній теорії, за якою заряджена частинка, що рухається із прискоренням, повинна випромінювати, електрони атома, рухаючись прискорено на колових орбітах, не випромінюють електромагнітні хвилі. Такі орбіти Бор назвав стаціонарними.

2. При переході електронів з одної стаціонарної орбіти з більшою енергією на іншу з меншою енергією атом випромінює електромагнітні хвилі з частотою

, (2)

де стала Планка.

При співударяннях атомів з іншими частинками чи опроміненні їх світлом вони поглинають енергію

. (3)

причому .

3. Електрон, що рухається по стаціонарній орбіті, має дискретні значення моменту імпульсу, величини яких, пропорційні цілому числу сталої

.

Н аведені принципи дозволили Н.Бору з класичної точки зору розрахувати радіуси стаціонарних орбіт та відповідні їм енергії воднеподібних атомів.

Розрахунок орбіт та енергій воднеподібних атомів. За постулатами Бора можна одержати спектр енергії та радіуси стаціонарних орбіт воднеподібних атомів (атомів з одним електроном на зовнішній орбіті й зарядом ядра Ze).

З правила квантування орбіт (1) знайдемо, що

. (4)

Бор вважав, що електрон у воднеподібній системі рухається під дією кулонівської сили взаємодії електрона з ядром, яке має заряд Ze

.

Ця сила є доцентровою і рівняння другого закону Ньютона , де , буде мати вигляд

. (5)

Підставляючи (4) у (5), одержимо

. (6)

Електрон має повну енергію, що складається з кінетичної енергії та потенціальної енергії , тобто повна енергія

. (7)

З (5) можна одержати

, (8)

а (7) та (8) дають

. (9)

Підставляючи (6) у (9) одержимо

. (10)

Вираз (7) можна представити у вигляді

, (11)

а вираз (10) у виді

. (12)

Вирази (11-12), одержані Бором, співпадають із квантово-механічними виразами (4-5). Спектр енергій для атома водню представлено на малюнку.

Для заданого n, стани атома водню в залежності від імпульсу (квантове число l) класифікуються умовними позначеннями

l	0	1	2	3	4
стан	s	p	d	f	g

Випромінювання та поглинання світла атомом відбувається з певними обмеженнями, які ще називають правилами відбору. Виявляється, що при переходах електрона між енергетичними рівнями, у першому наближенні, повинно відбуватися таке обмеження на зміну азимутального квантового числа l

l=1,

яке пов’язане із законом збереження імпульсу, коли враховуються імпульси атома й фотона. Таким чином в атомі можливі переходи

nsmp, npmd і т.п.

Використовуючи правило частот, можна записати

. (15)

Вираз для довжини хвилі випромінювання має вид

,

або

, (16)

д е стала Рідберга записується так

. (17)

Теорія атома водню, створена Н.Бором, була першим кроком до квантової теорії атомів та молекул, яка має в основі рівняння руху елементарних частинок Шредінгера. Спектр випромінювання атома водню представлено на спектрограмі.