Тема 1.

Простые проценты

Основные понятия

Процентные деньги (проценты) – 1. сумма, уплаченная за пользование заемными денежными ресурсами; 2. доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты, инвестиции и т.д.).

Процентная ставка (такса) – 1. характеризует интенсивность начисления процентов; 2. отношение процентных денег, уплаченных (полученных) за единицу времени, к величине капитала.

I=f(PV, n, i),

I=I PV n,

где I – процентные деньги,

PV – величина капитала, предоставляемого в кредит,

n – срок, на который предоставляется кредит,

I – процентная ставка.

Относительно момента выплаты или начисления дохода за пользование предоставленными денежными средствами проценты подразделяются на обычные и авансовые.

Проценты обычные (декурсивные) – проценты, начисляемые по истечении определенного периода после вложения средств. Вычисляются относительно первоначальной суммы денег.

Проценты авансовые (антисипативные) – проценты, уплачиваемые в момент выдачи денежных средств. Вычисляются относительно суммы денег с процентами (наращенной суммы).

Этим видам процентов на практике соответствуют определенные процентные ставки: обычная ставка и антисипативная ставка.

Практика уплаты процентов основывается на теории наращивания денежных средств по арифметической или геометрической прогрессии. Арифметическая прогрессия соответствует простым процентам, геометрическая – сложным, то есть в зависимости от того, что является базой для начисления – переменная или постоянная величина – проценты также делятся на:

простые – проценты, весь срок финансовой операции определяется относительно первоначальной суммы;

сложные – проценты, база для определения которых постоянно меняется за счет присоединения (снятия) начисленных раннее процентов.

Следующей формулой выражается суть практических расчетов, связанных с исчислением суммы погашения ссуды, предоставленной под простые проценты и размера срочного вклада с процентами:

FV= PV (1+n i),

где PV – современная стоимость денег,

FV – наращенная (будущая) стоимость денег.

При использовании простых процентов, когда срок сделки не равен целому числу лет, периоды начисления процентов выражаем дробным числом как отношение числа дней проведения сделки к числу дней в году, т. е.:

n=t/y.

Тогда, FV=PV(1+i t/y).

В зависимости от сочетания t и y, измеренных по-разному, на практике встречаются следующие способы расчетов:

1. t и y измерены точно – это значит начислить точные проценты с фактическим сроком операции. Для определения t здесь пользуются специальной таблицей порядковых номеров дней в году: из номера дня окончания операции вычитают день ее начала (если день выдачи и день погашения ссуды считают за 1);

2. если t измерено точно, а y – приближенно. Этот способ используется для вычисления обыкновенных (коммерческих) процентов с фактическим сроком операции. Поскольку при вычислении в выражении t/y знаменатель меньше, чем при расчетах в случае 1, то есть 360 по сравнению с 365, то размер начисленных процентов при прочих равных условиях соответственно будет несколько большим – на 1,3889%. России по такому принципу ведутся все банковские операции.

3. когда t и y измерено приближенно. Этот способ применяется для вычисления обыкновенных (коммерческих) процентов с приближенным сроком операции при некоторых видах расчетов с населением.

При обслуживании текущих счетов банки сталкиваются с непрерывной цепью поступлений и расходований средств, а также с необходимостью начисления процентов на постоянно меняющуюся сумму.

В банковской практике в этой ситуации используется правило – общая начисленная за весь срок сумма процентов, начисленных на каждую из постоянных на некотором отрезке времени сумм.

Для начисления процентов на такие постоянные суммы используют процентные числа.

Процентное число = Сумма срок ее хранения в днях/100.

Процентные числа по каждой постоянной сумме складываются и делятся на дивизор:

Дивизор = Продолжительность года в днях/годовая ставка процентов (в процентах).

Таким образом, вся абсолютная сумма начисленных процентов рассчитывается по следующей формуле:

I = Сальдо процентных чисел/Дивизор.

Пример 1.1. На расчетный счет предприятия поступили средства: 15.01 – 890 000 руб., 19.01 – 536 780 руб., 2.02 – 321 000 руб., 20.03. – 17 278 577 руб.; дебетовое сальдо с прошлого квартала на 01.01 текущего года – 27 160 руб.

Снятие средств осуществилось: 18.01 – 210 000 руб., 22.02 – 500 000 руб., 15.03 – 780 000 руб.; процентная ставка – 10% годовых на остаток по счету.

Подвести итоги на 31.03 текущего года по текущему счету предприятия в банке.

Решение:

1. Исходные данные заносим в таблицы, в гр. «Сумма»: поступление – в дебет, расход – в кредит.

2. В гр. «Дни» записываем t, т. е. порядковый номер дня, на который подводим итог, минус номер дня операции.

3. Далее в гр. «Процентное число» записываем:

210 000*37:100 = 151 200;

500 000*89:100 = 185 000, и. т. д.

4. Затем на балансовой строке процентных чисел подводим их итог: складываем процентные числа дебета и отдельно кредита. Большая сумма пишется в баланс в дебет и кредит, а сальдо (разница между суммой процентных чисел дебета и кредита) проставляется, где сумма меньше.

5. Исчисляем процентный платеж исходя из сальдо процентных чисел и дивизора:

I = Процентное число/ Дивизор = 2 695 399,6 / 360:10 = 74 872,21 руб.

Кредит

Дата снятия	Дни (t)	Сумма (PV)	Процентное число
18.01	N(31.03) – N(18.01)= = 90-18 = 72	210 000	151 200
22.02	N(31.03) – N(22.02)= = 90-53 = 37	500 000	185 000
15.03	N(31.03) – N(15.03)= = 90-74 = 16	780 000	124 800

Сальдо процентных чисел: 3 156 399,6 – 461000 = 2 695 399,6

Дебет

Дата поступления	Дни (t)	Сумма (PV)	Процентное число
1.01 (сальдо)	N(31.03) – N(1.01)= = 90-1= 89	27 160	24 172,4
15.01	N(31.03) – N(15.01)= = 90-15= 75	890 000	667 500,0
19.01	N(31.03) – N(19.01)= = 90-19 = 71	536 780	381 113,8
2.02	N(31.03) – N(2.02)= = 90-33 = 57	321 000	182 970,0
20.03	N(31.03) – N(20.03)= = 90-79= 11	17 278 577	1 900 643,4

Итого 3 156 399,6

Таким образом, на 31.03 средства на счете с процентами составят: 27 160 + 890 000 + 536 780 + 321 000 + 17 278 577 + 74 872,21 – – 210 000 – 500 000 – 580 000 = 17 838 389,21 руб.

Для определения доходности ряда финансовых операций применяется следующая формула:

i=(FV-PV)y/(PV t),

где PV и FV могут трактоваться как цены покупки и продажи финансового актива (соответственно);

t – время между покупкой и продажей актива.

Пример 1.2. Корпоративные облигации номиналом 10 тыс. ден. ед. со сроком обращения 6 месяцев продавались в день выпуска по цене 5 тыс. ден. ед., а через 30 дней – по цене 6,2 тыс. ден. ед.

Определить: а). доходность облигаций к погашению; б). доходность при продаже (рассматриваемые облигации относятся к разряду таких ценных бумаг, операции с которыми до срока погашения осуществляются ниже номинала).

а). Дано:

FV = 10 тыс. ден. ед.

PV = 5 тыс. ден. ед.

t = 6 мес.

Y = 12 мес.

Определить:

i_k погаш. = ?

Решение:

i_k погаш. = (200 % годовых).

б). Дано:

FV = 6,2 тыс. ден. ед.

PV = 5 тыс. ден. ед.

t = 30 дней

Y = 360 дней

Определить:

i_k текущ. = ?

Решение:

i_k текущ. = (288 % годовых).

Пример будет решаться в случае, если ценные бумаги, купленные в момент выпуска за 5 тыс. ден. ед., проданы через 30 дней по цене 6,2 тыс. ден. ед. Возможно решение и в том случае, если задан лишь курс ценной бумаги, т. е.

, или .

Для этого формула i=(FV-PV)*y/(PV*t) преобразуется путем деления числителя и знаменателя на PV в следующую:

i = .

Пример 1.3. Курс дисконтной облигации со сроком обращения 91 день в день выпуска – 75 (в процентах от номинала). Оценить доходность к погашению.

Дано:

PV/ FV = 0,75

t = 91 день

Y = 365 дней

Определить:

i_k погаш. = ?

Решение:

i_k погаш. = = 1,34 (134 % годовых).

Пример 1.4. Доллары США, купленные по курсу 24 руб 40 коп. за 1 долл., продали спустя 3 месяца по курсу 24 руб. 50 коп. за 1 долл. Исчислить доходность операции.

Дано:

FV = 24,5

PV = 24,4

t = 3 мес.

Y = 12 мес.

Определить:

i = ?

Решение:

i = (1,64 % годовых).

В практике финансово-экономических расчетов может возникнуть и обратная (по отношению к наращению) задача: по известной сумме FV определить объем размещенных средств PV.

Дисконтирование – принятое в финансовой математике название процедуры определения стоимости денег в более ранний момент времени в соответствии с принятой ставкой дисконтирования.

Дисконтирование коммерческое (банковский учет) – дисконтирование, при котором ставкой дисконтирования выступает дисконтная ставка.

Дисконтирование математическое – дисконтирование, при котором ставкой дисконтирования выступает обычная процентная ставка (ставка процентов).

Дисконт – разность между будущей и текущей суммами денег. На практике: скидка с номинала дисконтной ценной бумаги.

Дисконтная ставка – процентная ставка, применяемая для вычисления процентов авансовых.

В этих расчетах величина PV называется приведенной или современной стоимостью суммы FV, а при операции наращения сумма FV выступает как будущая стоимость величины PV.

Прямой расчет FV при ставке i соответствует правилу декурсивных (обычных) процентов и называется наращиванием «со ста».

Из формул наращивания «со ста» производится обратное действие, или расчет денежных средств, предоставляемых в долг (величины PV). Это действие, помимо дисконтирования, называется учетом «на сто»:

PV = FV/(1+n i);

PV = FV/(1+t/y i).

При банковском дисконтировании используют следующие формулы:

FV=PV/(1-d);

PV=FV(1-n d) и PV=FV(1- d t/y).

D = FV d t/y.

Пример 1.5. Ставка размещения краткосрочных денежных ресурсов для банков на 3 суток составляет 14,1% (годовых). Какой объем средств необходимо разместить, чтобы в результате операции поступило 1,5 млн. руб. (точные прценты)?

Дано:

FV = 1,5 млн. руб.

i = 14,1 % годовых

t = 3 суток

Y = 365 дней

Определить:

PV = ?

Решение:

PV = млн. руб.

Пример 1.6. Сумма долга, подлежащая возврату, – 10 тыс. руб. Определить сумму начисленных процентов, если срок ссуды 1 год, декурсивная ставка процентов 70 % годовых.

Дано:

FV = 10 тыс. руб.

n = 1 год

i = 70 % годовых

Определить:

Проценты (FV-PV) = ?

Решение:

I = тыс. руб.

Пример 1.7. Дата погашения дисконтного векселя 30 июня текущего года. Какова его выкупная цена и дисконт на 12 июня, если его номинал 100 тыс. руб., вексельная ставка 40 % годовых?

Дано:

t = 18 дней

Y = 360 дней

FV = 100 тыс. руб.

d = 40 % годовых

Определить:

PV = ?

D = ?

Решение:

PV = FV-D = 100-100 0,4 = 100-2 = 98 тыс. руб.

Определим соотношение простых ставок i и d при условии равенства доходов, выплачиваемых при декурсивном проценте и доходов, выплачиваемых при авансовом проценте. Эквивалентность ставок i и d:

i = d/(1-n d);

d = i/(1+i n).

i = d/(1-d t/y);

d = i/(1+i t/y).

Пример 1.8. Доходность по дисконтной ценной бумаге со сроком обращения 3 месяца оценена в виде дисконтной ставки, равной 100% годовых, а доходность размещения средств на 3-месячный депозит – 120 % годовых. Сравнить эффективность операций.

Дано:

d = 100%

i = 120%

t = 3 мес.

Y = 12 мес.

Решение:

i_экв. =

Итак, доходность дисконтной бумаги выше, чем размещение средств во вклад (133% > 120%).

Задачи для самостоятельного решения:

1. Определите доходность (процентов годовых) помещений капитала в 100 денежных единиц на 3 месяца, если его наращенная стоимость 120 денежных единиц.

2. Дисконтные облигации номиналом 100000 руб. со сроком обращения 9 месяцев продаются в день выпуска по цене 60000 руб., а через 90 дней – по цене 75800 руб. Определите доходность облигаций к погашению и текущую доходность.

3. Курс дисконтной облигации со сроком 90 дней выпуска 80,5 (в процентах). Оцените доходность к погашению.

4. Финансовый актив, купленный за 15000 денежных единиц, продали спустя 27 дней за 16000. Оцените доходность операции.

5. Исчислите текущую стоимость денег, будущая стоимость которых через 3 процентных периода при начислении простых процентов оценивается в размере 100 денежных единиц. Ставка процентов за период – 1%.

6. Банк начисляет по 3-месячному депозиту 28% годовых. Какую сумму надо внести на депозит, чтобы получить 3000 руб. к концу операции.

7. Учесть дисконтный вексель номиналом 10000 руб. за месяца до погашения по вексельной ставке 40% годовых.

8. Дата погашения дисконтного векселя 5 июля текущего года, его выкупная цена на 23 февраля? Номинал векселя 1000000 руб., учетная ставка – 8% в год.

9. Процентный вексель банка гарантирует исчисление процентов исходя из 40% годовых при сроке обращения 30 дней. Определите эквивалентную дисконтную ставку.

10. Что выгодней: приобрести дисконтный вексель со сроком погашения 100 дней, если доходность оценена вексельной ставкой 30%, или предоставить ссуду на тот же срок под 45% годовых.

11. Сравните доходность финансовых инструментов:

дисконтный вексель со сроком обращения 9 месяцев, учетная ставка – 40% годовых.

процентный вексель с таким же сроком (ставка – 45% годовых).