1.1.4 Распределение вариант и распределение средних. Выборочные характеристики как оценки характеристик генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность.

Обычно ситуация не бывает столь простой, как мы ее представили в п.1. Чаще всего мы не располагаем всей генеральной совокупностью данных и поэтому лишены возможности точно вычислить основные характеристики генеральной совокупности: генеральное среднее µ и стандартное отклонение σ. Приходится производить некоторые выборки из генеральной совокупности и на основании полученных таким образом данных вычислять не сами характеристики генеральной совокупности, а некие их оценки.

Обычно используемые оценки генерального среднего, генеральной дисперсии и стандартного отклонения по выборочным данным описываются такими формулами:

(1.3)

Обратите внимание: в этих формулах n есть объём выборки, а не генеральной совокупности.

Разумеется, желательно, чтобы наши формулы давали «хорошие» оценки, но для этого прежде всего следует ввести некие характеристики оценок, позволяющие судить, какие оценки хороши, а какие нет. Обычно используют три таких характеристики: несмещённость, состоятельность и эффективность.

Несмещённость. Если матожидание оценки совпадает с генеральным средним (или матожиданием случайной величины), оценка называется несмещенной.

Состоятельность. Если предел оценки по вероятности равен оцениваемому значению, то оценка называется состоятельной. Несколько упрощая ситуацию, можно сказать, что состоятельной называется такая оценка, которая дает практически точное значение, если используемая выборка достаточно велика и представительна.

Эффективность оценки определяется не предельным, а актуальным значением разброса оценок: из двух оценок величины более эффективна та у которой меньше дисперсия, а значит ее плотность распределения более «сжата».

Для того, чтобы правильно понимать смысл приведенных здесь характеристик нужно отчетливо представлять себе следующее. Как только мы начинаем рассматривать выборку, хотя бы только одну, мы сразу должны рассматривать ситуацию с точки зрения двух распределений: исходного распределения значений переменной х (распределение вариант) и распределения выборочных средних. Последнее трактуется следующим образом.

П усть мы сделали не одну, а очень много выборок одинакового объёма n из одной и той же генеральной совокупности и для каждой из них вычислили среднее значение. Вполне очевидно, что различные выборки – пусть они одного объема, осуществлялись по одному принципу и в одинаковых условиях – вот у таких схожих выборок средние величины и стандартные отклонения окажутся все-таки различными. Причем различия эти продиктованы случайными причинами, поскольку случайным образом отбирались представители генеральной совокупности, попавшие в выборку, а это означает, что сами выборочные средние и выборочные стандартные отклонения являются случайными величинами. Поскольку такие выборочные средние сами есть случайные величины, мы можем построить распределение выборочных средних по данным многих выборок.

Распределение средних отличается такими важными особенностями:

а) Распределение средних при росте объёма выборки по форме стремится к нормальному распределению, независимо от того, каким по форме было распределение вариант. Т.е. оно постепенно становится близким к нормальному, даже если исходное распределение вариант сильно ассиметрично (например, экспоненциальное). Однако понятно, что для гладких, одновершинных и симметричных распределений практическая близость к нормальному будет наступать раньше, при меньших объемах выборки;

б) чем больше объем выборки n, тем более вытянутым по вертикали и сжатым по горизонтали оказывается кривая распределения выборочных средних, на рис.2б показаны кривые распределения для выборок из одной и той же генеральной совокупности, содержащих по 5 и по 12 элементов;

в) отметим, что выборочное среднее является несмещенной и эффективной оценкой генерального среднего µ.

Н есмещенность оценки означает, что если по кривой распределения выборочных средних найти для случайной величины ее матожидание , то оно совпадет с матожиданием генеральной совокупности µ (на рис.2б распределение вариант симметрично, симметричны и оба распределения средних; ось симметрии у всех трех распредлений общая, что и указывает на равенство = µ). Можно показать, что существует много несмещенных оценок для матожидания генеральной совокупности µ, однако они обладают различной эффективностью.

А вот эффективность как оценки µ означает, что среди всех несмещенных оценок µ именно имеет наименьшую дисперсию.

Таким образом, несмещенной и эффективной оценкой стандартного отклонения в распределении средних является величина ,⁷ т.е. матожидание величины совпадает с : M[ ] = , причем из всех оценок с таким матожиданием имеет наименьшую дисперсию

г) Стандартное отклонение в распределении средних всегда будет меньше стандартного отклонения для распределения вариант (встретить на улице человека выше 190см много вероятнее, чем встретить 20 человек, средний рост которых более 190см); причем чем больше объем выборки, тем меньше стандартное отклонение в распределении средних; точная зависимость величины стандартного отклонения от объема выборки приведена ниже

Итак, пусть мы располагаем данными полученными всего из одной выборки, все равно мы можем получить оценку характеристик генеральной совокупности на основе этой единственной выборки. При этом мы рассматриваем эти данные двояко: как описание нашей выборки, представленное таблицей; по этой таблице мы можем вычислить и σ для данной выборки. И одновременно как одну из точек на кривой распределения , этот подход будет активно использоваться при построении доверительных интервалов.

Отметим еще одно важное следствие. Выборочное среднее является несмещенной оценкой генерального среднего µ, а вот выборочное стандартное отклонение является смещенной оценкой генерального стандартного отклонения, несмещенной оценкой (см. 1.3) является s: ; нетрудно заметить, что