§4. Критерии отрыва пограничного слоя в канале

Многие работы используют уравнение движения в пограничном слое в интегральной форме [3].

(4.1)

Здесь U – скорость,  - плотность вне пограничного слоя, - толщина вытеснения, - толщина потери импульса, ₀ – напряжение трения на стенке .

В уравнение (4.1) входят три неизвестные величины ^*, ^**, ₀, которые предполагаются зависящими от форм параметра

,

Тогда (Г) и Н = ^*/^**(Г) берут из эксперимента, а ^** находят из уравнения (4.1).

Точка отрыва погранслоя определяется значением Г_кр., которое есть некоторое статистическое значение, полученное по экспериментальным данным. Этот путь плох тем, что надо знать все эмпирические функции, которые даже в простых случаях не универсальны [3].

Наконец, в областях близких к отрыву (велики Р_х^  0) зависимости от форм параметра, а также теории турбулентных погранслоёв с представлением о ламинарном подслое несправедливы.

Кроме того, работы с уравнением (4.1) и теорией турбулентности дают большие ошибки и требуют громоздких вычислений. Попытки обобщить их на сжимаемый случай принципиально несостоятельны.

Здесь приведем метод расчета отрыва погранслоя без использования конкретной теории турбулентности, профиля скоростей и т.д. Метод Бам-Зеликовича [4] основан на общих соображениях теории размерности и подобия и на использовании минимального числа эмпирических постоянных.

Рассмотрим пограничный слой на теле.

Поверхность тела будем считать нетеплопроводной. Чем определяется течение в произвольном сечении погранслоя?

Течение в пограничном слое определено, если известны:

1. Профиль скорости в начальном сечении,

2. Р(х) – на границе погранслоя (движение вне слоя известно),

3. U(x₀), (x₀) – во внешнем потоке,

4. Характерный линейный размер – (l = х-х₀).

Гипотеза (подтвержденная экспериментами): течение в пограничном слое в сечении х зависит от Р(х), U(x), (х) в малой окрестности этого сечения.

Универсальность «отрывного профиля скорости» на разных телах говорит в пользу этой гипотезы.

Таким образом, влиянием профиля скорости в начальном сечении можно пренебречь. Характерным линейным размером может быть , ^*, ^** и др. Р(х) = Р(х^*) + Р_х^(х^*)х + . Если х^* - не особая точка во внешнем потоке, томожно учитывать Р(х^*) и Р_х^(х^*), а остальным пренебречь.

Параметры, определяющие течение:

U – скорость,  - плотность, р – давление внешнего потока в сечении х^*, Р_х^(х^*), z – характерный размер погран. слоя,  - характерная const вязкости,  - const теплопроводности,  - отношение теплоемкостей.

По теореме размерностей все безразмерные величины есть функции только безразмерных комбинаций определяющих параметров.

Число Прандтля и  опущены, т.к.они const.

Рассмотрим теперь, что может быть в точке отрыва  = 0, т.е.  = 0. Считая Re_z – большим, разложим  = 0 в ряд по 1/Re_z, выразив сначала  = (P_x^z)/U²

(4.2)

Совершим теперь предельный переход   0.

В ламинарном пограничном слое при   0, Re  , z  0.

Известно z/L (Re)^-1/2 (Re = UL/)

Следовательно, как (Re)^-1/2, т.к.

Т.к. ₀(М) не стремится к 0 при   0, то для ламинарного пограничного слоя ₀(М)  0.

Умножая обе части равенства (4.2) на Uz/ и переходя к пределу при Re  , получим, что в точке отрыва ламинарного пограничного слоя справедливо соотношение

(4.3)

В случае турбулентного пограничного слоя при   0 характерный размер пограничного слоя z не стремится к 0 (т.к. толщина пограничного слоя определяется турбулентным перемешиванием). Следовательно, не стремится к 0 и Р_х^z/U². Поэтому в случае турбулентного пограничного слоя ₀(М)  0. Все остальные члены в (4.2) содержат Re^-1. Устремляя   0 (Re  ), получим для турбулентного пограничного слоя над точкой отрыва соотношение

(4.4)

Функции ₀(М) и ₁(М) должны быть определены экспериментально. Их значения зависят от того, какой параметр принимается за характерный размер пограничного слоя.

Для турбулентного пограничного слоя в несжимаемой жидкости (М = 0), если за характерный размер z взять ^*, то ₀(0)  0.015, если z = ^**, то ₀(0)  0,005. Эти значения вычислены на основании экспериментальных работ (NACA Report, № 1030, 51г. и работ Стенфордской конференции). В работах NACA приведены таблицы, а не только графики, поэтому ₀ получено с большой точностью. Для вычисления этих величин приходится находить производную скорости по данным в конечном числе точек, а в области отрыва производная скорости сильно меняется, и разброс в экспериментальных точках особенно велик.

Различными авторами получались эти критерии отрыва, но здесь (4.3) и (4.4) получены вне зависимости от предположений о том или ином профиле скорости или напряжения трения в пограничном слое, вне зависимости от теории турбулентности, вне зависимости от метода расчета пограничного слоя.

Поэтому (4.3) и (4.4) – представляют собой связь между параметрами потока и характерным размером пограничного слоя, справедливую во всех случаях, когда выполняется одно предположение: на течение в пограничном слое влияет внешний поток только в малой окрестности этого сечения.

Соотношения (4.3) и (4.4) справедливы и в случае сжимаемого газа и позволяют делать выводы о влиянии различных параметров на отрыв пограничного слоя.

Для точного определения положения точки отрыва необходимо кроме функции ₀(М) и ₁(М) знать еще и распределение характерного размера z вдоль контура тела.

Для определения z воспользуемся формулой (4.2). Разложим функцию Fв ряд по степеням Р_х^z/U² =  и учтем члены первой степени (т.к. параметр Р_х^z/U² – мал, он ~10^-2; 10^-3)

Разложим f₁ в ряд по /Uz, отбросим все члены кроме нулевого и получим формулу, справедливую для ламинарного и турбулентного пограничного слоя.

(4.5)

Вид функций f₀ и f₁ различен в случае ламинарного и турбулентного пограничного слоя.

Если Р_х^ = 0, то

Следовательно, f₀ есть скорость нарастания характерного размера пограничного слоя на плоской пластине и определяется из теоретического решения или из экспериментальных данных для плоской пластины. Определив f₀, можно по экспериментальным данным течения с градиентом давления определить f(М). Уравнение (4.5) легко интегрируется как для ламинарного, так и для турбулентного пограничного слоя.

Для турбулентного пограничного слоя на плоской пластине в потоке несжимаемой жидкости, как известно, справедливо соотношение

А = 0,230, если z = 

A = 0,017, если z = ^*

А = 0,013, если z = ^**

Тогда для турбулентного пограничного слоя в несжимаемой жидкости получаем:

(4.6)

С = 5,7 при z = ^*, С = 4,8 при z = ^** (постоянные посчитаны по данным экспериментальных работ).

Общий интеграл уравнения (4.6) равен уравнению Бернулли:

(4.7)

Здесь z₀, U₀ – значения z и U при х = х₀. При вычислении (4.7) принято во внимание уравнение , справедливое во внешнем потоке.

Таким образом, вычисление z сводится к квадратуре. Однако можно указать упрощенный способ вычисления z и параметра отрыва соответственно.

Если Re_z  10⁵, то в области больших Р_х^ в уравнении (4.6) второй член в 15-20 раз больше первого. Тогда

при

В частности

при z = ^* (4.8)

при z = ^** (4.9)