§3. Интегральный метод определения потерь в канале.

Рост необратимых потерь в пограничном слое можно характеризовать ростом потока энтропии, т.е.

(3.1)

Здесь s – энтропия единицы массы,  - плотность, u – скорость; координаты - х – вдоль стенки, y – перпендикулярно стенке, индекс  приписывается параметрам потока вне погранслоя.

Примем, что

R – газовая постоянная, Т₀ – температура торможения, Р₀ – давление торможения.

(3.2)

Если стенка теплоизолирована и число Р_r  1, то можно принять в пограничном слое Т₀ = Т_0∞

Тогда получим, что

При небольших числах М

Разложим в ряд по , и, ограничиваясь линейным членом, получим

(3.2)

В знаменателе формулы (3.2) стоит Р_0  Р₀, вследствие предположения .

Интегрируя поперек пограничного слоя, найдем

(3.3)

т.е. при постоянной температуре торможения и небольших числах М поток избытка энтропии в пограничном слое пропорционален потоку потерь полного давления.

Итак, пусть

(3.4)

Пусть U – скорость потока на границе пограничного слоя,  = const (при малых М в погранслое), тогда

(3.5)

Формула связи Р_0; Р₀ со скоростями:

Последний интеграл есть, как известно, толщина потери энергии в пограничном слое ^***.

Таким образом, расчет потока потерь в погранслое сводится к расчету ^*** [3].

Вывод уравнений для расчета интегральных характеристик погранслоя основан на предположении о том, что внешний поток оказывает влияние на погранслой только в малой окрестности избранного сечения (локальное влияние).

Тогда методами теории размерности можно получить, что [4]

Где z – какой-либо характерный размер пограничного слоя (^*, ^**, и т.д.), , U, М – плотность, скорость, число Маха во внешнем потоке над данным сечением погранслоя, р_х^ – производная давления в данном сечении,  - характерная вязкость.

Безразмерный параметр  является малой величиной

Даже в точке отрыва его значение, являющееся максимальным при течениях с торможением, не превосходит сотых или даже тысячных (в зависимости от выбора z). Поэтому естественно разложить функцию F по степеням , ограничиваясь первым членом.

Тогда получим

,

Если считать, что числа М < 1, то характеристики турбулентного пограничного слоя ведут себя так же, как в несжимаемой жидкости. Поэтому функции f₀ и f₁ от числа М практически не зависят, и формула приобретает вид

Функция f₀ является значением производной от z при  = 0, т.е. при отсутствии градиента давления, и имеет, как известно, в несжимаемой жидкости вид

А = 0,230 (если z = ); А = 0,017 (если z = ^*)

А = 0,013 (если z = ^**); А = 0,026 ( если z = ^***).

Если предположить, что Re_z – велико, то разлагаем f₁ – в ряд по степеням 1/Re_z, ограничиваясь нулевым членом.

Тогда для производной характерного размера турбулентного погранслоя получим

(I)

Таким образом, в последнюю формулу входит только одна постоянная С, которая может быть легко определена из любого эксперимента по измерениям погранслоя по длине какого-либо тела.

В основной работе [4] были предложены значения: С = 5,7 при z = ^*; C = 4,8 при z = ^**.

Расчеты по этому методу лают в ряде случаев хорошее согласование с экспериментом, но не всегда.

Рассматриваемый метод расчета турбулентного пограничного слоя имеет несомненное преимущество при расчете потока потерь полного давления, т.к. за величину z может быть принята ^***, которая и определяет поток потерь. Уравнение (I) дает решение без дополнительных предположений о связях между параметрами и функциями в погранслое, что всегда приводит к дополнительным неточностям.

Итак, примем z = ^***. (Из (I) следует, что z является аналитическим решением уравнения Бернулли).

Проведем усовершенствованный вывод уравнения (I).

1) Степень  в уравнении может быть отлична от 1.

2) Зависимость f₁(Re_z) может содержать Re_z в малой степени.

Например, f₀  (Re_z)^-1/4. Аналогичный вид может иметь и f₁. (Re_z  10³-10⁴, тогда Re_z^1/4  5-10, 1/Re_z^1/4  0,1-0,2 – не так мала). Ответ на вопрос о зависимости f₁(Re_z) может дать эксперимент, собранный в тр. Стэнфордской конференции.

Из соотношения z^ = f₀(Re_z) + f₁(Re_z) получим

,

тогда

Из подсчетов этой величины f₁, из 2-3-х экспериментов с ускорением во внешнем потоке (Р_х^ < 0) и с замедлением во внешнем потоке (Р_х^ > 0,  > 0) видно, что f₁ = const при  > 0, т.е. для течений с торможением во внешнем потоке.

Для течений с ускорением во внешнем потоке можно увидеть из экспериментов, что f₁Re_z^1/4 = const, т.е.

при   0, b = const (Re_z подсчитан по ^***).

Таким образом, для вычисления z = ^*** в случае ускоренного течения во внешнем потоке получается

(при   0) (II)

a = 0,026, b = const определяется из какого-нибудь эксперимента.

Уравнение (II) обладает особенностью «саморегулирования», т.к.   0 (если z оказалась завышенной, то  снизит ее значение за счет занижения производной и наоборот).

Для течений с   0 это не так. Наоборот, начальная ошибка может нарастать, поэтому (если показать, как нарастает ошибка вычислений) лучше принять в формуле (I) степень  не 1, а чуть меньше 1, например 0,95 - 0,97.

Можно записать общую формулу для всех случаев

(III)

при  = 0 формула (III) переходит в известную формулу для обтекания пластины. Из экспериментов получено

a = 0,026, b = 20, c = 2,75 для ^*** = z.