2. Разложим монотонно возрастающую (вспомним условия Дирихле) функцию на участке в обобщенный ряд Фурье

Вычислим коэффициенты разложения:

Вычисление интегралов (первый берется по частям):

Искомое разложение имеет вид:

Ответ:

Задание №4. В виде обобщенного ряда Фурье найти решение краевой задачи для уравнения эллиптического типа

Решение. Требуется найти решение неоднородного уравнения Лапласа в плос­кости для прямоугольной области, ограниченной слева и справа прямыми и , а снизу и сверху прямыми и . Решение данной краевой задачи можно получить в виде одинарного или двойного ряда Фурье по следующему плану. Сначала из решения однородного уравнения Лапласа с помощью раз­деления переменных строится полная система собственных функций по одной или по обеим пространст­венным координатам, удовлетво­ряющих заданным условиям на границах.

Решение однородного уравнения Лапласа при заданных усло­виях на границах строим с помощью метода разделения переменных

Представим искомое решение однородного уравнения в виде:

.

Подставим это соотношение в уравнение Лапласа и разделим переменные

Штрихом обозначено дифференцирование по аргументу функции.

Из этого соотношения следуют два обыкновенных дифференциальных уравнения с условиями на границах

(4.1)

(4.2)

Общее решение уравнения (4.1) имеет вид:

(4.3)

Из граничных условий имеем систему однородных уравнений для определения констант интегрирования

(4.4)

Однородная система алгебраических уравнений (4.4) имеет бес­численное множество ненулевых решений в том случае, если ее оп­ределитель равен нулю. Тривиальное (нулевое) решение нас не инте­ресует. Приравнивая определитель системы нулю, получим уравне­ние для определения собственных значений краевой задачи (4.1):

(4.5)

Значение требует специальной проверки, является ли оно собственным числом краевой задачи (4.1), так как при этом меняется и вид решения дифференциального уравнения. При имеем , а из граничных условий получим:

. (4.6)

Таким образом, значение не является собственным числом краевой задачи (4.4), так как ему соответствует единственное нулевое решение.

Собственные числа краевой задачи (4.1) определяются из уравнения

(4.7)

При этих значениях из системы (4.4) следует, что , а из множества значений константы выберем одно, которое соответствует той или иной (выбираемой нами) нормировке собственных функций. В качестве нормировки можно потребовать, чтобы значение собственной функции в той или иной точке равнялось заданному числу, или чтобы максимальное значение собственной функции на отрезке определения равнялось единице и т.д.

Говорят: «Каждому собственному значению краевой задачи соответствует одна собственная функция, определяемая с точностью до произвольного множителя. Множитель доопределяется с помощью введения нормировки».

Пусть . При такой нормировке максимальное значение собственной функции на отрезке определения равно единице. Тогда получим:

(4.8)

Вообще говоря, при решении краевой задачи (4.1) исследуются не только положительные значения параметра , но и отрицательные его значения. Значение исследовано выше. Пусть (параметр является параметром в процедуре разделения переменных в уравнении Лапласа).

Тогда формулы, аналогичные формулам (4.1),(4.3),(4.4) примут вид:

(4.9)

.

В данных формулах учтен полученный выше результат при .

Таким образом, из решения краевой задачи (4.1) получили бесконечный ряд собственных значений, определяемых по формуле (4.7). Каждому собственному значению соответствует собственная функция, вычисляемая по формуле (4.8). Бесконечная последовательность собственных функций (4.8) образует полную на отрезке систему ортогональных гармонических функций, по которой можно разложить на этом отрезке любую другую функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле.

Общее решение уравнения (4.2) имеет вид:

(4.10)

Из граничных условий имеем систему однородных уравнений для определения констант интегрирования

(4.11)

Однородная система алгебраических уравнений имеет бесчисленное множество ненулевых решений в том случае, если ее определитель равен нулю. (Тривиальное нулевое решение нас не интересует.) Приравнивая определитель системы нулю, получим

(4.12)

Значение не является собственным числом краевой задачи (4.2), так как при этом дифференциальное уравнение имеет иной вид решения и из граничных условий задачи следует . При краевая задача (4.2) имеет единственное нулевое решение.

Уравнение (4.12) не имеет ненулевых действительных корней, так как в скобках этого уравнения стоит сумма положительных чисел. Следовательно, из (4.11) имеем и при действительных значениях краевая задача (4.2) имеет единственное нулевое решение.

Если положить , то краевая задача (4.1) запишется в виде:

(4.13)

Решение уравнения в задаче (4.13) . (4.14)

Из граничных условий получим однородную систему алгебраических уравнений для вычисления констант интегрирования

(4.14)

Система (4.14) имеет ненулевые решения, если главный определитель ее равен нулю, т.е.

(4.15)

Значение не является собственным числом краевой задачи, так как ему соответствует единственное нулевое решение.

Подставляем найденные собственные значения в уравнения (4.14). Из первого уравнения (4.14) имеем . Задаем в качестве нормировки . Получаем собственные функции краевой задачи (4.13) в виде:

(4.16)

Таким образом, из решения краевой задачи (4.2),(4.13) получили бесконечный ряд собственных значений, определяемых по формуле (4.15). Каждому собственному значению соответствует собственная функция, вычисляемая по формуле (4.16). Бесконечная последовательность собственных функций (4.16) образует полную на отрезке систему ортогональных гармонических функций, по которой можно разложить на этом отрезке любую другую функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле.

Примечание. Описанные процедуры построения полных систем коорди­натных функций и позволяют избежать процедуры преобразований с комплексными числами в процессе поиска решений краевых задач (4.1),(4.2). Строго говоря, требуется найти все корни уравнений (4.5) и (4.12) и действи­тельные, и комплексные (в данных случаях чисто мнимые) и исследовать, яв­ляются ли они собственными числами соответствующей краевой задачи. При решении уравнения (4.7) достаточно показать отсутствие корней в комплексной области. При подстановке в уравнение (4.7) имеем:

При любых значениях имеем , т.е. выписанное уравнение корней не имеет. Следовательно, указанные в (4.7) значения являются полным набором собственных чисел краевой задачи (4.1).

Уравнение (4.12) не имеет ненулевых действительных корней, но при подстановке получим

Подставим в уравнения (4.11), отбросим одно (например, второе) из уравнений, зададим в качестве нормировки и тогда получим . Собственные функции, соответствующие найденным собственным числам, запишутся в виде:

Таким образом, построены две системы гармонических функций, каждая из которых может быть использована в качестве координатных (базисных) функций при разложении произвольной функции, удовлетворяющей условиям Дирихле в пределах указанных выше участков для каждой из систем функций.

Возможны три варианта построения решения исходной краевой задачи.