Теория вероятности. Билеты и ответы

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат –

соответствующие им частоты и соединяют точки отрезками прямых.

Полигон относительных частот строится аналогично, за исключением того, что на оси ординат откладываются относительные частоты .

В случае непрерывного признака строится гистограмма, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для

каждого частичного интервала – сумму частот вариант, попавших в i–й интервал.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой

служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению . Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси

абсцисс на расстоянии (высоте) . Площадь i–го прямоугольника равна – сумме частот вариант i–о интервала, поэтому площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

В случае гистограммы относительных частот по оси ординат откладываются относительные частоты , на оси абсцисс – частичные интервалы, над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на высоте .

Площадь i–го прямоугольника равна относительной частоте вариант , попавших в i–й интервал. Поэтому площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.

Выборочная функция распределения:

Выборочная (эмпирическая) функция распределения в математической статистике - это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

Пусть - выборка из распределения случайной величины , задаваемого функцией распределения . Будем считать, что , где , -независимые случайные величины, определённые на некотором пространстве элементарных исходов Ω. Пусть . Определим случайную

величину следующим образом:

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

,

где - индикатор события , - функция Хевисайда. Таким образом, выборочная функция распределения в точке равна относительной частоте элементов выборки, не превосходящих значение . Случайная величина называется выборочной функцией распределения случайной величины и является аппроксимацией для функции . Существует результат, показывающий, что при функция равномерно сходится к , и указывающий скорость сходимости.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

27. Понятие оценки. Свойства оценок. Виды оценок.

Для установления качества оценки используют три основные свойства и рассматривают несмещенные оценки, состоятельные оценки и эффективные оценки.

Для того, чтобы определить эти свойства, необходимо предварительно ввести понятие статистики. Под статистикой будем понимать функцию от выборки случайной величины . Следует отметить, что функция сама является случайной величиной. Если статистика позволяет оценить

некоторую характеристику случайной величины , то говорят, что статистика оценивает . Например, статистика, оценивающая дисперсию случайной величины имеет вид:

.

Статистика называется несмещенной оценкой параметра , если математическое ожидание оценки равняется оцениваемому параметру:

Статистика называется эффективной оценкой параметра , если среднеквадратическая ошибка данной оценки является наименьшей среди всех возможных оценок:

Статистика называется состоятельной оценкой параметра параметра , если с ростом размера выборки оценка стремиться по вероятности к оцениваемому параметру:

при любом сколь угодно малом

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

28. Точечные оценки. Принцип максимального правдоподобия.

Точечная оценка в математической статистике — это число, вычисляемое на основе наблюдений, предположительно близкое к оцениваемому параметру.

Пусть — случайная выборка из распределения, зависящего от параметра .

Тогда статистику , принимающую значения в , называют точечной оценкой параметра θ

Замечание:

Формально статистика может не иметь ничего общего с интересующим нас значением параметра θ. Её полезность для получения практически приемлемых оценок вытекает из дополнительных свойств, которыми она обладает или не обладает.

Свойства точечных оценок:

- Оценка называется несмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности:

,

где обозначает математическое ожидание в предположении, что θ — истинное значение параметра (распределения выборки X).

-Оценка называется эффективной, если она обладает минимальной дисперсией среди всех возможных несмещенных точечных оценок.

-Оценка называется состоятельной, если она по вероятности с увеличением объема выборки n стремится к параметру генеральной совокупности: ,

по вероятности при .

- Оценка называется сильно состоятельной, если , почти наверное при .

Метод максимального правдоподобия (также метод наибольшего правдоподобия) в математической статистике — это метод оценивания неизвестного параметра путём максимизации функции правдоподобия. Основан на предположении о том, что вся информация о статистической выборке содержится в функции правдоподобия. Метод максимального правдоподобия был проанализирован, рекомендован и значительно популяризирован Р. Фишером между 1912 и 1922 годами (хотя ранее он был использован Гауссом, Лапласом и другими).

Оценка максимального правдоподобия является популярным статистическим методом, который используется для создания статистической модели на основе данных, и обеспечения оценки параметров модели.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Пусть — независимая выборка из непрерывного равномерного распределения на отрезке [0,θ], где θ > 0 — неизвестный параметр. Тогда функция правдоподобия имеет вид

Последнее равенство может быть переписано в виде:

где , откуда видно, что своего максимума функция правдоподобия достигает в точке . Таким образом

.

Пусть — независимая выборка из нормального распределения с неизвестными средним и дисперсией. Построим оценку максимального правдоподобия

для неизвестного вектора параметров . Логарифмическая функция правдоподобия принимает вид:

.

Чтобы найти её максимум, приравняем к нулю частные производные:

откуда

— выборочное среднее, а — выборочная дисперсия.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

29. Интервальное оценивание. Интервальные оценки математического ожидания и дисперсии.

Интервальное оценивание — один из видов статистического оценивания, предполагающий построение интервала, в котором с некоторой вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра.

Определение:

Пусть - неизвестный параметр генеральной совокупности. По сделанной выборке по определенным правилам находятся числа и такие чтобы выполнялось неравенство:

Интервал является доверительным интервалом для параметра , а число - доверительной вероятностью или надежностью сделанной оценки. Обычно надежность задается заранее, причем выбираются числа близкие к 1 (0.95, 0.99 или 0.999).

Интервальная оценка математического ожидания при известной дисперсии

Итак, Х ~ N(а,σ) (случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами а и σ), причем значение параметра а не известно, а значение дисперсии σ2 известно.

При ~ эффективной оценкой параметра а является , при этом ~.

Статистика имеет распределениеN(0; 1) независимо от значения параметра а и как функция параметра а непрерывна и строго монотонна. Следовательно, с учетом неравенства (1.12) и симметричности двусторонних критических границ распределения N(0; 1) будем иметь:

Р(–uа < Z < uа) = 1 – α = γ.

Решая неравенство относительно а, получим, что с вероятностью 1 – α выполняется неравенство:

Число uа находят по прил. 3 из условия Ф(uа) = γ/2.

Замечание. Если п велико, оценку (1.13) можно использовать и при отсутствии нормального распределения величины Х, так как в силу следствия из центральной предельной теоремы при случайной выборке большого объема п

.

В частности, если Х = μ, где μ – случайное число успехов в большом числе п испытаний Бернулли, то

,

и с вероятностью ≈1 – α для вероятности р успеха в единичном испытании выполняется неравенство

. (1.15)

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Заменяя значения р и q = 1 – р в левой и правой частях неравенства (1.15) их оценками

и , что допустимо при большом п,получим приближенный доверительный интервал для вероятности р:

Пример:

Фирма коммунального хозяйства желает на основе выборки оценить среднюю квартплату за квартиры определенного типа снадежностью не менее 99 % и погрешностью, меньшей 10 д. е. Предполагая, что квартплата имеет нормальное распределение со средним квадратичным отклонением, не превышающим 35 д. е., найдите минимальный объем выборки.

Решение. По условию требуется найти такое п, при котором , где а и – генеральная и выборочная средние.

Приравняв γ = 0,99, α = 1 – γ, из прил. 3 найдем число uа, при котором Ф(uа) = γ / 2 = 0,495; и0,01 = 2,6. При ε =

10 и σ = 35 из формулы (1.14) получим . Но так как с ростом γ и

уменьшением ε растет п, то п ≥ 82,81 и nmin = 83 (конечно, при уменьшении верхней границы для σ будет уменьшаться и nmin).

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

30. Интервальные оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии.

Интервальная оценка математического ожидания при неизвестной диcперсии

Итак, Х ~ N(а,σ), причем числовые значения ни а, ни σ2 не известны. По случайной выборке найдем эффективную оценку параметра а: и оценку

параметра σ2.

Построение интервальной оценки для а основано на статистике:

,

которая при случайной выборке из генеральной совокупности Х ~ N(а,σ) имеет распределение Стьюдента с (п – 1) степенью свободы независимо от значения параметра а и как функция параметра а непрерывна и строго монотонна.

С учетом неравенства (1.12) и симметричности двусторонних критических границ распределения Стьюдента будем иметь:

. Решая неравенство:

относительно а, получим, что с вероятностью 1 – α выполняется неравенство:

и ошибка оценки при неизвестном значении параметра σ2

где число находят по прил. 4 при k = п – 1 и р = α.

Замечание. При k = n – 1 > 30 случайная величина t(k) имеет распределение, близкое к N(0; 1), поэтому с вероятностью ≈γ

где Ф(uа) = γ/2.

Пример:

Для отрасли, включающей 1200 фирм, составлена случайная выборка из 19 фирм. По выборке оказалось, что в фирме в среднем работают 77,5 человек при среднем квадратичном отклонении s = 25 человек. Пользуясь 95%-ным доверительным интервалом, оцените среднее число работающих в фирме по всей отрасли и общее