РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ / t07

\section*{‹ҐЄжЁп 7.}

„ў®©­®© Ё­вҐЈа « Ё ҐЈ® бў®©бвў . ѓҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб« ¤ў®©­®Ј®
Ё­вҐЈа « .\\ „«п в®Ј®, зв®Ўл Ј®ў®аЁвм ® ¤ў®©­ле, ва®©­ле (ў ®ЎйҐ¬
б«гз Ґ, -- Єа в­ле) Ё­вҐЈа « е, ­Ґ®Ўе®¤Ё¬® гб«®ўЁвмбп ® ­ҐЄ®в®але
®Ўбв®п⥫мбвў е, ЇаЁ Є®в®але нвЁ Ё­вҐЈа «л Ўг¤гв Ё§гз вмбп. ‚бпЄЁ©
а §, Ј®ў®ап ® Єа в­®¬ Ё­вҐЈа «Ґ, ў ЇҐаўго ®зҐаҐ¤м Ё¬Ґов ў ўЁ¤г,
зв® § ¤ ­л ¤ў  ®ЎкҐЄв . ЏҐаўл© ®ЎкҐЄв -- ¤Ґ©б⢨⥫쭮§­ з­ п
дг­ЄжЁп $f(\cdot)$, Є®в®аго ­ ¤«Ґ¦Ёв Ё­вҐЈаЁа®ў вм. „«п ¤ў®©­ле
Ё­вҐЈа «®ў -- нв® дг­ЄжЁп, § ўЁбпй п ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле $(x,y)$.
‚в®а®© ®ЎкҐЄв -- ®Ў« бвм Ё­вҐЈаЁа®ў ­Ёп Ё«Ё ®Ў« бвм, Ї® Є®в®а®©
ўлзЁб«пҐвбп Ё­вҐЈа « ®в $f(\cdot)$. „«п ¤ў®©­ле Ё­вҐЈа «®ў -- нв®
­ҐЄ®в®а®Ґ Ї®¤¬­®¦Ґбвў® $S$ в®зҐЄ Ї«®бЄ®бвЁ $\mathbb{R}^2$. ЏаЁ
н⮬ ЇаҐ¤Ї®« Ј Ґвбп, зв® ЇаЁ ўбҐе, Ё«Ё ЇаЁ Ї®звЁ ўбҐе §­ зҐ­Ёпе
$(x,y)\in S$ дг­ЄжЁп $f(x,y)$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ . ‘ ¬л© ®ЎйЁ© б«гз ©
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп Єа в­ле Ё­вҐЈа «®ў ¬л а бб¬ ваЁў вм ­Ґ Ўг¤Ґ¬.

„«п б«гз п ¤ў®©­ле Ё­вҐЈа «®ў ҐЈ® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ ­ з­Ґ¬ б
Є®­ЄаҐвЁ§ жЁЁ ®Ў« б⥩ Ё­вҐЈаЁа®ў ­Ёп. Ћ¤­Ё¬ Ё§ Їа®б⥩иЁе ўЁ¤®ў
нвЁе ®Ў« б⥩ пў«пҐвбп б®ў®ЄгЇ­®бвм в®зҐЄ Ї«®бЄ®бвЁ
$$Y(\varphi_1,\varphi_2)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ x\in [a,b],\
\varphi_1(x) \leqslant y \leqslant\varphi_2(x)\},\eqno (1)$$ Ј¤Ґ
$\varphi_1(\cdot)$, $\varphi_2(\cdot)$ -- ¤ўҐ ­ҐЇаҐалў­лҐ ­ 
$[a,b]$ дг­ЄжЁЁ, 㤮ў«Ґвў®апойЁҐ ­Ґа ўҐ­бвўг
$\varphi_1(x)\leqslant\varphi_2(x)$ ЇаЁ Є ¦¤®¬ $x\in[a,b]$.
‚­гв७­Ё¬Ё в®зЄ ¬Ё в Є®© ®Ў« бвЁ Ўг¤Ґ¬ ­ §лў вм ¬­®¦Ґбвў®
$$\widehat{Y}(\varphi_1,\varphi_2)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ x\in
(a,b),\ \varphi_1(x)<y<\varphi_2(x)\}.$$ Џ®  ­ «®ЈЁЁ Ўг¤Ґ¬
а бб¬ ваЁў вм в Є¦Ґ ¬­®¦Ґбвў 
$$X(\phi_1,\phi_2)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ y\in [c,d],\
\phi_1(y) \leqslant x \leqslant\phi_2(y)\},\eqno (2)$$ Ј¤Ґ
$\phi_1(\cdot)$, $\phi_2(\cdot)$ -- ¤ўҐ ­ҐЇаҐалў­лҐ ­  $[c,d]$
дг­ЄжЁЁ, 㤮ў«Ґвў®апойЁҐ ­Ґа ўҐ­бвўг $\phi_1(y)\leqslant\phi_2(y)$
ЇаЁ Є ¦¤®¬ $y\in[c,d]$ Ё $\widehat{X}(\phi_1,\phi_2)$.

Џгбвм ⥯Ґам $f(\cdot)$ -- ­ҐЇаҐалў­ п ­  ®Ў« бвЁ, ­ ЇаЁ¬Ґа, ўЁ¤ 
(1) дг­ЄжЁп ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле. ЋЇаҐ¤Ґ«Ё¬, зв® пў«пҐвбп Ё­вҐЈа «®¬ ®в
$f$ Ї® $Y=Y(\varphi_1,\varphi_2)$. „«п нв®Ј® § ¤ ¤Ё¬бп ­ вга «м­л¬
$n\in\mathbb{N}$ Ё а бᬮваЁ¬ б㬬г $$S_n(f,Y)=n^{-2}\sum_{(\frac
in,\frac jn)\in Y}f\left(\frac in,\frac jn\right),\eqno (3)$$ Ј¤Ґ
б㬬Ёа®ў ­ЁҐ ў (3) а бЇа®бва ­пҐвбп ­  ўбҐ жҐ«лҐ §­ зҐ­Ёп Ё­¤ҐЄб®ў
$i$ Ё $j$, ¤«п Є®в®але $i/n\in [a,b]$ Ё, ®¤­®ўаҐ¬Ґ­­®,
$\varphi_1(i/n)\leqslant j/n \leqslant\varphi_2(i/n)$. Љ®а®вЄ®
Ї®б«Ґ¤­ЁҐ ¤ў  гб«®ўЁп § ЇЁб ­л ў (3) ў ўЁ¤Ґ $(\frac in,\frac
jn)\in Y$. Њ®¦­® Ї®Є § вм, зв® б 㢥«ЁзҐ­ЁҐ¬ $n$ б㬬л $S_n(f,Y)$
бв६пвбп Є ­ҐЄ®в®а®¬г зЁб«г:\\ ’Ґ®аҐ¬  1 (ЎҐ§ ¤®Є § вҐ«мбвў ).
/$f\in C(Y)$, $Y=Y(\varphi_1,\varphi_2)$/ $\Rightarrow$
$$\exists\lim_{n\to\infty}S_n(f,Y).$$ ќв® зЁб«® Ё ­ §лў Ґвбп
¤ў®©­л¬ Ё­вҐЈа «®¬ ®в $f$ Ї® $Y$:
$$\int\!\!\int_{Y}f(x,y)\,dx\,dy= \lim_{n\to\infty} S_n(f,Y).$$
’®з­® в Є¦Ґ ®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп Ё­вҐЈа « ®в дг­ЄжЁЁ $f$ ­ҐЇаҐалў­®© ­ 
®Ў« бвЁ ўЁ¤  (2).

Џ®б«Ґ¤­Ё© и Ј, Є®в®ал© ¬л ᤥ« Ґ¬ ¤«п ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп ¤ў®©­ле
Ё­вҐЈа «®ў -- а бЇа®бва ­Ё¬ ᤥ« ­­®Ґ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ Ё­вҐЈа «  ­ 
­ҐбЄ®«мЄ® ®Ў« б⥩ ўЁ¤  (1) Ё«Ё (2). €¬Ґ­­®, Їгбвм § ¤ ­® Є®­Ґз­®Ґ
ᥬҐ©бвў® ®Ў« б⥩ $\{T_k\}_{k=1}^n$ ўЁ¤  (1) Ё«Ё (2), ­Ґ Ё¬ҐойЁе
®ЎйЁе ў­гв७­Ёе в®зҐЄ: $\widehat{T}_k\cap
\widehat{T}_m=\emptyset$, Ґб«Ё $k\ne m$. Ѓг¤Ґ¬ ®Ў®§­ з вм, ¤«п
Єа вЄ®бвЁ, б®ў®ЄгЇ­®бвм ¬­®¦Ґбвў $T\subset\mathbb{R}^2$,
¤®ЇгбЄ ойЁе а §«®¦Ґ­ЁҐ $T=\cup_{k=1}^n T_k$ а бᬮв७­®Ј® ўЁ¤ ,
бЁ¬ў®«®¬ $\mathcal{T}_2$. Ља®¬Ґ в®Ј®, ў­гв७­Ё¬Ё в®зЄ ¬Ё
$\widehat{T}$ ¬­®¦Ґбвў  $T$, Ї® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо, Ўг¤Ґ¬ ­ §лў вм вҐ
$(x,y)\in T$, Є®в®алҐ Ї®Ї ¤ ов ў $\cup_{k=1}^n \widehat{T}_k$ е®вп
Ўл ¤«п ®¤­®Ј® а §«®¦Ґ­Ёп $T=\cup_{k=1}^n T_k$, Ј¤Ґ Є ¦¤®Ґ $T_k$
ўЁ¤  (1) Ё«Ё ўЁ¤  (2) ­Ґ§ ўЁбЁ¬® ¤агЈ ®в ¤агЈ . Џгбвм $f$
­ҐЇаҐалў­  ­  $T=\cup_{k=1}^n T_k$. Љ« бб ўбҐе в ЄЁе дг­ЄжЁ© Ўг¤Ґ¬
®Ў®§­ з вм $‘(T)$. Џ® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо
$$\int\!\!\int_{T}{f}(x,y)\,dx\,dy=\sum_{k=1}^n \int\!\!\int_{T_k}
f_k(x,y)\,dx\,dy.\eqno (4)$$ Ћ¤­Ё¬ Ё§ ®б­®ў­ле ў®Їа®б®ў, Є®в®ал©
вॡгҐвбп аҐиЁвм ЇаЁ в Є®¬ Ї®¤е®¤Ґ Є ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо ¤ў®©­®Ј®
Ё­вҐЈа « , -- нв® ў®Їа®б ® ­Ґ§ ўЁбЁ¬®бвЁ (4) ®в бЇ®б®Ў  ¤а®Ў«Ґ­Ёп
®Ў« бвЁ $T=\cup_{k=1}^n T_k$ ­  б®бв ў«пойЁҐ $\{T_k\}_{k=1}^n$.
ЌҐб«®¦­® Ї®­пвм, зв® нв® ¤а®Ў«Ґ­ЁҐ ­Ґ®¤­®§­ з­®, Ё ¬®¦­® ЇаЁўҐбвЁ
¬­®¦Ґбвў® ЇаЁ¬Ґа®ў а §«®¦Ґ­Ёп $T=\cup_{k=1}^{n'} T'_k$. Њл ­Ґ
Ўг¤Ґ¬ ¤®Є §лў вм г⢥তҐ­ЁҐ ® ­Ґ§ ўЁбЁ¬®бвЁ Їа ў®© з бвЁ (4) ®в
ўлЎ®а  $\{T_k\}_{k=1}^n$ ў Ї®«­®¬ ®ЎкҐ¬Ґ,   гбв ­®ўЁ¬ ҐЈ® ў
­ҐЄ®в®а®¬ ўҐбм¬  з бв­®¬ б«гз Ґ, Є®в®ал©, ⥬ ­Ґ ¬Ґ­ҐҐ, Ї®Є §лў Ґв
Є Є б«Ґ¤гҐв Ї®бвгЇ вм ў ®ЎйҐ¬ б«гз Ґ. €в Є, Їгбвм $f(\cdot)\in
C(Y)$, Ј¤Ґ $Y=Y(\varphi_1,\varphi_2)$ -- ®Ў« бвм ўЁ¤  (1),
$\varphi_1,\varphi_2\in C[a,b]$. Џгбвм, Єа®¬Ґ в®Ј®, ¤ ­  дг­ЄжЁп
$\varphi_3\in C[a,b]$, в Є п зв® $\varphi_1(x) \leqslant
\varphi_3(x)\leqslant\varphi_2(x)$ ЇаЁ ўбҐе $x\in [a,b]$. ’®Ј¤ ,
Ї®¬Ё¬® $Y$, Ё¬Ґовбп ҐйҐ ¤ўҐ ®Ў« бвЁ ўЁ¤  (1) --
$Y_1=Y(\varphi_1,\varphi_3)$ Ё $Y_1=Y(\varphi_3,\varphi_2)$. „«п
нвЁе ®Ў« б⥩ $Y=Y_1\cup Y_2$, $\widehat{Y}_1\cap
\widehat{Y}_2=\emptyset$. Џа®ўҐаЁ¬, зв®
$$\int\!\!\int_{Y}f(x,y)\,dx\,dy=\int\!\!\int_{Y_1}f(x,y)\,dx\,dy
+\int\!\!\int_{Y_2}f(x,y)\,dx\,dy.\eqno (5)$$ „Ґ©б⢨⥫쭮, Їгбвм
$M=\max |f(x,y)|$ Ї® ўбҐ¬ $(x,y)\in Y$ (ЇаЁ ᤥ« ­­ле
ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­Ёпе в Є п ўҐ«ЁзЁ­  ¬Ґ­миҐ ЎҐбЄ®­Ґз­®бвЁ Ї® ⥮६Ґ
‚Ґ©Ґаива бб ), $n\in\mathbb{N}$. ’®Ј¤ 
$$S_n(f,Y_1)+S_n(f,Y_2)-M\cdot\frac {n+1}{b-a}\cdot n^{-2}
\leqslant S_n(f,Y)\leqslant S_n(f,Y_1)+S_n(f,Y_2).$$ ‘ 㢥«ЁзҐ­ЁҐ¬
$n$ (Ї® ⥮६Ґ 1) «Ґў п Ё Їа ў п з бвЁ ў нв®© бва®ЄҐ бв६пвбп Є
®ЎйҐ¬г ЇаҐ¤Ґ«г, зв® Ё ¤®Є §лў Ґв (5). ђ ўҐ­бвў® (5) бЇа ўҐ¤«Ёў®
в Є¦Ґ Ё ў Ў®«ҐҐ ®ЎйҐ© бЁвг жЁЁ, Є®Ј¤  $Y_1,Y_2$ -- Їа®Ё§ў®«м­лҐ
Ї®¤¬­®¦Ґбвў  Ё§ $\mathbb{R}^2$ Є« бб  $\mathcal{T}_2$, ­Ґ Ё¬ҐойЁҐ
®ЎйЁе ў­гв७­Ёе в®зҐЄ. ‚ н⮬ б«гз Ґ (5) ­ §лў Ґвбп  ¤¤ЁвЁў­®бвмо
Ё­вҐЈа «  Ї® ¬­®¦Ґбвў ¬: \\ ’Ґ®аҐ¬  2. /$T_1,T_2\in\mathcal{T}_2$,
$\widehat{T}_1\cap \widehat{T}_2=\emptyset$, $f\in C(T_1\cup
T_2)$/ $\Rightarrow$ $$\int\!\!\int_{T_1\cup
T_2}f(x,y)\,dx\,dy=\int\!\!\int_{T_1}f(x,y)\,dx\,dy
+\int\!\!\int_{T_2}f(x,y)\,dx\,dy.$$ „®Є § вҐ«мбвў® ⥮६л 2
пў«пҐвбп Їа®бвл¬ б«Ґ¤бвўЁҐ¬ (5). Џа®ўҐ¤Ґ¬ ҐЈ® ­  ЇаЁ¬ҐаҐ, Є®Ј¤ 
$T_1=T_{1,1}\cup T_{1,2}$ Ё $T_2=T_{2,1}\cup T_{2,2}$ --
а §«®¦Ґ­Ёп $T_1$, $T_2$ ­  Ї аг ¬­®¦Ґбвў ўЁ¤  (1) Ё«Ё (2),
$$\widehat{T}_{1,1}\cap \widehat{T}_{1,2}=\emptyset,\quad
\widehat{T}_{2,1}\cap \widehat{T}_{2,2}=\emptyset,$$ ЇаЁзҐ¬ Ё§-§ 
$\widehat{T}_{1}\cap \widehat{T}_{2}=\emptyset$, ¤®Ї®«­ЁвҐ«м­®
бзЁв Ґ¬ $$\widehat{T}_{1,1}\cap \widehat{T}_{2}=\emptyset,\quad
\widehat{T}_{1,2}\cap \widehat{T}_{2}=\emptyset.$$ ’®Ј¤  $$T_1\cup
T_2=T_{1,1}\cup T_{1,2}\cup T_{2,1}\cup T_{2,2}$$ -- а §«®¦Ґ­ЁҐ
$T_1\cup T_2$ ­  зҐвлॠ¬­®¦Ґбвў  ўЁ¤  (1) Ё«Ё (2), ­Ґ Ё¬ҐойЁе
®ЎйЁе ў­гв७­Ёе в®зҐЄ. €§ (4) б«Ґ¤гҐв в®Ј¤ , зв®
$$\int\!\!\int_{T_1\cup T_2}f(x,y)\,dx\,dy=
\left(\int\!\!\int_{T_{1,1}}+ \int\!\!\int_{T_{1,2}}+
\int\!\!\int_{T_{2,1}}+\int\!\!\int_{T_{2,2}}\right)f(x,y)\,dx\,dy,$$
$$\int\!\!\int_{T_1}f(x,y)\,dx\,dy= \left(\int\!\!\int_{T_{1,1}}+
\int\!\!\int_{T_{1,2}}\right)f(x,y)\,dx\,dy,$$
$$\int\!\!\int_{T_2}f(x,y)\,dx\,dy= \left(
\int\!\!\int_{T_{2,1}}+\int\!\!\int_{T_{2,2}}\right)f(x,y)\,dx\,dy.$$
‘а ў­Ёў п Ї®«г祭­лҐ а ўҐ­бвў  Ї®«гз Ґ¬ г⢥তҐ­ЁҐ вҐ®аҐ¬л ¤«п
а бᬮв७­ле  $T_1$, $T_2$. ЋЎйЁ© б«гз © гбв ­ ў«Ёў Ґвбп Ї®
 ­ «®ЈЁЁ.

ЏҐаҐзЁб«Ё¬ ­ҐЄ®в®алҐ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп Ё Їа®бвлҐ бў®©бвў  ¤ў®©­ле
Ё­вҐЈа «®ў. ‚®§м¬Ґ¬ $f$ ⮦¤Ґб⢥­­® а ў­®© Ґ¤Ё­ЁжҐ ўбо¤г ­  $T$.
ќв® ­ҐЇаҐалў­ п ­  $T$ дг­ЄжЁп. €­вҐЈа « ®в $f$ Ї® $T$ ­ §лў Ґвбп
Ї«®й ¤мо $T$. Ѓг¤Ґ¬ ®Ў®§­ з вм нвг ўҐ«ЁзЁ­г $S(T)$:
$$S(T)=\int\!\!\int_{T}\,dx\,dy.$$ ’Ґ®аҐ¬  3 («Ё­Ґ©­®бвм
Ё­вҐЈа « ). /$T\in\mathcal{T}_2$, $f_1,f_2\in ‘(T)$ Ё
$a,b\in\mathbb{R}$/ $\Rightarrow$
$$\int\!\!\int_{T}(af_1(x,y)+bf_2(x,y))\,dx\,dy=
a\int\!\!\int_{T}f_1(x,y)\,dx\,dy
+b\int\!\!\int_{T}f_2(x,y)\,dx\,dy.\eqno (6)$$ „®Є § вҐ«мбвў® (6)
­ зЁ­ ов б а бᬮв७Ёп ®Ў« бвЁ Ё­вҐЈаЁа®ў ­Ёп ўЁ¤  (1) Ё«Ё (2).
„«п в ЄЁе ®Ў« б⥩ $T$ Ё «оЎ®Ј® $n\in\mathbb{N}$ бЇа ўҐ¤«Ёўл
ᮮ⭮襭Ёп $$S_n(af_1+bf_2,T)=n^{-2}\sum_{(\frac in,\frac jn)\in
T}(af_1\left(\frac in,\frac jn\right)+bf_2\left(\frac in,\frac
jn\right))=aS_n(f_1,T)+bS_n(f_2,T).$$ ЏҐаҐе®¤п Є ЇаҐ¤Ґ«г Ї®
$n\to\infty$ Ё Ї®«м§гпбм ⥮६®© 1, Ї®«гз Ґ¬ (6) ¤«п ®Ў« б⥩
ўЁ¤  (1), (2). Џгбвм ⥯Ґам $T=T_{1}\cup T_{2}$,
$\widehat{T}_{1}\cap \widehat{T}_{2}=\emptyset$, Ё Є ¦¤®Ґ Ё§
$T_1$, $T_2$ Ё¬ҐҐв ўЁ¤ (1) Ё«Ё (2). ’®Ј¤ 
$$\int\!\!\int_{T}(af_1(x,y)+bf_2(x,y))\,dx\,dy=
(\int\!\!\int_{T_1}+\int\!\!\int_{T_2})
(af_1(x,y)+bf_2(x,y))\,dx\,dy=$$
$$a\int\!\!\int_{T_1}f_1(x,y)\,dx\,dy
+b\int\!\!\int_{T_1}f_2(x,y)\,dx\,dy+
a\int\!\!\int_{T_2}f_1(x,y)\,dx\,dy
+b\int\!\!\int_{T_2}f_2(x,y)\,dx\,dy=$$
$$a\int\!\!\int_{T}f_1(x,y)\,dx\,dy
+b\int\!\!\int_{T}f_2(x,y)\,dx\,dy.$$ ЏҐаў®Ґ Ё§ ЇаЁўҐ¤Ґ­­ле
а ўҐ­бвў -- нв® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ (4), ўв®а®Ґ -- а ўҐ­бвў® (6) ¤«п
®Ў« б⥩ бЇҐжЁ «м­®Ј® ўЁ¤  (1) Ё (2), ваҐвмҐ -- ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ (4).
’®з­® в Є¦Ґ а ўҐ­бвў® (6) гбв ­ ў«Ёў Ґвбп ў ®ЎйҐ¬ б«гз Ґ, Є®Ј¤ 
$T=\cup_{k=1}^n T_k$. „®Є § вҐ«мбвў® § Є®­зҐ­®. \\ ’Ґ®аҐ¬  4
(¬®­®в®­­®бвм Ё«Ё Ї®«®¦ЁвҐ«м­®бвм Ё­вҐЈа « ).
/$T\in\mathcal{T}_2$, $f_1,f_2\in ‘(T)$ Ё $f_1(x,y)\leqslant
f_2(x,y)$ ¤«п ўбҐе $(x,y)\in T$/ $\Rightarrow$
$$\int\!\!\int_{T}f_1(x,y)\,dx\,dy\leqslant
\int\!\!\int_{T}f_2(x,y)\,dx\,dy.\eqno (7)$$ „®Є § вҐ«мбвў®. Џгбвм
®Ў« бвм $T$ Ё¬ҐҐв ўЁ¤ (1) Ё«Ё (2), $n\in\mathbb{N}$. ’®Ј¤ 
$$S_n(f_1,T)=n^{-2}\sum_{(\frac in,\frac jn)\in T}f_1\left(\frac
in,\frac jn\right)\leqslant n^{-2}\sum_{(\frac in,\frac jn)\in
T}f_2\left(\frac in,\frac jn\right)=S_n(f_2,T).$$ ЏҐаҐе®¤п Є
ЇаҐ¤Ґ«г Ї® $n\to\infty$ Ё Ї®«м§гпбм ⥮६®© 1, Ї®«гз Ґ¬ (7) ¤«п
®Ў« б⥩ ўЁ¤  (1), (2). „ «м­Ґ©иЁҐ а бб㦤Ґ­Ёп Ї®ўв®апов
а бб㦤Ґ­Ёп ⥮६л 3, ­Ґ Ўг¤Ґ¬ Ёе ЇаЁў®¤Ёвм. „®Є § вҐ«мбвў®
§ Є®­зҐ­®.\\ ’ Є Є Є $f(x,y)\leqslant |f(x,y)|$ Ё
$-f(x,y)\leqslant |f(x,y)|$ ¤«п ўбҐе $(x,y)\in T$, Ё§ Ї®б«Ґ¤­Ёе
¤ўге ⥮६ б«Ґ¤гҐв ­Ґа ўҐ­бвў® $$\left | \int\!\!\int_{T}
f(x,y)\,dx\,dy\right|\leqslant\int\!\!\int_{T}|f(x,y)|\,dx\,dy.$$
…йҐ ®¤­Ё¬ б«Ґ¤бвўЁҐ¬ (7) пў«повбп ­Ґа ўҐ­бвў  $$S(T)\cdot m
\leqslant \int\!\!\int_{T}f(x,y)\,dx\,dy\leqslant S(T)\cdot M,$$
ўлЇ®«­пойЁҐбп Ґб«Ё $m\leqslant f(x,y)\leqslant M$ ЇаЁ ўбҐе
$(x,y)\in T$.\\ ‚ § Є«о祭ЁҐ бЄ ¦Ґ¬ ­ҐбЄ®«мЄ® б«®ў ®
ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄ®¬ б¬лб«Ґ ¤ў®©­®Ј® Ё­вҐЈа « . Џгбвм $T\in
\mathcal{T}_2$, $f\in C(T)$, $f(x,y)\geqslant 0$ ЇаЁ $(x,y)\in T$.
’®Ј¤  ҐбвҐб⢥­­® бзЁв вм, зв® ¤ў®©­®© Ё­вҐЈа « (4) ЇаҐ¤бв ў«пҐв
б®Ў®© ®ЎкҐ¬ ЇаאַЈ® жЁ«Ё­¤а®Ё¤ , Ї®бв஥­­®Ј® ­  ®Ў« бвЁ $T$ Є Є
­  ®б­®ў ­ЁЁ Ё ®Ја ­ЁзҐ­­®Ј® ᢥаег Ї®ўҐае­®бвмо $z=f(x,y)$. ќв® Ё
­ §лў Ґвбп ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ¬ б¬лб«®¬ ¤ў®©­®Ј® Ё­вҐЈа « .