РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ / t02

\section*{‹ҐЄжЁп 2.}

‘室Ё¬®бвм зЁб«®ўле а冷ў: ЇаЁ§­ ЄЁ ба ў­Ґ­Ёп, Ё­вҐЈа «м­л©
ЇаЁ§­ Є, ЇаЁ§­ Є „ « ¬ЎҐа , ЇаЁ§­ Є Љ®иЁ.

Ќ Ї®¬Ё­ ­ЁҐ: ’Ґ®аҐ¬ . /$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ -- зЁб«®ў®© ап¤,
$u_n\geqslant 0$, $S_n$ -- ҐЈ® з бвЁз­лҐ б㬬л/ $\Rightarrow$
$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ -- б室Ёвбп $\Leftrightarrow$
Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм $S_n$ -- ®Ја ­ЁзҐ­ .\\ ‘«Ґ¤гойЁҐ ¤ў 
г⢥তҐ­Ёп пў«повбп ҐҐ б«Ґ¤бвўЁҐ¬:\\ ’Ґ®аҐ¬  1.
/$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$, $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ -- ¤ў  ап¤ ,
$0\leqslant u_n\leqslant v_n$, $n\in\NN$/ $\Rightarrow$\\  ). …б«Ё
ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ б室Ёвбп, в® Ё ап¤
$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ б室Ёвбп.\\ Ў). …б«Ё ап¤
$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ а б室Ёвбп, в® Ё ап¤
$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ а б室Ёвбп.\\ „®Є § вҐ«мбвў®.  ). Џгбвм
$S_n$ Ё $T_n$ -- n-лҐ з бвЁз­лҐ б㬬л а冷ў
$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ Ё $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$
ᮮ⢥вб⢥­­®. ’ Є Є Є $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ б室Ёвбп, в®, Ї®
ЇаҐ¤л¤г饩 ⥮६Ґ, Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм $T_n$ ®Ја ­ЁзҐ­  ᢥаег,
бЄ ¦Ґ¬, зЁб«®¬ $T$. €§ гб«®ўЁ© ⥮६л $S_n\leqslant T_n$ Ё,
§­ зЁв, Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм $S_n$ ®Ја ­ЁзҐ­  ᢥаег ⥬ ¦Ґ зЁб«®¬
$T$. Џ®н⮬г, Ї® ЇаҐ¤л¤г饩 ⥮६Ґ, ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$
б室Ёвбп.\\ Ў). ќв® г⢥তҐ­ЁҐ ⥮६л пў«пҐвбп б«Ґ¤бвўЁҐ¬
ЇҐаў®Ј®. Ћ­® гбв ­ ў«Ёў Ґвбп ¬Ґв®¤®¬ ¤®Є § вҐ«мбвў  "®в
Їа®вЁў­®Ј®". Ќ ¬ ¤ ­®, зв® ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$
а б室Ёвбп. ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬ ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ б室Ёвбп.
’®Ј¤ , Ї® ЇҐаў®© з бвЁ, ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ б室Ёвбп --
Їа®вЁў®аҐзЁҐ б Ёб室­л¬Ё ¤ ­­л¬Ё. Џ®н⮬㠯।Ї®«®¦Ґ­ЁҐ ­ҐўҐа­® --
ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ а б室Ёвбп.

’Ґ®аҐ¬  2. /$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$, $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ --
¤ў  ап¤ , $0\leqslant u_n$, $0<v_n$, $n\in\NN$,
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=c<\infty$/
$\Rightarrow$\\  ). …б«Ё ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ б室Ёвбп, в®
Ё ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ б室Ёвбп.\\ Ў). …б«Ё ап¤
$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ а б室Ёвбп, в® Ё ап¤
$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ а б室Ёвбп.\\ „®Є § вҐ«мбвў®. Џ® гб«®ўЁо
⥮६л бгйҐбвўгҐв Є®­Ґз­л© ЇаҐ¤Ґ« Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ
$\frac{u_n}{v_n}$ Ё, §­ зЁв, нв  Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм ®Ја ­ЁзҐ­ 
ᢥаег ­ҐЄ®в®ал¬ зЁб«®¬ $a$: $\frac{u_n}{v_n}<a$ ЇаЁ ўбҐе $n$.
Џ®н⮬г ${u_n}<a\cdot{v_n}$. ЏаЁ¬Ґ­пп ⥮६г 1 Є ап¤ ¬
$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$, $\sum_{n=1}^{\infty}a\cdot v_n$ Ё
Ї®«м§гпбм Їа ўЁ«®¬ г¬­®¦Ґ­Ёп зЁб«®ў®Ј® ап¤  ­  зЁб«®, Ї®«гз Ґ¬
г⢥তҐ­Ёп ⥮६л 2.

‘«Ґ¤гой п ⥮६  Ї®§ў®«пҐв бў®¤Ёвм Ёбб«Ґ¤®ў ­ЁҐ б室Ё¬®бвЁ
зЁб«®ў®Ј® ап¤  Є Ёбб«Ґ¤®ў ­Ёо б室Ё¬®бвЁ ­Ґб®Ўб⢥­­®Ј®
Ё­вҐЈа « \\ ’Ґ®аҐ¬  3 (Ё­вҐЈа «м­л© ЇаЁ§­ Є б室Ё¬®бвЁ).
/$f:[1,\infty)\to\RR_+$ -- ­ҐЇаҐалў­ п ­Ґў®§а бв ой п дг­ЄжЁп,
$u_n=f(n)$/ $\Rightarrow$ ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ Ё Ё­вҐЈа «
$\int_1^{\infty}f(t)\,dt$ б室пвбп Ё а б室пвбп ®¤­®ўаҐ¬Ґ­­®.\\
„®Є § вҐ«мбвў®. ‚­ з «Ґ Їа®ўҐаЁ¬, зв® Ё§ б室Ё¬®бвЁ Ё­вҐЈа « 
б«Ґ¤гҐв б室Ё¬®бвм ап¤ . ‘室Ё¬®бвм Ё­вҐЈа «  ®§­ з Ґв, зв®
бгйҐбвўгҐв Є®­Ґз­л© ­Ґ®ваЁж вҐ«м­л© ЇаҐ¤Ґ« ўҐ«ЁзЁ­
$\int_1^{x}f(t)\,dt$. ќв® ®§­ з Ґв, ў з бв­®бвЁ, ®Ја ­ЁзҐ­­®бвм
ᢥаег нвЁе ўҐ«ЁзЁ­: $\int_1^{x}f(t)\,dt<T$ ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј® $T>0$ Ё
«оЎ®Ј® $x\in[1,\infty)$. ‡ ¬ҐвЁ¬ ⥯Ґам, зв®, Ё§-§  ¬®­®в®­­®бвЁ
$f$, ¤«п ўбҐе $n\geqslant 2$ $u_n=f(n)\leqslant \int_{n-1}^n
f(t)\,dt$ (¤«п $n=1$ в Є®Ј® ­Ґа ўҐ­бвў  ў®®ЎйҐ Ј®ў®ап ­ ЇЁб вм
­Ґ«м§п). Џ®н⮬г, Ґб«Ё $T_n$ -- n- п з бвЁз­ п б㬬  ап¤ 
$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$, в® $$T_n\leqslant
u_1+\sum_{k=2}^n\int_{k-1}^k f(t)\,dt=u_1+\int_{1}^n f(t)\,dt
\leqslant u_1+T.$$ ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, з бвЁз­лҐ б㬬л ап¤ 
$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ ®Ја ­ЁзҐ­л зЁб«®¬ $u_1+T$. ‡­ зЁв, ап¤
$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ б室Ёвбп, Ї®бЄ®«мЄг $u_n\geqslant 0$.

„®Є § вҐ«мбвў® в®Ј®, зв® Ё§ б室Ё¬®бвЁ ап¤  б«Ґ¤гҐв б室Ё¬®бвм
Ё­вҐЈа «  Ї®ўв®апҐв ᤥ« ­­лҐ а бб㦤Ґ­Ёп: Їгбвм ап¤
$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ б室Ёвбп. ’®Ј¤  ҐЈ® з бвЁз­лҐ б㬬л
®Ја ­ЁзҐ­л ­ҐЄ®в®ал¬ зЁб«®¬ $T>0$. €§-§  ¬®­®в®­­®бвЁ $f$
ўлЇ®«­пҐвбп $\int_{n}^{n+1} f(t)\,dt\leqslant f(n)=u_n$ ¤«п
$n\in\NN$. Џ®н⮬㠤«п $S_n=\int_{1}^n f(t)\,dt$
$$S_n=\sum_{k=1}^{n-1}\int_{k}^{k+1} f(t)\,dt\leqslant
\sum_{k=1}^{n-1} f(k)\leqslant T.$$ Џ®«гзЁ«Ё, зв® ­ҐгЎлў ой п
Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм $S_n$ ®Ја ­ЁзҐ­  ᢥаег зЁб«®¬ $T>0$. ‡­ зЁв,
®­  Ё¬ҐҐв ЇаҐ¤Ґ« (­Ґ ®Ўп§ вҐ«м­® б®ўЇ ¤ ойЁ© б $T$):
$$\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}S_{n-1}=S\quad ({\rm
в.Ґ.}\ \lim_{n\to\infty}\int_{1}^n
f(t)\,dt=\lim_{n\to\infty}\int_{1}^{n-1} f(t)\,dt=S),\eqno (1)$$
а бб¬ ваЁў Ґ¬л© Ї® ­ вга «м­л¬ §­ зҐ­Ёп¬ $n$. Ќ ¬ ¦Ґ вॡгҐвбп
гбв ­®ўЁвм бгйҐбвў®ў ­ЁҐ нв®Ј® ЇаҐ¤Ґ«  Ї® ¤Ґ©б⢨⥫м­л¬ §­ зҐ­Ёп¬
 аЈг¬Ґ­в : $$\lim_{x\to\infty}\int_{1}^x f(t)\,dt=S\,?\eqno (2)$$
ЌҐваг¤­® Ї®­пвм, зв® в Є®© ЇаҐ¤Ґ« ¤Ґ©б⢨⥫쭮 бгйҐбвўгҐв Ё а ўҐ­
$S$. Ћб­®ў­л¬ гб«®ўЁҐ¬ ¤«п нв®Ј® пў«пҐвбп ¬®­®в®­­®бвм $f$: Ґб«Ё
$x\in [n-1,n)$, в® $$S_{n-1}\leqslant\int_{1}^x f(t)\,dt\leqslant
S_n.$$ ‘®ў¬Ґй п нвЁ ­Ґа ўҐ­бвў  б (1), Ї®«гз Ґ¬ (2).

Ћбв ўи пбп з бвм г⢥তҐ­Ё© ⥮६л бўп§ ­  б г⢥তҐ­Ёп¬Ё ®
а б室Ё¬®бвЁ. Ћ­Ё пў«повбп б«Ґ¤бвўЁҐ¬ ЇҐаў®© з бвЁ Ё ¤®Є §лў овбп
¬Ґв®¤®¬ "®в Їа®вЁў­®Ј®". ‘奬  а бб㦤Ґ­Ё© 㦥 Ўл«  ЇаЁўҐ¤Ґ­  ў
⥮६Ґ 1: Їгбвм а б室Ёвбп ап¤. ’®Ј¤ , Ї® ЇҐаў®© з бвЁ, Ё­вҐЈа «
б室Ёвбп ­Ґ ¬®¦Ґв (ў Їа®вЁў­®¬ б«гз Ґ б室Ё«бп Ўл Ё ап¤). ЋЎа в­®,
Їгбвм а б室Ёвбп Ё­вҐЈа «. ’®Ј¤  а б室Ёвбп Ё ап¤ (в Є Є Є
ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­ЁҐ ® ҐЈ® б室Ё¬®бвЁ, Ї® ЇҐаў®© з бвЁ, ў«ҐзҐв б室Ё¬®бвм
Ё­вҐЈа «  -- Їа®вЁў®аҐзЁҐ).

‘«Ґ¤бвўЁҐ. ђп¤ „ЁаЁе«Ґ $\sum_{n=1}^{\infty}n^{-p}$, $p\in\RR$,
б室Ёвбп в®Ј¤  Ё в®«мЄ® в®Ј¤ , Є®Ј¤  $p>1$.\\ „®Є § вҐ«мбвў®. …б«Ё
$p\leqslant 0$, в® $n^{-p}$ ­Ґ бв६Ёвбп Є ­г«о, Є®Ј¤ 
$n\to\infty$, -- ­Ґ ўлЇ®«­пҐвбп ­Ґ®Ўе®¤Ё¬л© ЇаЁ§­ Є б室Ё¬®бвЁ
ап¤ , ап¤ „ЁаЁе«Ґ а б室Ёвбп. Џгбвм $p>0$. Џ® ⥮६Ґ 3 ап¤
„ЁаЁе«Ґ б室Ёвбп в®Ј¤  Ё в®«мЄ® в®Ј¤ , Є®Ј¤  б室Ёвбп Ё­вҐЈа «
$\int_1^{\infty}t^{-p}\,dt$. €§г祭ЁҐ б室Ё¬®бвЁ нв®Ј® Ё­вҐЈа « 
б®бв®Ёв ў Ё§г祭ЁЁ ўла ¦Ґ­Ёп $x^{1-p}/(1-p)$, $p\ne 1$, (ln$\,x$,
$p=1$) ЇаЁ $x\to\infty$. ќв®в ЇаҐ¤Ґ« Є®­ҐзҐ­, Ґб«Ё $p>1$ -- ап¤
„ЁаЁе«Ґ б室Ёвбп. …б«Ё $p\leqslant 1$, нв®в ЇаҐ¤Ґ« а ўҐ­
ЎҐбЄ®­Ґз­®бвЁ -- ап¤ „ЁаЁе«Ґ а б室Ёвбп.

’Ґ®аҐ¬  4 (ЇаЁ§­ Є „ « ¬ЎҐа ). /$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ --
зЁб«®ў®© ап¤, $u_n>0$. Џгбвм бгйҐбвўгҐв
$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}$, а ў­л© зЁб«г $q\in\RR$ Ё«Ё
ЎҐбЄ®­Ґз­®бвЁ/ $\Rightarrow$\\  ) ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$
б室Ёвбп ў б«гз Ґ $q<1$, Ў) ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$
а б室Ёвбп ў б«гз Ґ $q>1$ Ё«Ё $q=\infty$,\\ ў) ў б«гз Ґ $q=1$ ¤«п
®вўҐв  ­  ў®Їа®б ® б室Ё¬®бвЁ ап¤  $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$
вॡгҐвбп ¤®Ї®«­ЁвҐ«м­®Ґ Ёбб«Ґ¤®ў ­ЁҐ.\\ „®Є § вҐ«мбвў®.  ). Ѓг¤Ґ¬
ба ў­Ёў вм ап¤ $\sum u_n$ б б㬬®© ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄ®© Їа®ЈаҐббЁЁ. „«п
нв®Ј® ўбЇ®¬­Ё¬ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ ЇаҐ¤Ґ« : зЁб«® $q$ пў«пҐвбп ЇаҐ¤Ґ«®¬
Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ $\frac{u_{n+1}}{u_n}$, Ґб«Ё ¤«п «оЎ®Ј®
$\varepsilon>0$ ­ ©¤Ґвбп $n=n(\varepsilon)\in\NN$ в Є®Ґ, зв® ¤«п
ўбпЄ®Ј® $k\geqslant n$ ўлЇ®«­пҐвбп ­Ґа ўҐ­бвў®
$|q-\frac{u_{k+1}}{u_k}|<\varepsilon$. Џ®«м§гпбм нвЁ¬ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ¬
Ё гб«®ўЁҐ¬ $q<1$ ў®§м¬Ґ¬ Є Є®Ґ-­ЁЎг¤м $\epsilon>0$ в Є, зв®Ўл
$q+\epsilon$ Ўл«® Ўл ўбҐ ҐйҐ ¬Ґ­миҐ 1 Ё Ї®¤ЎҐаҐ¬ ¤«п нв®Ј®
$\epsilon$ ­ вга «м­®Ґ $n$, зв®Ўл ¤«п ўбпЄ®Ј® $k\geqslant n$
ўлЇ®«­п«®бм Ўл $|q-\frac{u_{k+1}}{u_k}|<\epsilon$. ‘­Ё¬Ґ¬ §­ Є
¬®¤г«п: $$q-\frac{u_{k+1}}{u_k}>-\epsilon\quad
\Leftrightarrow\quad \frac{u_{k+1}}{u_k}<q+\epsilon,$$ Ґб«Ё
$k\geqslant n$. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ¤«п $k\geqslant n$
$$u_{k+1}<(q+\epsilon)^1u_{k}<(q+\epsilon)^2u_{k-1}<\dots
<(q+\epsilon)^{k-n+1}u_n$$ Ё, §­ зЁв, ®бв в®Є
$\sum_{k=n}^{\infty}u_k$ Ёб室­®Ј® ап¤  ¬®¦­® ба ў­Ёвм б ®бв вЄ®¬
$\sum_{k=n}^{\infty}u_n\cdot(q+\epsilon)^k$ б室п饣®бп (в.Є.
$q+\epsilon<1$) ап¤ . Џ® ⥮६Ґ 1 ®бв в®Є
$\sum_{k=n}^{\infty}u_k$ б室Ёвбп, §­ зЁв, б室Ёвбп Ё б ¬ ап¤.\\
Ў) ¤®Є § вҐ«мбвў® нв®Ј® Їг­Єв , ў ®б­®ў­ле ¬®¬Ґ­в е, Ї®ўв®апҐв
¤®Є § вҐ«мбвў®  ). ђ бᬮваЁ¬ ҐЈ® ¤«п б«гз п $q<\infty$. Ќ ¬ ¤ ­®,
зв® $q>1$. ‚®§м¬Ґ¬ Є Є®Ґ-­ЁЎг¤м $\epsilon>0$ в Є, зв®Ўл
$q-\epsilon$ Ўл«® Ўл ўбҐ ҐйҐ Ў®«миҐ 1 Ё Ї®¤ЎҐаҐ¬ ¤«п нв®Ј®
$\epsilon$ ­ вга «м­®Ґ $n$, зв®Ўл ¤«п ўбпЄ®Ј® $k\geqslant n$
ўлЇ®«­п«®бм $|q-\frac{u_{k+1}}{u_k}|<\epsilon$. ‘­Ё¬Ґ¬ §­ Є
¬®¤г«п: $$q-\frac{u_{k+1}}{u_k}<\epsilon\quad \Leftrightarrow\quad
\frac{u_{k+1}}{u_k}>q-\epsilon>1,$$ Ґб«Ё $k\geqslant n$. ’ ЄЁ¬
®Ўа §®¬, ¤«п $k\geqslant n$
$$u_{k+1}>(q-\epsilon)^1u_{k}>(q-\epsilon)^2u_{k-1}>\dots
>(q-\epsilon)^{k-n+1}u_n>u_n.$$ €§ нвЁе ­Ґа ўҐ­бвў ўЁ¤­®, зв® ­Ґ
ўлЇ®«­пҐвбп ­Ґ®Ўе®¤Ё¬®Ґ гб«®ўЁҐ б室Ё¬®бвЁ ап¤  -- ®ЎйЁ© з«Ґ­ ­Ґ
бв६Ёвбп Є ­г«о. ‚ б«гз Ґ $q=\infty$ в®з­® в Є¦Ґ гбв ­ ў«Ёў Ґвбп,
зв® ®ЎйЁ© з«Ґ­ ап¤  $u_n$ в Є¦Ґ ­Ґ бв६Ёвбп Є ­г«о.\\ ў) „ў  ап¤ 
„ЁаЁе«Ґ $\sum_{n=1}^{\infty}n^{-1}$ Ё $\sum_{n=1}^{\infty}n^{-2}$
Ї®Є §лў ов, зв® Ґб«Ё $q=1$, в® Ё§гз Ґ¬л© ап¤ ¬®¦Ґв а б室Ёвмбп
(ЇҐаўл© б«гз ©) Ё ¬®¦Ґв б室Ёвмбп (ўв®а®© б«гз ©).

‚ § ўҐа襭ЁҐ а бᬮваЁ¬ ҐйҐ ®¤Ё­ ЇаЁ§­ Є б室Ё¬®бвЁ а冷ў б
­Ґ®ваЁж вҐ«м­л¬Ё з«Ґ­ ¬Ё. …Ј® ¤®Є § вҐ«мбвў® Ї®ўв®апҐв
¤®Є § вҐ«мбвў® ⥮६л 4.

’Ґ®аҐ¬  5 (ЇаЁ§­ Є Љ®иЁ, ЎҐ§ ¤®Є § вҐ«мбвў ).
/$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ -- зЁб«®ў®© ап¤, $u_n\geqslant 0$. Џгбвм
бгйҐбвўгҐв $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}$, а ў­л© зЁб«г
$q\in\RR$ Ё«Ё ЎҐбЄ®­Ґз­®бвЁ/ $\Rightarrow$\\  ) ап¤
$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ б室Ёвбп ў б«гз Ґ $q<1$, Ў) ап¤
$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ а б室Ёвбп ў б«гз Ґ $q>1$ Ё«Ё
$q=\infty$,\\ ў) ў б«гз Ґ $q=1$ ¤«п ®вўҐв  ­  ў®Їа®б ® б室Ё¬®бвЁ
ап¤  $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ вॡгҐвбп ¤®Ї®«­ЁвҐ«м­®Ґ
Ёбб«Ґ¤®ў ­ЁҐ.\\ {\scriptsize „®Є § вҐ«мбвў®.  ). ‘а ў­Ёў Ґ¬ ап¤
$\sum u_n$ б б㬬®© ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄ®© Їа®ЈаҐббЁЁ. —Ёб«® $q$ пў«пҐвбп
ЇаҐ¤Ґ«®¬ Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ $\sqrt[n]{u_n}$, Ґб«Ё ¤«п «оЎ®Ј®
$\varepsilon>0$ ­ ©¤Ґвбп $n=n(\varepsilon)\in\NN$ в Є®Ґ, зв® ¤«п
ўбпЄ®Ј® $k\geqslant n$ ўлЇ®«­пҐвбп ­Ґа ўҐ­бвў®
$|q-\sqrt[k]{u_k}|<\varepsilon$. Џ®«м§гпбм гб«®ўЁҐ¬ $q<1$ ўлЎЁа Ґ¬
$\epsilon>0$ в Є, зв® $q+\epsilon$ ўбҐ ҐйҐ ¬Ґ­миҐ 1 Ё ­ вга «м­®Ґ
$n$, зв®Ўл ¤«п ўбпЄ®Ј® $k\geqslant n$ ўлЇ®«­пҐвбп
$|q-\sqrt[k]{u_k}|<\epsilon$. ‘­Ё¬ Ґ¬ §­ Є ¬®¤г«п:
$$q-\sqrt[k]{u_k}>-\epsilon\quad \Leftrightarrow\quad
\sqrt[k]{u_k}<q+\epsilon\quad \Leftrightarrow\quad
u_{k}<(q+\epsilon)^{k},$$ Ґб«Ё $k\geqslant n$. ‡­ зЁв, ®бв в®Є
$\sum_{k=n}^{\infty}u_k$ Ёб室­®Ј® ап¤  ¬®¦­® ба ў­Ёвм б ®бв вЄ®¬
$\sum_{k=n}^{\infty}(q+\epsilon)^k$ б室п饣®бп (в.Є.
$q+\epsilon<1$) ап¤ . Џ® ⥮६Ґ 1 ®бв в®Є
$\sum_{k=n}^{\infty}u_k$ б室Ёвбп, §­ зЁв б室Ёвбп Ё б ¬ ап¤.\\ Ў)
(б«гз © $q<\infty$) Ќ ¬ ¤ ­®, зв® $q>1$. ‚®§м¬Ґ¬ $\epsilon>0$ в Є,
зв® $q-\epsilon$ ўбҐ ҐйҐ Ў®«миҐ 1 Ё Ї®¤ЎҐаҐ¬ ¤«п нв®Ј® $\epsilon$
­ вга «м­®Ґ $n$, зв®Ўл ¤«п ўбпЄ®Ј® $k\geqslant n$ ўлЇ®«­п«®бм
$|q-\sqrt[k]{u_k}|<\epsilon$. ‘­Ё¬Ґ¬ §­ Є ¬®¤г«п:
$$q-\sqrt[k]{u_k}<\epsilon\quad \Leftrightarrow\quad
\sqrt[k]{u_k}>q-\epsilon>1,$$ Ґб«Ё $k\geqslant n$. €§ нвЁе
­Ґа ўҐ­бвў ўЁ¤­®, зв® ­Ґ ўлЇ®«­пҐвбп ­Ґ®Ўе®¤Ё¬®Ґ гб«®ўЁҐ
б室Ё¬®бвЁ ап¤  -- ®ЎйЁ© з«Ґ­ ­Ґ бв६Ёвбп Є ­г«о.\\ ў) „ў  ап¤ 
„ЁаЁе«Ґ $\sum_{n=1}^{\infty}n^{-1}$ Ё $\sum_{n=1}^{\infty}n^{-2}$
Ї®Є §лў ов, зв® Ґб«Ё $q=1$, в® Ё§гз Ґ¬л© ап¤ ¬®¦Ґв а б室Ёвмбп
(ЇҐаўл© б«гз ©) Ё ¬®¦Ґв б室Ёвмбп (ўв®а®© б«гз ©).}