РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ / t04

\section*{‹ҐЄжЁп 4.}

”г­ЄжЁ®­ «м­лҐ ап¤л. ЋЎ« бвм б室Ё¬®бвЁ. ђ ў­®¬Ґа­ п б室Ё¬®бвм.
ЏаЁ§­ Є ‚Ґ©Ґаива бб . ‘ў®©бвў  а ў­®¬Ґа­® б室пйЁебп а冷ў:
­ҐЇаҐалў­®бвм б㬬л ап¤ , Ї®з«Ґ­­®Ґ Ё­вҐЈаЁа®ў ­ЁҐ Ё
¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁҐ.\\ Ћв Ё§г祭Ёп бў®©бвў зЁб«®ўле а冷ў ЇҐаҐ©¤Ґ¬ Є
ап¤ ¬, з«Ґ­ ¬Ё Є®в®але пў«повбп ­Ґ зЁб« ,   дг­ЄжЁЁ ЇҐаҐ¬Ґ­­®Ј®
$x$, Ё«Ё Є Є ҐйҐ Ёе ­ §лў ов -- дг­ЄжЁ®­ «м­л¬ ап¤ ¬. Џгбвм ­ ¬
§ ¤ ­  Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм ¤Ґ©б⢨⥫쭮§­ з­ле дг­ЄжЁ© $u_n(x)$,
$n=1,2,3,\dots$, ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­ле ­  ­ҐЄ®в®а®¬, ®¤­®¬ Ё ⮬ ¦Ґ ¤«п
ўбҐе $u_n(x)$, ®в१ЄҐ $[a,b]$ Ё«Ё Ё­вҐаў «Ґ $(a,b)$. ‚ Ї®б«Ґ¤­Ґ¬
б«гз Ґ нв®в Ё­вҐаў « Ўлвм ¬®¦Ґв ЎҐбЄ®­Ґз­л¬ ў ®¤­г Ё«Ё ®ЎҐ
бв®а®­л, $(a,\infty)$ ­ ЇаЁ¬Ґа. Ѓг¤Ґ¬ ®Ў®§­ з вм нвг ®Ў« бвм
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп дг­ЄжЁ© $u_n(x)$ бЁ¬ў®«®¬ $T$. Љ®а®вЄ® нв®
§ ЇЁблў Ґвбп в Є $u_n:T\to\RR$, $n\in\NN$. ”г­ЄжЁ®­ «м­л¬ а冷¬
(­  $T$) ­ §лў ов ап¤ $$\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x),\ x\in T.\eqno
(1)$$ ЏаЁ Є ¦¤®¬ дЁЄбЁа®ў ­­®¬ $x\in T$ нв® ®Ўлз­л© зЁб«®ў®© ап¤,
  дг­ЄжЁ®­ «м­л© ап¤, в ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, нв® ¬­®¦Ґбвў® зЁб«®ўле а冷ў,
ў Є®в®а®¬ Є ¦¤л© н«Ґ¬Ґ­в -- ап¤ Ё¬ҐҐв бў®Ґ Ё­¤ЁўЁ¤г «м­®Ґ Ё¬п $x$.
€­®Ј¤  нв® Ё¬п ­ §лў ов Ї а ¬Ґв஬ ап¤ , ­® з йҐ, в Є¦Ґ Є Є Ё ¤«п
дг­ЄжЁ© $u_n$, ЇҐаҐ¬Ґ­­®© ап¤  (1). —в®Ўл ®в«Ёз вм зЁб«®ў®© ап¤ ®в
дг­ЄжЁ®­ «м­®Ј®, гб«®ўЁ¬бп, зв® $$\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\eqno
(2)$$ -- нв® зЁб«®ў®© ап¤, §­ зҐ­ЁҐ дг­ЄжЁ®­ «м­®Ј® ап¤  ў в®зЄҐ
$x$. ‘ ¬ ¦Ґ дг­ЄжЁ®­ «м­л© ап¤ Ўг¤Ґ¬ § ЇЁблў вм в Є
$$\sum_{n=1}^{\infty}u_n,\quad{\rm Ё«Ё}\quad
\sum_{n=1}^{\infty}u_n(\cdot),\quad{\rm Ё«Ё}\quad
\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x),\ x\in T,\eqno (3)$$ б а §­®© б⥯Ґ­мо
Ї®¤а®Ў­®бвЁ. Љ Є Ё ¤«п зЁб«®ўле а冷ў, ®ЇаҐ¤Ґ«повбп з бвЁз­лҐ
б㬬л $$S_k(x)=\sum_{n=1}^{k}u_n(x),\ x\in T,$$ ап¤  (3) Ё ҐЈ®
®бв вЄЁ $$\sum_{n=k}^{\infty}u_n(x),\ x\in T.$$ ’®зЄЁ ¬­®¦Ґбвў 
$T$ ҐбвҐб⢥­­л¬ ®Ўа §®¬ Ї®¤а §¤Ґ«повбп ­  ¤ўҐ з бвЁ. Љ ЇҐаў®©
®в­®бпв ⥠$x\in T$, ¤«п Є®в®але ап¤ (2) б室Ёвбп. …Ґ ­ §лў ов
®Ў« бвмо б室Ё¬®бвЁ дг­ЄжЁ®­ «м­®Ј® ап¤  (3). Љ® ўв®а®© з бвЁ
®в­®бп⠢ᥠ®бв ўиЁҐбп в®зЄЁ $x\in T$. „«п Є ¦¤®© Ё§ ­Ёе ап¤ (2)
­Ґ пў«пҐвбп б室пйЁ¬бп. ќвг ®Ў« бвм ­ §лў ов ®Ў« бвмо а б室Ё¬®бвЁ
ап¤  (3). ‘㬬®© $S(x)$ дг­ЄжЁ®­ «м­®Ј® ап¤  ­  ®Ў« бвЁ б室Ё¬®бвЁ
­ §лў ов § ўЁбЁ¬®бвм б㬬л ап¤  (2) ®в ЇҐаҐ¬Ґ­­®© $x$.

Ћ¤­ Є® в Є®Ј® а §¤Ґ«Ґ­Ёп в®зҐЄ ®Є §лў Ґвбп ­Ґ¤®бв в®з­® ¤«п
Ї®«г祭Ёп бў®©бвў ­ б«Ґ¤®ў ­Ёп. ’ Є ап¤ Ё§ ­ҐЇаҐалў­ле дг­ЄжЁ©
¬®¦Ґв ўҐбвЁ бҐЎп Ї® а §­®¬г: ®­ ¬®¦Ґв б室Ёвмбп Є ­ҐЇаҐалў­®©
дг­ЄжЁЁ,   ¬®¦Ґв Є а §алў­®©:

ЏаЁ¬Ґа 1. ђ бᬮваЁ¬ ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$, $x\in\RR$,
¤«п Є®в®а®Ј® ўбҐ $u_n$ -- ­г«ҐўлҐ дг­ЄжЁЁ, в.Ґ. дг­ЄжЁЁ ў Є ¦¤®©
в®зЄҐ $x\in\RR$ ЇаЁ­Ё¬ ойЁҐ §­ зҐ­ЁҐ 0. Џ®­пв­®, зв® в®Ј¤  б㬬 
ап¤  -- ­г«Ґў п дг­ЄжЁп. ‚ н⮬ б«гз Ґ ўбҐ з«Ґ­л ап¤  (3) Ё ҐЈ®
б㬬  -- ­ҐЇаҐалў­лҐ дг­ЄжЁЁ.

ЏаЁ¬Ґа 2. ђ бᬮваЁ¬ ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$, Ј¤Ґ
$u_n(x)=x^2/(1+x^2)^n$, $x\in\RR$. ЏаЁ $x=0$ ўбҐ $u_n(0)$ а ў­л
­г«о. Џ®н⮬г ап¤ (2) ў н⮬ б«гз Ґ б室Ёвбп Є ­г«о. …б«Ё ¦Ґ $x\ne
0$, в® (2) ЇаҐ¤бв ў«пҐв Ё§ ᥡп б㬬㠡ҐбЄ®­Ґз­®© ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄ®©
Їа®ЈаҐббЁЁ б® §­ ¬Ґ­ вҐ«Ґ¬ $q=1/(1+x^2)<1$. …Ј® б㬬  «ҐЈЄ®
Ї®¤бзЁвлў Ґвбп Ё а ў­  $$\frac {x^2}{1-q}-x^2=1+x^2-x^2=1.$$ ’ ЄЁ¬
®Ўа §®¬ б㬬  ап¤  (3) Ё§ ­ҐЇаҐалў­ле дг­ЄжЁ© $u_n$ ®Є § « бм
а §алў­®© ў в®зЄҐ 0: ў ­г«Ґ ®­  а ў­  ­г«о,   ў­Ґ ­г«п ®­ 
ЇаЁ­Ё¬ Ґв §­ зҐ­ЁҐ $1$.

—в®Ўл ®ЎҐбЇҐзЁвм а бЇа®бва ­Ґ­ЁҐ бў®©бвў з«Ґ­®ў дг­ЄжЁ®­ «м­®Ј®
ап¤  (­ҐЇаҐалў­®бвм, ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®бвм Ё ¤а.) ­  ҐЈ® б㬬г
ЁбЇ®«м§гов Ї®­пвЁҐ а ў­®¬Ґа­®© б室Ё¬®бвЁ. Ќ Ї®¬­Ё¬ Ї®­пвЁҐ
б室Ё¬®бвЁ. Џгбвм $x$ -- в®зЄ  Ё§ ®Ў« бвЁ б室Ё¬®бвЁ. —Ёб«® $S(x)$
­ §лў ов б㬬®© ап¤  (2), Ґб«Ё ¤«п «оЎ®Ј® $\epsilon>0$ ­ ©¤Ґвбп
$n_0\in\NN$ в Є®Ґ, зв® ¤«п ўбҐе $k>n_0$ ўлЇ®«­пҐвбп ­Ґа ўҐ­бвў®
$|S_k(x)-S(x)|<\epsilon$. ќв® ®§­ з Ґв, зв® Є Є Ўл Ў«Ё§Є® Є $S(x)$
¬л ­Ё § ¤ «Ё Ја ­Ёжл, ­ ©¤Ґвбп $n_0$, Ї®б«Ґ Є®в®а®Ј® ($k>n_0$) ўбҐ
зЁб«  $S_k(x)$ «Ґ¦ в ў нвЁе Ја ­Ёж е. Ќ® ¤«п а §­ле $x$ Ё§ ®Ў« бвЁ
б室Ё¬®бвЁ нвЁ $n_0$ ў®®ЎйҐ Ј®ў®ап а §­лҐ. Џгбвм ⥯Ґам $[c,d]$ --
­ҐЄ®в®ал© ®в१®Є, «Ґ¦ йЁ© ў­гваЁ ®Ў« бвЁ б室Ё¬®бвЁ ап¤  (3).
Ѓг¤Ґ¬ Ј®ў®аЁвм, зв® (3) б室Ёвбп ­  $[c,d]$ а ў­®¬Ґа­®, Ґб«Ё зЁб«®
$n_0$ ўбпЄЁ© а § ¬®¦­® ўлЎа вм Ґ¤Ё­л¬ ¤«п ўбҐе $x\in [c,d]$:\\ ап¤
(3) б室Ёвбп ­  $[c,d]$ а ў­®¬Ґа­®, Ґб«Ё ¤«п «оЎ®Ј® $\epsilon>0$
­ ©¤Ґвбп $n_0\in\NN$ в Є®Ґ, зв® ¤«п ўбҐе $k>n_0$ Ё ўбҐе $x\in
[c,d]$ ўлЇ®«­пҐвбп ­Ґа ўҐ­бвў® $|S_k(x)-S(x)|<\epsilon$. Џ®¤®Ў­л¬
®Ўа §®¬ ¤ Ґвбп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ а ў­®¬Ґа­®© б室Ё¬®бвЁ ¤«п ¤агЈЁе
Ї®¤¬­®¦Ґбвў Ё§ ®Ў« бвЁ б室Ё¬®бвЁ ап¤ .

ЋЎлз­® ¤«п Ё««обва жЁЁ Ї®­пвЁп а ў­®¬Ґа­®© б室Ё¬®бвЁ ЁбЇ®«м§гов
зҐа⥦, ­  Є®в®а®¬ Ё§®Ўа ¦ ов ®в१®Є $[c,d]$, б㬬г $S(x)$ ­ 
$[c,d]$, $\epsilon$-вагЎЄг ў®ЄагЈ $S(x)$ ­  $[c,d]$. ЌҐа ў­®¬Ґа­®©
б室Ё¬®б⨠ᮮ⢥вбвўгҐв, ­ ЇаЁ¬Ґа, Ї®бв®п­­®Ґ ўл«Ґ§ ­ЁҐ н«Ґ¬Ґ­в®ў
$S_k(x)$ ­  $[c,d]$ §  ЇаҐ¤Ґ«л нв®© вагЎЄЁ Є ЄЁ¬ Ўл Ў®«миЁ¬ $k$ ¬л
­Ё § ¤ «Ёбм. ђ ў­®¬Ґа­®© ¦Ґ б室Ё¬®бвЁ, ­ ®Ў®а®в, ᮮ⢥вбвўгҐв
б«гз ©, Є®Ј¤  ¤«п «оЎ®© бЄ®«м гЈ®¤­® ¬ «®© $\epsilon$-вагЎЄЁ
ў®ЄагЈ $S(x)$ ­  $[c,d]$ ¬®¦­® Ї®¤®Ўа вм $n_0$, ­ зЁ­ п б Є®в®а®Ј®
ўбҐ $S_k(x)$ ­  $[c,d]$ ­ е®¤пвбп ў­гваЁ нв®© вагЎЄЁ.

‘室Ё¬®бвм ап¤  (3) Ё§®Ўа ¦ ов ®¤­®© бв५Є®© $S_n\to S$ ­ 
$[c,d]$, а ў­®¬Ґа­го б室Ё¬®бвм -- ¤ўг¬п $S_n\rightrightarrows S$
­  $[c,d]$.\\ ’Ґ®аҐ¬  1 (ЇаЁ§­ Є ‚Ґ©Ґаива бб  а ў­®¬Ґа­®©
б室Ё¬®бвЁ ап¤ ). /$\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$, $x\in T$, --
дг­ЄжЁ®­ «м­л© ап¤, $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ -- б室пйЁ©бп
­Ґ®ваЁж вҐ«м­л© зЁб«®ў®© ап¤, $|u_n(x)|\leqslant v_n$ ЇаЁ $x\in
T$, $n\in\NN$/ $\Rightarrow$ ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}u_n(\cdot)$
б室Ёвбп ­  $T$ а ў­®¬Ґа­®.\\ „®Є § вҐ«мбвў®. Ќ Ї®¬Ё­ ­ЁҐ:\\
’Ґ®аҐ¬ . /$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$, $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ --
¤ў  ап¤ , $0\leqslant a_n\leqslant b_n$, $n\in\NN$/ $\Rightarrow$
…б«Ё ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ б室Ёвбп, в® Ё ап¤
$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ б室Ёвбп.\\ Џ®«м§гпбм нв®© ⥮६®©,
§ Є«оз Ґ¬, зв® ЇаЁ ўбҐе $x\in T$ ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}|u_n(x)|$
б室Ёвбп. Џ®н⮬㠯ਠ$x\in T$ б室Ёвбп в Є¦Ґ ап¤
$\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$. Џгбвм $S(x)$ -- ҐЈ® б㬬  ­  $T$.
„ «ҐҐ Ї®«м§гҐ¬бп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ¬ а ў­®¬Ґа­®© б室Ё¬®бвЁ (*) Ё
б室Ё¬®бвмо ап¤  $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ (**). Џ® § ¤ ­­®¬г
$\epsilon>0$ ўлЎЁа Ґ¬, б®Ј« б­® (**), $n_0$ в Є, зв®Ўл
$\sum_{n=k}^{\infty}v_n<\epsilon$ ЇаЁ «оЎ®¬ $k>n_0$. Џа®ўҐаЁ¬, зв®
нв® $n_0$ -- ®¤­® Ё§ ў®§¬®¦­ле ¤«п ўлЇ®«­Ґ­Ёп (*). „Ґ©б⢨⥫쭮,
Їгбвм $k>n_0$ -- «оЎ®Ґ. ’®Ј¤ 
$$|S_k(x)-S(x)|=|\sum_{n=k+1}^{\infty}u_n(x)|\leqslant
\sum_{n=k+1}^{\infty}|u_n(x)|\leqslant \sum_{n=k+1}^{\infty}v_n
<\epsilon.$$ ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬ ¬л Їа®ўҐаЁ«Ё ўлЇ®«­Ґ­ЁҐ вॡ®ў ­Ё©
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп а ў­®¬Ґа­®© б室Ё¬®бвЁ.\\ ’Ґ®аҐ¬  2. /$u_n\in C(T)$,
$n\in\NN$, $\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$, $x\in T$, --
дг­ЄжЁ®­ «м­л© ап¤, а ў­®¬Ґа­® б室пйЁ©бп Є $S(x)$ ­  $T$/
$\Rightarrow$ $S(\cdot)\in C(T)$.\\ Џа®ўҐаЁ¬ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ
­ҐЇаҐалў­®бвЁ $S(\cdot)$ ў в®зЄҐ $x_0\in T$. ‡ ¤ ¤Ё¬бп ўҐ«ЁзЁ­®©
$\epsilon >0$ Ё Ї®¤ЎҐаҐ¬ (Ё§-§  а ў­®¬Ґа­®© б室Ё¬®бвЁ) $n_0$ в Є,
зв®Ўл $|S_k(x)-S(x)|<\epsilon/4$ ЇаЁ ўбҐе $k>n_0$ Ё ўбҐе $x\in T$.
Џгбвм $k=n_0+1$. Џ® гб«®ўЁо дг­ЄжЁп $S_k$, Є Є Є®­Ґз­ п б㬬 
­ҐЇаҐалў­ле, ­ҐЇаҐалў­  ў в®зЄҐ $x_0$. ‡­ зЁв, ­ ©¤Ґвбп $\delta
>0$ в Є®Ґ, зв® $|S_k(x)-S_k(x_0)|<\epsilon/2$ Ґ¤ў  «Ёим
$|x-x_0|<\delta$ Ё $x\in T$. ‚ᥠЇ®¤Ј®в®ўЁвҐ«м­лҐ ¤Ґ©бвўЁп
ўлЇ®«­Ґ­л, ®бв Ґвбп Їа®Ё§ўҐбвЁ Ї®б«Ґ¤­оо ®жҐ­Єг, Ё§ Є®в®а®©
б«Ґ¤гҐв ­ҐЇаҐалў­®бвм ў в®зЄҐ $x_0$ ( , §­ зЁв, Ё ­  $T$):
$$|S(x)-S(x_0)|\leqslant |S(x)-S_k(x)|+ |S_k(x)-S_k(x_0)|+
|S_k(x_0)-S(x_0)|<\epsilon/4+\epsilon/2+\epsilon/4=\epsilon$$ Ґ¤ў 
«Ёим $|x-x_0|<\delta$ Ё $x\in T$.\\ ‡ ¬Ґз ­ЁҐ. ‚ ЇаЁ¬ҐаҐ 2 ап¤ Ё§
­ҐЇаҐалў­ле дг­ЄжЁ© б室Ёвбп Є дг­ЄжЁЁ а §алў­®©. Џ®н⮬㠮­
б室Ёвбп ­Ґа ў­®¬Ґа­®.

ђ бᬮваЁ¬ ⥯Ґам ў®Їа®бл Ї®з«Ґ­­®Ј® Ё­вҐЈаЁа®ў ­Ёп Ё
¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­Ёп а冷ў.\\ ’Ґ®аҐ¬  3. /$u_n\in C[a,b]$, $n\in\NN$,
$c\in [a,b]$, $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$, $x\in [a,b]$, --
а ў­®¬Ґа­® б室пйЁ©бп дг­ЄжЁ®­ «м­л© ап¤, $v_n(x)=\int_c^x
u_n(t)\,dt$, $x\in [a,b]$, $n\in\NN$/ $\Rightarrow$
$\sum_{n=1}^{\infty}v_n(x)$, $x\in [a,b]$, -- а ў­®¬Ґа­®
б室пйЁ©бп дг­ЄжЁ®­ «м­л© ап¤, ¤«п Є®в®а®Ј® $\int_c^xS(t)\,dt=
\sum_{n=1}^{\infty}v_n(x)$. Џ®б«Ґ¤­ҐҐ а ўҐ­бвў® Ё­®Ј¤  § ЇЁблў ов
ў ўЁ¤Ґ $$\int_c^x\sum_{n=1}^{\infty}u_n(t)\,dt=
\sum_{n=1}^{\infty}\int_c^x u_n(t)\,dt.$$ ‘д®а¬г«Ёа®ў ­­®Ґ
г⢥তҐ­ЁҐ ­ §лў ов ⥮६®© ® Ї®з«Ґ­­®¬ Ё­вҐЈаЁа®ў ­ЁЁ
а ў­®¬Ґа­® б室пйЁебп а冷ў.\\ ‡ ¬Ґз ­ЁҐ. …б«Ё дг­ЄжЁ®­ «м­л© ап¤
Ё§ ⥮६л 3 б室Ёвбп, ­® гб«®ўЁҐ а ў­®¬Ґа­®© б室Ё¬®бвЁ
®вбгвбвўгҐв, в® г⢥তҐ­ЁҐ ⥮६л 3 ¬®¦Ґв ўлЇ®«­пвмбп Ё ¬®¦Ґв ­Ґ
ўлЇ®«­пвмбп.\\ ’Ґ®аҐ¬  4 (б«Ґ¤бвўЁҐ ⥮६л 3). /$v_n\in
C^1[a,b]$, $n\in\NN$, $\sum_{n=1}^{\infty}v_n'(x)$, $x\in [a,b]$,
-- а ў­®¬Ґа­® б室пйЁ©бп дг­ЄжЁ®­ «м­л© ап¤/ $\Rightarrow$\\ Ґб«Ё
ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}v_n(x)$ б室Ёвбп е®вп Ўл ў ®¤­®© в®зЄҐ
$c\in [a,b]$, в® ®­ б室Ёвбп а ў­®¬Ґа­® ­  $[a,b]$, ҐЈ® б㬬 
$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}v_n(x)$ ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬  ­  $[a,b]$ Ё
$$S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}v_n'(x)= \sum_{n=1}^{\infty} v_n'(x).$$
ќв® г⢥তҐ­ЁҐ ­ §лў ов ⥮६®© ® Ї®з«Ґ­­®¬ ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁЁ
а ў­®¬Ґа­® б室пйЁебп а冷ў.\\ ‡ ¬Ґз ­ЁҐ. Џ®«Ґ§­л¬ ¤®Ї®«­Ґ­ЁҐ¬ Є
⥮६Ґ 4 Ўг¤Ґв ЇаЁ¬Ґа дг­ЄжЁ®­ «м­®Ј® ап¤  ўЁ¤  (3), г Є®в®а®Ј®
$v_n(x)=1$ ЇаЁ ўбҐе $x$ Ё $n$. ќв® ўбо¤г а б室пйЁ©бп ап¤, ¤«п
Є®в®а®Ј® ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}v_n'(x)$ пў«пҐвбп ­г«Ґўл¬ Ё,
§­ зЁв, а ў­®¬Ґа­® б室пйЁ¬бп.