Скачиваний:
24
Добавлен:
01.05.2014
Размер:
6.95 Кб
Скачать
\section*{‹ҐЄжЁп 1.}

—Ёб«®ўлҐ ап¤л. ‘室Ё¬®бвм Ё б㬬  ап¤ . ЏаЁ¬Ґал. Џа®б⥩訥
бў®©бвў  б室пйЁебп а冷ў. ЌҐ®Ўе®¤Ё¬®Ґ гб«®ўЁҐ б室Ё¬®бвЁ. Ћбв в®Є
ап¤ . ђп¤л б ­Ґ®ваЁж вҐ«м­л¬Ё з«Ґ­ ¬Ё, ЄаЁвҐаЁ© б室Ё¬®бвЁ.

Џгбвм Ё¬ҐҐвбп ­ҐЄ®в®а п Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм ¤Ґ©б⢨⥫м­ле зЁбҐ«,
ᮥ¤Ё­Ґ­­ле ¬Ґ¦¤г б®Ў®© §­ Є®¬ Ї«об:
$$u_1+u_2+u_3+\dots+u_n+\dots,\quad {\rm Ё«Ё\ Ў®«ҐҐ\ Є®а®вЄ®}\quad
\sum_{n=1}^{\infty}u_n.$$ ’ Є®Ґ ўла ¦Ґ­ЁҐ ­ §лў Ґвбп ЎҐбЄ®­Ґз­л¬
зЁб«®ўл¬ а冷¬, Ё«Ё Їа®бв® зЁб«®ўл¬ а冷¬. ЏаЁ н⮬ б« Ј Ґ¬лҐ
$u_1,u_2,u_3,\dots,u_n,\dots$ ­ §лў овбп з«Ґ­ ¬Ё нв®Ј® ап¤ ,  
б« Ј Ґ¬®Ґ, бв®п饥 ­  n-®¬ ¬Ґб⥠-- ®ЎйЁ¬ з«Ґ­®¬ нв®Ј® ап¤ . ђп¤
бзЁв Ґвбп § ¤ ­­л¬, Ґб«Ё Ё§ўҐб⥭ ®ЎйЁ© з«Ґ­ ҐЈ®, ўла ¦Ґ­­л© Є Є
дг­ЄжЁп ­®¬Ґа  n.

‘зЁв п, зв® § ¤ ­ ­ҐЄ®в®ал© ап¤, ¬®¦­® ®Ўа §®ў вм з бвЁз­лҐ б㬬л
нв®Ј® ап¤ : $$S_1=u_1,\quad S_2=u_1+u_2,\quad
S_3=u_1+u_2+u_3,\quad S_n=u_1+u_2+u_3+\dots+u_n.$$ €в Є, з бвЁз­®©
б㬬®© ап¤  $S_n$ (Ї®ап¤Є  $n$) ­ §лў ов б㬬г з«Ґ­®ў ап¤  ®в
ЇҐаў®Ј® $u_1$ ¤® $u_n$. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, б Є ¦¤л¬ а冷¬ бўп§ ­ 
Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм ҐЈ® з бвЁз­ле б㬬 $\{S_n\}_{n=1}^{\infty}$.
ђ бᬮваЁ¬ ¤ў  б«гз п:

1. Џгбвм ЇаЁ ­Ґ®Ја ­ЁзҐ­­®¬ ў®§а бв ­ЁЁ ­®¬Ґа  $n$ з бвЁз­ п б㬬 
$S_n$ бв६Ёвбп Є Є®­Ґз­®¬г ЇаҐ¤Ґ«г $S$:
$$\lim_{n\to\infty}S_n=S.$$ ’®Ј¤  Ј®ў®апв, зв® Ёб室­л© ап¤
б室Ёвбп Ё зЁб«® $S$ ­ §лў ов б㬬®© нв®Ј® ап¤ . ‘ ¬ зЁб«®ў®© ап¤
ЇаЁ н⮬ ­ §лў Ґвбп б室пйЁ¬бп.

2. Џгбвм ЇаЁ ­Ґ®Ја ­ЁзҐ­­®¬ ў®§а бв ­ЁЁ ­®¬Ґа  $n$ з бвЁз­ п б㬬 
$S_n$ ­Ґ бв६Ёвбп ­Ё Є Є Є®¬г Є®­Ґз­®¬г ЇаҐ¤Ґ«г. ’®Ј¤  Ј®ў®апв,
зв® Ёб室­л© ап¤ а б室Ёвбп Ё бг¬¬л ­Ґ Ё¬ҐҐв. —Ёб«®ў®© ап¤ ЇаЁ
н⮬ ­ §лў Ґвбп а б室пйЁ¬бп.

ЏаЁ¬Ґал а冷ў:

1. $0+0+0+\dots+0+\dots$,

2. $1+1+1+\dots+1+\dots$,

3. $1-1+1-\dots+(-1)^{n+1}+\dots$,

4. $1+q+q^2+\dots+q^n+\dots$,

5. $1+1/2+1/3+\dots+1/n+\dots$.\\ ‚ ЇаЁ¬ҐаҐ 1 $S_n=0$, ў ЇаЁ¬ҐаҐ 2
$S_n=n$, ў ЇаЁ¬ҐаҐ 3 $S_n=(1-(-1)^n)/2$, ў ЇаЁ¬ҐаҐ 4
$S_n=\frac{1-q^n}{1-q}$. ’ Є Є Є
$$\lim_{n\to\infty}0=0,\quad\lim_{n\to\infty}n=\infty,\quad
\lim_{n\to\infty}(1-(-1)^n)/2\ {\rm ­Ґ\ бгйҐбвўгҐв},$$ в® Ё§
ЇҐаўле ваҐе ЇаЁ¬Ґа®ў а冷ў б室пйЁ¬бп пў«пҐвбп «Ёим ЇҐаўл©. ‚
зҐвўҐа⮬ ЇаЁ¬ҐаҐ $\lim_{n\to\infty}S_n$ § ўЁбЁв ®в ўҐ«ЁзЁ­л $q$.
…б«Ё $|q|<1$, в® $\lim_{n\to\infty}S_n=1/(1-q)$ -- в® Ґбвм ап¤ Ё§
ЇаЁ¬Ґа  4 ў н⮬ б«гз Ґ б室Ёвбп. …б«Ё ¦Ґ $|q|>1$, в®
$\lim_{n\to\infty}S_n$ Ё«Ё а ўҐ­ $+\infty$ (Ґб«Ё $q>1$), Ё«Ё ў®ўбҐ
­Ґ бгйҐбвўгҐв (Ґб«Ё $q<-1$). Џ®н⮬г ап¤ Ё§ ЇаЁ¬Ґа  4 ¤«п $|q|>1$
а б室Ёвбп. ђп¤ Ё§ ЇаЁ¬Ґа  5 ­®бЁв бЇҐжЁ «м­®Ґ ­ §ў ­ЁҐ. …Ј®
­ §лў ов Ј а¬®­ЁзҐбЄЁ¬. Џа®ўҐаЁ¬, зв® ®­ пў«пҐвбп а б室пйЁ¬бп
а冷¬. „«п нв®Ј® а бᬮваЁ¬ б«Ґ¤гойЁҐ ҐЈ® з бвЁ: $$u_1=1,\quad
u_2=\frac 12,\quad u_3+u_4=\frac 13+\frac 14>\frac 14+\frac
14=\frac 12,\quad u_5+u_6+u_5+u_6=\frac 15+\frac 16+\frac 17+\frac
18>\frac 18+\frac 18+\frac 18+\frac 18=\frac 12$$ Ё в.¤. Ћ¤­®© Ё§
з б⥩ ЇаҐ¤Ї®« Ј Ґвбп, ­ ЇаЁ¬Ґа, ў§пвм б㬬г
$$u_{2^{m-1}+1}+\dots+u_{2^m}>2^{m-1}/2^m=1/2.$$ ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬,
з бвЁз­ п б㬬  $S_{2^m}$ а §ЎЁў Ґвбп ­  $m+1$ з бвм, Є ¦¤ п Ё§
Є®в®але Ў®«миҐ 1/2. Џ®н⮬г $S_{2^m}>(m+1)/2$. ’Ґ¬ б ¬л¬, Є Є
­Ґваг¤­® Ї®­пвм, ¬л Ї®Є § «Ё, зв® ¤«п 5-Ј® ЇаЁ¬Ґа 
$\lim\,S_n=+\infty$ -- ап¤ а б室Ёвбп.

„«п зЁб«®ўле а冷ў ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­л  аЁд¬ҐвЁзҐбЄЁҐ ®ЇҐа жЁЁ б«®¦Ґ­Ёп Ё
г¬­®¦Ґ­Ёп ­  зЁб«®:

1). ‘㬬®© ¤ўге зЁб«®ўле а冷ў $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ Ё
$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ ­ §лў Ґвбп ап¤
$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)$,

2). ђҐ§г«мв в®¬ г¬­®¦Ґ­Ёп ап¤  $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ ­  зЁб«®
$c\in\RR$ ­ §лў Ґвбп ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}(c\cdot u_n)$.

’Ґ®аҐ¬  1. /$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ -- б室пйЁ©бп ап¤, $S$ -- ҐЈ®
б㬬 , $c\in\RR$/ $\Rightarrow$ $\sum_{n=1}^{\infty}(c\cdot
u_n)=c\cdot S$.\\ „®Є § вҐ«мбвў®. …б«Ё $S_n$ -- n- п з бвЁз­ п
б㬬  Ёб室­®Ј® ап¤ , в®, б®Ј« б­® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо, $c\cdot S_n$ --
n- п з бвЁз­ п б㬬  ап¤ , Ї®«г祭­®Ј® Ї®б«Ґ г¬­®¦Ґ­Ёп ­  $c$. Џ®
 аЁд¬ҐвЁзҐбЄЁ¬ бў®©бвў ¬ ЇаҐ¤Ґ«  Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ
$$\lim_{n\to\infty}c\cdot S_n=c\cdot \lim_{n\to\infty}S_n=c\cdot
S,$$ зв® Ё вॡ®ў «®бм Їа®ўҐаЁвм. Ђ­ «®ЈЁз­® гбв ­ ў«Ёў Ґвбп

’Ґ®аҐ¬  2. /$S=\sum_{n=1}^{\infty}u_n$, $T=\sum_{n=1}^{\infty}v_n$
-- ¤ў  б室пйЁебп ап¤ / $\Rightarrow$
$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)=S+T$.\\ „®Є § вҐ«мбвў®. …б«Ё $S_n$ Ё
$T_n$ -- n-лҐ з бвЁз­лҐ б㬬л а冷ў $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ Ё
$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ ᮮ⢥вб⢥­­®, в®, б®Ј« б­® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо,
$S_n+T_n$ -- n- п з бвЁз­ п б㬬  ап¤ 
$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)$. Џ®  аЁд¬ҐвЁзҐбЄЁ¬ бў®©бвў ¬
ЇаҐ¤Ґ«  Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ $$\lim_{n\to\infty}(S_n+T_n)=
\lim_{n\to\infty}S_n+\lim_{n\to\infty}T_n=S+T,$$ зв® Ё вॡ®ў «®бм
Їа®ўҐаЁвм.

Џгбвм $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ -- ­ҐЄ®в®ал© ап¤. ЏаЁ «оЎ®¬
$k\in\NN$ ап¤ $\sum_{n=k}^{\infty}u_n$ ­ §лў Ґвбп ®бв вЄ®¬ ап¤ 
$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$.

’Ґ®аҐ¬  3. /$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ -- ­ҐЄ®в®ал© ап¤,
$\sum_{n=k}^{\infty}u_n$ -- ҐЈ® ®бв в®Є/ $\Rightarrow$ 1). Ґб«Ё
б室Ёвбп ап¤, в® б室Ёвбп Ё ҐЈ® ®бв в®Є, 2). Ґб«Ё б室Ёвбп ®бв в®Є
ап¤ , в® б室Ёвбп Ё б ¬ ап¤.

„®Є § вҐ«мбвў® ®б­®ў ­® ­  ⥮६ е 1, 2 Ё б®бв®Ёв ў ⮬, зв®,
­ ЇаЁ¬Ґа, ¤«п Їа®ўҐаЄЁ 1) ¤®бв в®з­® § ¬ҐвЁвм, зв® ®бв в®Є ап¤ 
¬®¦Ґв Ўлвм Ї®«г祭 Є Є а §­®бвм ¤ўге б室пйЁебп а冷ў: Ёб室­®Ј® Ё
ап¤  $u_1+u_2+\dots+u_{k-1}+0+0+\dots+0+\dots$. Ђ­ «®ЈЁз­®
гбв ­ ў«Ёў Ґвбп Їг­Єв 2) ⥮६л.

’Ґ®аҐ¬  4 (­Ґ®Ўе®¤Ё¬®Ґ гб«®ўЁҐ б室Ё¬®бвЁ ап¤ ).
/$S=\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ -- б室пйЁ©бп ап¤/ $\Rightarrow$
$\lim\,u_n=0$.

„®Є § вҐ«мбвў®. ’ Є Є Є $u_n=S_n-S_{n-1}$, в® Ї®  аЁд¬ҐвЁзҐбЄЁ¬
бў®©бвў ¬ ЇаҐ¤Ґ«  Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ $$\lim_{n\to\infty}u_n=
\lim_{n\to\infty}(S_n-S_{n-1})=\lim_{n\to\infty}S_n-
\lim_{n\to\infty}S_{n-1}=S-S=0.$$

‘«Ґ¤бвўЁҐ. …б«Ё $n$-л© з«Ґ­ ап¤  ЇаЁ ­Ґ®Ја ­ЁзҐ­­®¬ ў®§а бв ­ЁЁ
ҐЈ® ­®¬Ґа  $n$ ­Ґ бв६Ёвбп Є ­г«о, в® нв®в ап¤ а б室Ёвбп.

ЏаЁ¬Ґ­пп нв® б«Ґ¤бвўЁҐ Є ЇаЁ¬Ґа ¬ а冷ў 2 Ё 3 (б¬. ўлиҐ), Ї®«гз Ґ¬
Ёе а б室Ё¬®бвм. ‚ ⮦Ґ ўаҐ¬п Ј а¬®­ЁзҐбЄЁ© ап¤, Є Є Ўл«® Ї®Є § ­®
ЇаҐ¦¤Ґ, а б室Ёвбп, ­® ¤«п ­ҐЈ® $u_n=1/n\to 0$, Є®Ј¤ 
$n\to\infty$.

‘«Ґ¤гой п ⥮६  ®в­®бЁвбп Є ап¤ ¬, ўбҐ з«Ґ­л Є®в®але пў«повбп
­Ґ®ваЁж вҐ«м­л¬Ё зЁб« ¬Ё.

’Ґ®аҐ¬  5. /Џгбвм $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ -- ап¤ б
­Ґ®ваЁж вҐ«м­л¬Ё з«Ґ­ ¬Ё: $u_n\geqslant 0$, $S_n$ -- ҐЈ® з бвЁз­лҐ
б㬬л/ $\Rightarrow$ $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ -- б室Ёвбп
$\Leftrightarrow$ Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм $S_n$ -- ®Ја ­ЁзҐ­ .

„®Є § вҐ«мбвў®. $\Rightarrow$: Ґб«Ё ап¤ б室Ёвбп, в® б室Ёвбп
Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм $S_n$ з бвЁз­ле б㬬. Џ®н⮬㠮­  пў«пҐвбп
®Ја ­ЁзҐ­­®© (Ї® бў®©бвў ¬ б室пйЁебп Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®б⥩).
$\Leftarrow$: Љ Є Ї®Є §лў Ґв ЇаЁ¬Ґа 3 ап¤  ў ®ЎйҐ¬ б«гз Ґ Ё§
®Ја ­ЁзҐ­­®бвЁ з бвЁз­ле б㬬 $S_n$ ­Ґ б«Ґ¤гҐв Ёе б室Ё¬®бвм.
Ћ¤­ Є®, ап¤ Ё§ ЇаЁ¬Ґа  3 ­Ґ пў«пҐвбп а冷¬ б ­Ґ®ваЁж вҐ«м­л¬Ё
з«Ґ­ ¬Ё. …б«Ё ¬л Ё¬ҐҐ¬ ап¤ б ­Ґ®ваЁж вҐ«м­л¬Ё з«Ґ­ ¬Ё, в®
Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм з бвЁз­ле б㬬 нв®Ј® ап¤ 
$S_n=S_{n-1}+u_n\geqslant S_{n-1}$ ­ҐгЎлў Ґв. Ља®¬Ґ в®Ј®, б®Ј« б­®
ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­Ёо, ®­  ®Ја ­ЁзҐ­  ᢥаег. Љ Є Ё§ўҐбв­®, ў н⮬ б«гз Ґ
Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм $S_n$ Ё¬ҐҐв ЇаҐ¤Ґ«, зв® Ё вॡ®ў «®бм
гбв ­®ўЁвм.
Соседние файлы в папке РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ