Добавил:
Studfiles2
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ / t01
.tex\section*{‹ҐЄжЁп 1.}
—Ёб«®ўлҐ ап¤л. ‘室Ё¬®бвм Ё б㬬 ап¤ . ЏаЁ¬Ґал. Џа®б⥩訥
бў®©бвў б室пйЁебп а冷ў. ЌҐ®Ўе®¤Ё¬®Ґ гб«®ўЁҐ б室Ё¬®бвЁ. Ћбв в®Є
ап¤ . ђп¤л б Ґ®ваЁж ⥫мл¬Ё з«Ґ ¬Ё, ЄаЁвҐаЁ© б室Ё¬®бвЁ.
Џгбвм Ё¬ҐҐвбп ҐЄ®в®а п Ї®б«Ґ¤®ў ⥫м®бвм ¤Ґ©б⢨⥫мле зЁбҐ«,
ᮥ¤ЁҐле ¬Ґ¦¤г б®Ў®© § Є®¬ Ї«об:
$$u_1+u_2+u_3+\dots+u_n+\dots,\quad {\rm Ё«Ё\ Ў®«ҐҐ\ Є®а®вЄ®}\quad
\sum_{n=1}^{\infty}u_n.$$ ’ Є®Ґ ўла ¦ҐЁҐ §лў Ґвбп ЎҐбЄ®Ґзл¬
зЁб«®ўл¬ а冷¬, Ё«Ё Їа®бв® зЁб«®ўл¬ а冷¬. ЏаЁ н⮬ б« Ј Ґ¬лҐ
$u_1,u_2,u_3,\dots,u_n,\dots$ §лў овбп з«Ґ ¬Ё нв®Ј® ап¤ ,
б« Ј Ґ¬®Ґ, бв®п饥 n-®¬ ¬Ґб⥠-- ®ЎйЁ¬ з«Ґ®¬ нв®Ј® ап¤ . ђп¤
бзЁв Ґвбп § ¤ л¬, Ґб«Ё Ё§ўҐб⥠®ЎйЁ© з«Ґ ҐЈ®, ўла ¦Ґл© Є Є
дгЄжЁп ®¬Ґа n.
‘зЁв п, зв® § ¤ ҐЄ®в®ал© ап¤, ¬®¦® ®Ўа §®ў вм з бвЁзлҐ б㬬л
нв®Ј® ап¤ : $$S_1=u_1,\quad S_2=u_1+u_2,\quad
S_3=u_1+u_2+u_3,\quad S_n=u_1+u_2+u_3+\dots+u_n.$$ €в Є, з бвЁз®©
б㬬®© ап¤ $S_n$ (Ї®ап¤Є $n$) §лў ов б㬬г з«Ґ®ў ап¤ ®в
ЇҐаў®Ј® $u_1$ ¤® $u_n$. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, б Є ¦¤л¬ а冷¬ бўп§
Ї®б«Ґ¤®ў ⥫м®бвм ҐЈ® з бвЁзле б㬬 $\{S_n\}_{n=1}^{\infty}$.
ђ бᬮваЁ¬ ¤ў б«гз п:
1. Џгбвм ЇаЁ Ґ®Ја ЁзҐ®¬ ў®§а бв ЁЁ ®¬Ґа $n$ з бвЁз п б㬬
$S_n$ бв६Ёвбп Є Є®Ґз®¬г ЇаҐ¤Ґ«г $S$:
$$\lim_{n\to\infty}S_n=S.$$ ’®Ј¤ Ј®ў®апв, зв® Ёбе®¤л© ап¤
б室Ёвбп Ё зЁб«® $S$ §лў ов б㬬®© нв®Ј® ап¤ . ‘ ¬ зЁб«®ў®© ап¤
ЇаЁ н⮬ §лў Ґвбп б室пйЁ¬бп.
2. Џгбвм ЇаЁ Ґ®Ја ЁзҐ®¬ ў®§а бв ЁЁ ®¬Ґа $n$ з бвЁз п б㬬
$S_n$ Ґ бв६Ёвбп Ё Є Є Є®¬г Є®Ґз®¬г ЇаҐ¤Ґ«г. ’®Ј¤ Ј®ў®апв,
зв® Ёбе®¤л© ап¤ а б室Ёвбп Ё бг¬¬л Ґ Ё¬ҐҐв. —Ёб«®ў®© ап¤ ЇаЁ
н⮬ §лў Ґвбп а б室пйЁ¬бп.
ЏаЁ¬Ґал а冷ў:
1. $0+0+0+\dots+0+\dots$,
2. $1+1+1+\dots+1+\dots$,
3. $1-1+1-\dots+(-1)^{n+1}+\dots$,
4. $1+q+q^2+\dots+q^n+\dots$,
5. $1+1/2+1/3+\dots+1/n+\dots$.\\ ‚ ЇаЁ¬ҐаҐ 1 $S_n=0$, ў ЇаЁ¬ҐаҐ 2
$S_n=n$, ў ЇаЁ¬ҐаҐ 3 $S_n=(1-(-1)^n)/2$, ў ЇаЁ¬ҐаҐ 4
$S_n=\frac{1-q^n}{1-q}$. ’ Є Є Є
$$\lim_{n\to\infty}0=0,\quad\lim_{n\to\infty}n=\infty,\quad
\lim_{n\to\infty}(1-(-1)^n)/2\ {\rm Ґ\ бгйҐбвўгҐв},$$ в® Ё§
ЇҐаўле ваҐе ЇаЁ¬Ґа®ў а冷ў б室пйЁ¬бп пў«пҐвбп «Ёим ЇҐаўл©. ‚
зҐвўҐа⮬ ЇаЁ¬ҐаҐ $\lim_{n\to\infty}S_n$ § ўЁбЁв ®в ўҐ«ЁзЁл $q$.
…б«Ё $|q|<1$, в® $\lim_{n\to\infty}S_n=1/(1-q)$ -- в® Ґбвм ап¤ Ё§
ЇаЁ¬Ґа 4 ў н⮬ б«гз Ґ б室Ёвбп. …б«Ё ¦Ґ $|q|>1$, в®
$\lim_{n\to\infty}S_n$ Ё«Ё а ўҐ $+\infty$ (Ґб«Ё $q>1$), Ё«Ё ў®ўбҐ
Ґ бгйҐбвўгҐв (Ґб«Ё $q<-1$). Џ®н⮬г ап¤ Ё§ ЇаЁ¬Ґа 4 ¤«п $|q|>1$
а б室Ёвбп. ђп¤ Ё§ ЇаЁ¬Ґа 5 ®бЁв бЇҐжЁ «м®Ґ §ў ЁҐ. …Ј®
§лў ов Ј ମЁзҐбЄЁ¬. Џа®ўҐаЁ¬, зв® ® пў«пҐвбп а б室пйЁ¬бп
а冷¬. „«п нв®Ј® а бᬮваЁ¬ б«Ґ¤гойЁҐ ҐЈ® з бвЁ: $$u_1=1,\quad
u_2=\frac 12,\quad u_3+u_4=\frac 13+\frac 14>\frac 14+\frac
14=\frac 12,\quad u_5+u_6+u_5+u_6=\frac 15+\frac 16+\frac 17+\frac
18>\frac 18+\frac 18+\frac 18+\frac 18=\frac 12$$ Ё в.¤. Ћ¤®© Ё§
з б⥩ ЇаҐ¤Ї®« Ј Ґвбп, ЇаЁ¬Ґа, ў§пвм б㬬г
$$u_{2^{m-1}+1}+\dots+u_{2^m}>2^{m-1}/2^m=1/2.$$ ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬,
з бвЁз п б㬬 $S_{2^m}$ а §ЎЁў Ґвбп $m+1$ з бвм, Є ¦¤ п Ё§
Є®в®але Ў®«миҐ 1/2. Џ®н⮬г $S_{2^m}>(m+1)/2$. ’Ґ¬ б ¬л¬, Є Є
Ґва㤮 Ї®пвм, ¬л Ї®Є § «Ё, зв® ¤«п 5-Ј® ЇаЁ¬Ґа
$\lim\,S_n=+\infty$ -- ап¤ а б室Ёвбп.
„«п зЁб«®ўле а冷ў ®ЇаҐ¤Ґ«Ґл аЁд¬ҐвЁзҐбЄЁҐ ®ЇҐа жЁЁ б«®¦ҐЁп Ё
㬮¦ҐЁп зЁб«®:
1). ‘㬬®© ¤ўге зЁб«®ўле а冷ў $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ Ё
$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ §лў Ґвбп ап¤
$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)$,
2). ђҐ§г«мв ⮬ 㬮¦ҐЁп ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ зЁб«®
$c\in\RR$ §лў Ґвбп ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}(c\cdot u_n)$.
’Ґ®аҐ¬ 1. /$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ -- б室пйЁ©бп ап¤, $S$ -- ҐЈ®
б㬬 , $c\in\RR$/ $\Rightarrow$ $\sum_{n=1}^{\infty}(c\cdot
u_n)=c\cdot S$.\\ „®Є § ⥫мбвў®. …б«Ё $S_n$ -- n- п з бвЁз п
б㬬 Ёб室®Ј® ап¤ , в®, б®Ј« б® ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁо, $c\cdot S_n$ --
n- п з бвЁз п б㬬 ап¤ , Ї®«г祮Ј® Ї®б«Ґ 㬮¦ҐЁп $c$. Џ®
аЁд¬ҐвЁзҐбЄЁ¬ бў®©бвў ¬ ЇаҐ¤Ґ« Ї®б«Ґ¤®ў ⥫м®бвЁ
$$\lim_{n\to\infty}c\cdot S_n=c\cdot \lim_{n\to\infty}S_n=c\cdot
S,$$ зв® Ё вॡ®ў «®бм Їа®ўҐаЁвм. Ђ «®ЈЁз® гбв ў«Ёў Ґвбп
’Ґ®аҐ¬ 2. /$S=\sum_{n=1}^{\infty}u_n$, $T=\sum_{n=1}^{\infty}v_n$
-- ¤ў б室пйЁебп ап¤ / $\Rightarrow$
$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)=S+T$.\\ „®Є § ⥫мбвў®. …б«Ё $S_n$ Ё
$T_n$ -- n-лҐ з бвЁзлҐ б㬬л а冷ў $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ Ё
$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ ᮮ⢥вб⢥®, в®, б®Ј« б® ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁо,
$S_n+T_n$ -- n- п з бвЁз п б㬬 ап¤
$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)$. Џ® аЁд¬ҐвЁзҐбЄЁ¬ бў®©бвў ¬
ЇаҐ¤Ґ« Ї®б«Ґ¤®ў ⥫м®бвЁ $$\lim_{n\to\infty}(S_n+T_n)=
\lim_{n\to\infty}S_n+\lim_{n\to\infty}T_n=S+T,$$ зв® Ё вॡ®ў «®бм
Їа®ўҐаЁвм.
Џгбвм $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ -- ҐЄ®в®ал© ап¤. ЏаЁ «оЎ®¬
$k\in\NN$ ап¤ $\sum_{n=k}^{\infty}u_n$ §лў Ґвбп ®бв вЄ®¬ ап¤
$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$.
’Ґ®аҐ¬ 3. /$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ -- ҐЄ®в®ал© ап¤,
$\sum_{n=k}^{\infty}u_n$ -- ҐЈ® ®бв в®Є/ $\Rightarrow$ 1). Ґб«Ё
б室Ёвбп ап¤, в® б室Ёвбп Ё ҐЈ® ®бв в®Є, 2). Ґб«Ё б室Ёвбп ®бв в®Є
ап¤ , в® б室Ёвбп Ё б ¬ ап¤.
„®Є § ⥫мбвў® ®б®ў ® ⥮६ е 1, 2 Ё б®бв®Ёв ў ⮬, зв®,
ЇаЁ¬Ґа, ¤«п Їа®ўҐаЄЁ 1) ¤®бв в®з® § ¬ҐвЁвм, зв® ®бв в®Є ап¤
¬®¦Ґв Ўлвм Ї®«гзҐ Є Є а §®бвм ¤ўге б室пйЁебп а冷ў: Ёб室®Ј® Ё
ап¤ $u_1+u_2+\dots+u_{k-1}+0+0+\dots+0+\dots$. Ђ «®ЈЁз®
гбв ў«Ёў Ґвбп ЇгЄв 2) ⥮६л.
’Ґ®аҐ¬ 4 (Ґ®Ўе®¤Ё¬®Ґ гб«®ўЁҐ б室Ё¬®бвЁ ап¤ ).
/$S=\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ -- б室пйЁ©бп ап¤/ $\Rightarrow$
$\lim\,u_n=0$.
„®Є § ⥫мбвў®. ’ Є Є Є $u_n=S_n-S_{n-1}$, в® Ї® аЁд¬ҐвЁзҐбЄЁ¬
бў®©бвў ¬ ЇаҐ¤Ґ« Ї®б«Ґ¤®ў ⥫м®бвЁ $$\lim_{n\to\infty}u_n=
\lim_{n\to\infty}(S_n-S_{n-1})=\lim_{n\to\infty}S_n-
\lim_{n\to\infty}S_{n-1}=S-S=0.$$
‘«Ґ¤бвўЁҐ. …б«Ё $n$-л© з«Ґ ап¤ ЇаЁ Ґ®Ја ЁзҐ®¬ ў®§а бв ЁЁ
ҐЈ® ®¬Ґа $n$ Ґ бв६Ёвбп Є г«о, в® нв®в ап¤ а б室Ёвбп.
ЏаЁ¬Ґпп нв® б«Ґ¤бвўЁҐ Є ЇаЁ¬Ґа ¬ а冷ў 2 Ё 3 (б¬. ўлиҐ), Ї®«гз Ґ¬
Ёе а б室Ё¬®бвм. ‚ ⮦Ґ ўаҐ¬п Ј ମЁзҐбЄЁ© ап¤, Є Є Ўл«® Ї®Є § ®
ЇаҐ¦¤Ґ, а б室Ёвбп, ® ¤«п ҐЈ® $u_n=1/n\to 0$, Є®Ј¤
$n\to\infty$.
‘«Ґ¤гой п ⥮६ ®в®бЁвбп Є ап¤ ¬, ўбҐ з«Ґл Є®в®але пў«повбп
Ґ®ваЁж ⥫мл¬Ё зЁб« ¬Ё.
’Ґ®аҐ¬ 5. /Џгбвм $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ -- ап¤ б
Ґ®ваЁж ⥫мл¬Ё з«Ґ ¬Ё: $u_n\geqslant 0$, $S_n$ -- ҐЈ® з бвЁзлҐ
б㬬л/ $\Rightarrow$ $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ -- б室Ёвбп
$\Leftrightarrow$ Ї®б«Ґ¤®ў ⥫м®бвм $S_n$ -- ®Ја ЁзҐ .
„®Є § ⥫мбвў®. $\Rightarrow$: Ґб«Ё ап¤ б室Ёвбп, в® б室Ёвбп
Ї®б«Ґ¤®ў ⥫м®бвм $S_n$ з бвЁзле б㬬. Џ®н⮬㠮 пў«пҐвбп
®Ја ЁзҐ®© (Ї® бў®©бвў ¬ б室пйЁебп Ї®б«Ґ¤®ў ⥫м®б⥩).
$\Leftarrow$: Љ Є Ї®Є §лў Ґв ЇаЁ¬Ґа 3 ап¤ ў ®ЎйҐ¬ б«гз Ґ Ё§
®Ја ЁзҐ®бвЁ з бвЁзле б㬬 $S_n$ Ґ б«Ґ¤гҐв Ёе б室Ё¬®бвм.
Ћ¤ Є®, ап¤ Ё§ ЇаЁ¬Ґа 3 Ґ пў«пҐвбп а冷¬ б Ґ®ваЁж ⥫мл¬Ё
з«Ґ ¬Ё. …б«Ё ¬л Ё¬ҐҐ¬ ап¤ б Ґ®ваЁж ⥫мл¬Ё з«Ґ ¬Ё, в®
Ї®б«Ґ¤®ў ⥫м®бвм з бвЁзле б㬬 нв®Ј® ап¤
$S_n=S_{n-1}+u_n\geqslant S_{n-1}$ ҐгЎлў Ґв. Ља®¬Ґ в®Ј®, б®Ј« б®
ЇаҐ¤Ї®«®¦ҐЁо, ® ®Ја ЁзҐ ᢥаег. Љ Є Ё§ўҐбв®, ў н⮬ б«гз Ґ
Ї®б«Ґ¤®ў ⥫м®бвм $S_n$ Ё¬ҐҐв ЇаҐ¤Ґ«, зв® Ё вॡ®ў «®бм
гбв ®ўЁвм.