Добавил:
Studfiles2
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ / t10
.tex\section*{‹ҐЄжЁп 10.}
ЉаЁў®«ЁҐ©лҐ ЁвҐЈа «л ЇҐаў®Ј® த Ё ўв®а®Ј® த , Ёе бў®©бвў Ё
ўлзЁб«ҐЁҐ. ‘Є «п஥ Ё ўҐЄв®а®Ґ Ї®«Ґ. –ЁаЄг«пжЁп ўҐЄв®а®Ј® Ї®«п
ў¤®«м ЄаЁў®©. ”®а¬г« ѓаЁ .\\ ђ бᬮв२Ґ Ї®пвЁп ЄаЁў®«ЁҐ©®Ј®
ЁвҐЈа « ЇҐаў®Ј® த ®Ўлз® зЁ ов б гЄ § Ёп в®Ј® Ї® Є Є®¬г
¬®¦Ґбвўг нв®в ЁвҐЈа « ўлзЁб«пҐвбп. ‚ Є зҐб⢥ в ЄЁе ¬®¦Ґбвў
ўлбвгЇ ов ЄаЁўлҐ Ї«®бЄ®бвЁ $\mathbb{R}^2$ Ё«Ё ў Їа®бва б⢥
$\mathbb{R}^3$. Џа®б⥩訬 ЇаЁ¬Ґа®¬ ЄаЁў®© Ї«®бЄ®бвЁ пў«пҐвбп
®Ўа § $\gamma$ ®в१Є $[a,b]\subset\mathbb{R}$, § ¤ ў Ґ¬л© Ї а®©
®в®Ўа ¦ҐЁ© $x,y\in C[a,b]$ Ї® Їа ўЁ«г: $$\gamma=\{(x(t),y(t))\ |\
t\in [a,b]\},\eqno (1)$$ в Є зв® а §л¬ § зҐЁп¬ Ї а ¬Ґва
$t\in(a,b)$ ᮮ⢥вбвўгов а §лҐ в®зЄЁ $(x(t),y(t))$, б®бв ў«пойЁҐ
ЄаЁўго $\gamma$. Ља®¬Ґ ҐЇаҐалў®бвЁ дгЄжЁ© $x(\cdot)$,
$y(\cdot)$ Ї®вॡ㥬 ¤®Ї®«ЁвҐ«м®, зв®Ўл $x(\cdot)$, $y(\cdot)\in
C^1(a,b)$. …б«Ё Є®жл $A=(x(a),y(a))$ Ё $B=(x(b),y(b))$ ЄаЁў®©
$\gamma$ б®ўЇ ¤ ов: $A=B$, в® в Єго ЄаЁўго Ўг¤Ґ¬ §лў вм
§ ¬Єгв®©. Џгбвм $f(\cdot)\in C(\gamma)$ -- ҐЇаҐалў®Ґ
®в®Ўа ¦ҐЁҐ, ЇаЁЁ¬ о饥 ¤Ґ©б⢨⥫млҐ § зҐЁп ¬®¦Ґб⢥
$\gamma$. Џ®б«Ґ¤ҐҐ гб«®ўЁҐ, ў з бв®бвЁ, ®§ з Ґв, зв® ў дгЄжЁо
¤ўге ЇҐаҐ¬Ґле $f(x,y)$ ў Є зҐб⢥ аЈг¬Ґв®ў $(x,y)$ ¬®¦®
Ї®¤бв ўЁвм в®зЄЁ Ё§ ЄаЁў®© $\gamma$ Ё ®Ўа §®ў вм б«®¦го дгЄжЁо
$f(x(t),y(t))$ ЇҐаҐ¬Ґ®© $t\in[a,b]$. Џ® ⥮६Ґ ® ҐЇаҐалў®бвЁ
б«®¦®© дгЄжЁЁ в Є п дгЄжЁп Ўг¤Ґв ҐЇаҐалў®© Є Є дгЄжЁп
ЇҐаҐ¬Ґ®© $t\in[a,b]$. ЉаЁў®«ЁҐ©лҐ ЁвҐЈа «л ®в дгЄжЁЁ $f$ Ї®
ЄаЁў®© $\gamma$ ®ЇаҐ¤Ґ«пов ЇаЁ ¤®Ї®«ЁвҐ«м®¬ ЇаҐ¤Ї®«®¦ҐЁЁ ®
Ґўл஦¤Ґ®бвЁ: $${x'}^2(t)+{y'}^2(t)>0,\quad t\in (a,b);$$
ЄаЁў®«ЁҐ©л¬ ЁвҐЈа «®¬ ЇҐаў®Ј® த §лў ов (ў®®ЎйҐ Ј®ў®ап
Ґб®ЎбвўҐл© ЁвҐЈа «) $$\int_{\gamma}f(x,y)\,ds=
\int_{[a,b]}f(x(t),y(t))\sqrt{{x'}^2(t)+{y'}^2(t)}\,dt,\eqno (2)$$
Ј¤Ґ бЁ¬ў®«®¬ $\int_{[a,b]}$ ®Ў®§ 祮 ЁвҐЈаЁа®ў ЁҐ Ї® $[a,b]$
®в ¬Ґм襣® § 票п аЈг¬Ґв Є Ў®«м襬г. Џгбвм $g(\cdot)\in
C(\gamma)$ -- ҐйҐ ®¤ ҐЇаҐалў п ¤Ґ©б⢨⥫쮧 з п дгЄжЁп
$\gamma$. ‚ла ¦ҐЁҐ $$\int_{{AB}}f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy=
\int_a^b(f(x(t),y(t))x'(t)+g(x(t),y(t))y'(t))\,dt\eqno (2')$$
§лў ов ЄаЁў®«ЁҐ©л¬ ЁвҐЈа «®¬ ўв®а®Ј® த (ЁвҐЈа « ў Їа ў®©
з бвЁ в Є¦Ґ ¬®¦Ґв Ўлвм Ґб®Ўб⢥л¬). ЏаҐ¤Ґ«л ЁвҐЈаЁа®ў Ёп ў
$(2')$ а ббв ў«пов в ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, зв®Ўл в®зЄҐ $A$ ᮮ⢥вбвў®ў «®
§ 票Ґ Ї а ¬Ґва $t=a$, в®зЄҐ $B$ -- § 票Ґ $t=b$.\\ ‚ ¦л¬
бў®©бвў®¬ ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁп (2) пў«пҐвбп, Є Є Ј®ў®апв, Ґ§ ўЁбЁ¬®бвм
Їа ў®© з бвЁ (2) ®в ўлЎ®а Ї а ¬ҐваЁ§ жЁЁ (1). ‘¬лб« нв®© да §л
б®бв®Ёв ў б«Ґ¤го饬: Їгбвм $t=u(v)$ -- ЇаҐ®Ўа §®ў ЁҐ ®в१Є
$[c,d]$ ў ®в१®Є $[a,b]$, $u(\cdot)\in C^1[c,d]$: $$u'(v)\ne
0,\quad v\in [c,d],\ u(c)=a,\ u(d)=b.$$ ќв®, ў з бв®бвЁ,
®§ з Ґв, зв® $u(\cdot)$ -- бва®Ј® ¬®®в® п $[c,d]$ дгЄжЁп.
ЋЎа §гҐ¬ б«®¦го дгЄжЁо $p(v)=x(u(v))$ Ё ўлзЁб«Ё¬ ҐҐ Їа®Ё§ў®¤го
ў в®зЄҐ $v\in (c,d)$. Џ® Їа ўЁ«г ¤ЁддҐаҐжЁа®ў Ёп б«®¦®© дгЄжЁЁ
$$\frac{d\bigl(p(v)\bigr)}{dv}=\frac{d\bigl(x(u(v))\bigr)}{dv}=
\left.\frac{d\bigl(x(t)\bigr)}{dt}\right|_{t=u(v)}\cdot
\frac{d\bigl(u(v)\bigr)}{dv}.$$ Ђ «®ЈЁз п д®а¬г« бЇа ўҐ¤«Ёў Ё
¤«п дгЄжЁЁ $q(v)=y(u(v))$. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬,
$$\left.\sqrt{\left(\frac{d\bigl(x(t)\bigr)}{dt}\right)^2
+\left(\frac{d\bigl(y(t)\bigr)}{dt}\right)^2}\right|_{t=u(v)}=
\sqrt{\left(\frac{d\bigl(p(v)\bigr)}{dv}\right)^2
+\left(\frac{d\bigl(q(v)\bigr)}{dv}\right)^2}\cdot
\left|\frac{d\bigl(u(v)\bigr)}{dv}\right|^{-1}.$$ …б«Ё $c$ Ё $d$
а бЇ®«®¦Ґл ¤агЈ ®в®бЁвҐ«м® ¤агЈ в Є¦Ґ Є Є Ё $a$ ®в®бЁвҐ«м®
$b$ ( ЇаЁ¬Ґа, $c<d$ Ё ®¤®ўаҐ¬Ґ® $a<b$), в®, ў бЁ«г
¬®®в®®бвЁ $u(\cdot)$, $$\frac{d\bigl(u(v)\bigr)}{dv}>0, \quad
u\in[c,d].$$ …б«Ё ¦Ґ а бЇ®«®¦ҐЁҐ нвЁе Ї а Їа®вЁў®Ї®«®¦®
( ЇаЁ¬Ґа, $c>d$ Ё $a<b$), в® нв Їа®Ё§ў®¤ п ўбо¤г ¬ҐмиҐ г«п.
Џ®н⮬г, ®Ў®§ з п бЁ¬ў®«®¬ $\int_{[c,d]}$ ЁвҐЈаЁа®ў ЁҐ Ї®
$[c,d]$ ®в ¬Ґм襣® § 票п аЈг¬Ґв Є Ў®«м襬㠨 ¤Ґ« п § ¬Ґг
ЇҐаҐ¬Ґ®© ў Їа ў®© з бвЁ (2), Ї®«гзЁ¬ (ЇаҐ¤Ї®« Ј Ґ¬, Є ЇаЁ¬Ґаг,
$a<b$): $$\int_a^b f(x(t),y(t)) \sqrt{{x'}^2(t)+{y'}^2(t)}\,dt=$$
$$=\int_c^d f(x(u(v)),y(u(v)))
\sqrt{\left(\frac{d\bigl(p(v)\bigr)}{dv}\right)^2
+\left(\frac{d\bigl(q(v)\bigr)}{dv}\right)^2}\cdot
\left|\frac{d\bigl(u(v)\bigr)}{dv}\right|^{-1}
\cdot\frac{d\bigl(u(v)\bigr)}{dv}\,dv=$$ $$=\int_{[c,d]}
f(x(u(v)),y(u(v)))
\sqrt{\left(\frac{d\bigl(g(v)\bigr)}{dv}\right)^2
+\left(\frac{d\bigl(h(v)\bigr)}{dv}\right)^2}\,dv.$$ ’®з® в Є¦Ґ
а §ЎЁа Ґвбп б«гз © $a>b$. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬,
$$\int_{[a,b]}f(x(t),y(t))\sqrt{{x'}^2(t)+{y'}^2(t)}\,dt=
\int_{[c,d]} f(p(v),q(v))\sqrt{{g'}^2(v)+{h'}^2(v)}\,dv, \quad
(3)$$ Ё, Є Є Ўл ¬л Ё § ¤ ў «Ё ЄаЁўго $\gamma$, -- ў ўЁ¤Ґ $(1)$
Ё«Ё Є Є $$\gamma=\{(p(v),q(v))\ |\ v\in [c,d]\},$$ Їа ў п з бвм
(2) Ґ ¬ҐпҐв бў®ҐЈ® § 票п (3). ‚ н⮬ Ё б®бв®Ёв Ґ§ ўЁбЁ¬®бвм
ЁвҐЈа « ЇҐаў®Ј® த ®в ўлЎ®а Ї а ¬ҐваЁ§ жЁЁ Ё бЇ®б®Ў ҐЈ®
§ ЇЁбЁ $$\int_{\gamma}f(x,y)\,ds.$$ „«п ЄаЁў®«ЁҐ©®Ј® ЁвҐЈа «
ўв®а®Ј® த , б®Ј« б® ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁо, ў ¦®Ґ § 票Ґ Ё¬ҐҐв Ї®а冷Є
Їа®е®¦¤ҐЁп ўҐаиЁ $A$ Ё $B$: $$\int_{AB}f(x,y)\,dx=
\int_a^bf(x(t),y(t))x'(t)\,dt= \int_c^d f(x(u(v)),y(u(v)))
\frac{d\bigl(g(v)\bigr)}{dv}
\left(\frac{d\bigl(u(v)\bigr)}{dv}\right)^{-1}
\frac{d\bigl(u(v)\bigr)}{dv}\,dv=$$ $$=\int_c^d f(p(v),q(v))
g'(v)\,dv$$ Ё, ў ⮦Ґ ўаҐ¬п, $$\int_{BA}f(x,y)\,dx=
\int_b^af(x(t),y(t))x'(t)\,dt= \int_d^c f(p(v),q(v)) g'(v)\,dv=
-\int_{AB}f(x,y)\,dx.$$ ’®з® в Є¦Ґ $$\int_{AB}g(x,y)\,dy=
-\int_{BA}g(x,y)\,dy$$ Ё, § зЁв,
$$\int_{{AB}}f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy=-
\int_{{BA}}f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy.$$ ’ Є¦Ґ Є Є Ё ЁвҐЈа «л ЇҐаў®Ј®
த , ЁвҐЈа «л ўв®а®Ј® த Ґ ¬Ґпов бў®ҐЈ® § зҐЁп ЇаЁ
ЇҐаҐЇ а ¬ҐваЁ§ жЁпе, б®еа пойЁе Ї®а冷Є Їа®е®¦¤ҐЁп ўҐаиЁ $A$ Ё
$B$.
Џгбвм ⥯Ґам ЄаЁў п $\gamma\subset\mathbb{R}^2$ б®бв®Ёв Ё§
ҐбЄ®«мЄЁе з б⥩ а бᬮв८Ј® ўЁ¤ :
$$\gamma=\cup_{i=1}^n\gamma_i,\quad \gamma_i=\{(x_i(t),y_i(t))\ |\
t\in [a_i,b_i]\},\eqno (4)$$ ЇаЁзҐ¬ $x_i(\cdot)$, $y_i(\cdot)\in
C[a_i,b_i]\cap C^1(a_i,b_i)$ Ё ЇаЁ ўбҐе $i$
$${x'}_i^2(t)+{y'}_i^2(t)>0,\quad t\in (a_i,b_i),$$ Їгбвм Є Є Ё
ЇаҐ¦¤Ґ а §л¬ § зҐЁп¬ Ї а ¬Ґва $t_1\in(a_i,b_i)$,
$t_2\in(a_k,b_k)$ ᮮ⢥вбвўгов а §лҐ в®зЄЁ
$(x_i(t_1),y_i(t_1))$, $(x_k(t_2),y_k(t_2))$ ЄаЁў®© $\gamma$.
‘®ў®ЄгЇ®бвм в ЄЁе ЄаЁўле Ўг¤Ґ¬ ®Ў®§ з вм § Є®¬ $\mathcal{A}_2$.
ЋЎ®§ зЁ¬ $A_i=(x_i(a_i),y_i(a_i))$, $B_i=(x_i(b_i),y_i(b_i))$,
$i=1,\dots, n$. ќвЁ в®зЄЁ Ўг¤Ґ¬ §лў вм 㧫 ¬Ё ЄаЁў®© $\gamma$.
…б«Ё $f(\cdot)$, $g(\cdot)\in C(\gamma)$ -- ¤ў
¤Ґ©б⢨⥫쮧 зле ҐЇаҐалўле ®в®Ўа ¦ҐЁп, в® Ї® ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁо
$$\int_{\gamma}f\,ds=\sum_{i=1}^n\int_{\gamma_i}f\,ds,\eqno (5)$$
$$\int_{\gamma}f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy=
\sum_{i=1}^n\int_{A_i,B_i}f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy.\eqno (5')$$
ЉаЁўго $(4)$ Ўг¤Ґ¬ §лў вм § ¬Єгв®©, Ґб«Ё $B_1=A_2$,
$B_2=A_3$,\dots $B_{n-1}=A_n$ Ё $B_n=A_1$.
ђ бб¬ ваЁў ов в Є¦Ґ ЄаЁў®«ЁҐ©лҐ ЁвҐЈа «л ¤«п § ¤ ле
Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁ Їа®бва б⢥ле ЄаЁўле
$$\gamma=\{(x(t),y(t),z(t))\ |\ t\in [a,b]\},\quad
A=(x(a),y(a),z(a)),\quad B=(x(b),y(b),z(b)).$$ “б«®ўЁҐ
Ґўл஦¤Ґ®бвЁ ¤«п в ЄЁе ЄаЁўле § ЇЁблў ов в Є:
$${x'}^2(t)+{y'}^2(t)+{z'}^2(t)>0,\quad t\in (a,b).$$ Љ Є Ё ЇаҐ¦¤Ґ
бзЁв Ґ¬, зв® а §л¬ § зҐЁп¬ Ї а ¬Ґва $t\in(a,b)$ ᮮ⢥вбвўгов
а §лҐ в®зЄЁ $(x(t),y(t),z(t))$, б®бв ў«пойЁҐ ЄаЁўго $\gamma$.
ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁп (2), $(2')$ ЇаЁ®ЎаҐв ов ўЁ¤
$$\int_{\gamma}f(x,y,z)\,ds=
\int_{[a,b]}f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{{x'}^2(t)+{y'}^2(t)+{z'}^2(t)}\,dt,$$
$$\int_{AB}f(x,y,z)\,dx+g(x,y,z)\,dy+h(x,y,z)\,dz=
\int_a^b(f(t)x'(t)+g(t)y'(t)+h(t)z'(t))\,dt,$$ Ј¤Ґ
$f(t)=f(x(t),y(t),z(t))$ Ё в.¤. ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁп (5), $(5')$
ЇҐаҐ®бЁвбп ЎҐ§ Ё§¬ҐҐЁ© (Є« бб ЄаЁўле, пў«пойЁебп «®Ј®¬
$\mathcal{A}_2$, Ўг¤Ґ¬ ®Ў®§ з вм $\mathcal{A}_3$). ’ Є¦Ґ Є Є Ё
¤«п б«гз п ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґле, ЁвҐЈа « ЇҐаў®Ј® த Ї®
Їа®бва бвўҐл¬ ЄаЁўл¬ Ґ § ўЁбЁв ®в ўлЎ®а Ї а ¬ҐваЁ§ жЁЁ,
ЁвҐЈа « ўв®а®Ј® த § ўЁбЁв ®в ®аЁҐв жЁЁ Їа®бва б⢥®©
ЄаЁў®© (в.Ґ. ®в ўлЎ®а з «м®© Ё Є®Ґз®© в®зЄЁ нв®© ЄаЁў®©):
$$\int_{AB}f(x,y,z)\,dx+g(x,y,z)\,dy+h(x,y,z)\,dz=
-\int_{BA}f(x,y,z)\,dx+g(x,y,z)\,dy+h(x,y,z)\,dz.$$ „«п б®Єа 饨п
§ ЇЁбҐ© ўбҐ ¤ «мҐ©иЁҐ а бᬮваҐЁп Ўг¤гв ¤Ґ« вмбп ¤«п Ї«®бЄЁе
ЄаЁўле, ® ®Ё Ё¬Ґов ҐбвҐбвўҐлҐ «®ЈЁ ¤«п ЁвҐЈа «®ў Ї®
Їа®бва бвўҐл¬ ЄаЁўл¬.
1. Џгбвм ЄаЁў п $\gamma$ § ¤ га ўҐЁҐ¬ $y=y(x)$, $x\in[a,b]$,
$y(\cdot)\in C^1[a,b]$. ќв® ®§ з Ґв, зв® $\gamma=\{(t,y(t))\ |\
t\in [a,b]\}$. ‚ н⮬ б«гз Ґ (2), $(2')$ ЇаҐўа й овбп ў
$$\int_{\gamma}f(x,y)\,ds=
\int_a^bf(t,y(t))\sqrt{1+{y'}^2(t)}\,dt,$$
$$\int_{{AB}}f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy=
\int_a^b(f(t,y(t))+g(t,y(t))y'(t))\,dt.$$
2. ‘ў®©бвў ЄаЁў®«ЁҐ©ле ЁвҐЈа «®ў:\\ ) ¤¤ЁвЁў®бвм (Ї®
®Ў« бвЁ ЁвҐЈаЁа®ў Ёп): Їгбвм ЄаЁўлҐ $\gamma_1$, $\gamma_2\in
\mathcal{A}_2$ Ё«Ё Ґ Ё¬Ґов ®ЎйЁе в®зҐЄ, Ё«Ё ®ЎйЁҐ в®зЄЁ нвЁе
ЄаЁўле Ї®Ї ¤ ов Ёе 㧫л. ’®Ј¤ $\gamma_1\cup\,\gamma_2\in
\mathcal{A}_2$ Ё $$\int_{\gamma_1\cup\,\gamma_2}
f\,ds=\int_{\gamma_1} f\,ds+\int_{\gamma_2} f\,ds,\quad f\in
C(\gamma_1\cup\,\gamma_2),$$ $$\int_{\gamma_1\cup\,\gamma_2}
f\,dx+g\,dy=\int_{\gamma_1}f\,dx+g\,dy + \int_{\gamma_2}
f\,dx+g\,dy,\quad f,g\in C(\gamma_1\cup\,\gamma_2),$$ Ў)
«ЁҐ©®бвм (Ї® ЁвҐЈаЁагҐ¬л¬ дгЄжЁп¬): Ґб«Ё $\gamma\in
\mathcal{A}_2$, $\ f_1,f_2,g_1,g_2\in C(\gamma)$,
$a,b\in\mathbb{R}$, в® $$\int_{\gamma}(af_1+bf_2)\,ds=a
\int_{\gamma}f_1\,ds+b\int_{\gamma}f_2\,ds,$$ $$\int_{\gamma}
(af_1+bf_2)\,dx+(ag_1+bg_2)\,dy= a\int_{\gamma}f_1\,dx+g_1\,dy
+b\int_{\gamma}f_2\,dx+g_2\,dy,$$ ў) Ї®«®¦ЁвҐ«м®бвм (Ї®
ЁвҐЈаЁагҐ¬л¬ дгЄжЁп¬): Їгбвм $\gamma\in \mathcal{A}_2$, $\
f_1,f_2\in C(\gamma)$. ’®Ј¤ $$\int_{\gamma}f_1\,ds\leqslant
\int_{\gamma}f_2\,ds,$$ Ґб«Ё $f_1(w)\leqslant f_2(w)$ ЇаЁ Є ¦¤®¬
$w\in\gamma$. „«п ЁвҐЈа «®ў ўв®а®Ј® த «®ЈЁз®Ґ бў®©бвў®,
ў®®ЎйҐ Ј®ў®ап, Ґ ўлЇ®«пҐвбп.
„®Є § ⥫мбвў® нвЁе бў®©бвў Їа®ў®¤Ёвбп ®б®ўҐ ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁ© (2),
$(2')$, (5), $(5')$ Ё Ё§ўҐбвле бў®©бвў ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ®Ј® ЁвҐЈа « .
Џа®ўҐаЁ¬, Є ЇаЁ¬Ґаг, Ї®«®¦ЁвҐ«м®бвм ЁвҐЈа « , ®бв «млҐ бў®©бвў
гбв ў«Ёў овбп Ї® «®ЈЁЁ. Џгбвм б з « $\gamma$ -- ЄаЁў п ўЁ¤
(1). ’®Ј¤ Ї® (2) Ё бў®©бвў ¬ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ®Ј® ЁвҐЈа «
$$\int_{\gamma}f_1\,ds=\int_{[a,b]}f_1(x(t),y(t))
\sqrt{{x'}^2(t)+{y'}^2(t)}\,dt\leqslant\int_{[a,b]}f_2(x(t),y(t))
\sqrt{{x'}^2(t)+{y'}^2(t)}\,dt=\int_{\gamma}f_2\,ds$$ --
Ґа ўҐбвў® бЇа ўҐ¤«Ёў®. …б«Ё ¦Ґ ЄаЁў п $\gamma$ б®бв®Ёв Ё§
ҐбЄ®«мЄЁе гз бвЄ®ў а бᬮв८Ј® ўЁ¤
($\gamma=\cup_{i=1}^n\gamma_i$), в® Ї® (5) Ё в®«мЄ® зв®
гбв ®ў«Ґ®¬г Ґа ўҐбвўг
$$\int_{\gamma}f_1\,ds=\sum_{i=1}^n\int_{\gamma_i}f_1\,ds\leqslant
\sum_{i=1}^n\int_{\gamma_i}f_2\,ds =\int_{\gamma}f_2\,ds.$$ Ј)
…б«Ё $f(\cdot)$ -- дгЄжЁп ⮦¤Ґб⢥® а ў п 1 (в.Ґ. а ў п 1
ЇаЁ ўбҐе § 票пе аЈг¬Ґв ), в® $$l(\gamma)=\int_{\gamma}f\,ds=
\int_{\gamma}\,ds$$ §лў ов ¤«Ё®© ЄаЁў®© $\gamma$.\\ ¤)
(б«Ґ¤бвўЁҐ ў)) Џгбвм $m\leqslant f(w)\leqslant M$ ¤«п Є ¦¤®© в®зЄЁ
$w\in\gamma$. ’®Ј¤ $$m\cdot l(\gamma)\leqslant
\int_{\gamma}f\,ds\leqslant M\cdot l(\gamma),\quad
|\int_{\gamma}f\,ds|\leqslant\int_{\gamma}|f|\,ds.$$ ЏаЁ
а бᬮв२Ё § ¤ з, бўп§ ле б ЁвҐЈаЁа®ў ЁҐ¬ дгЄжЁ© ҐбЄ®«мЄЁе
ЇҐаҐ¬Ґле, б«®¦Ё« бм ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ п вҐа¬Ё®«®ЈЁп. „ ¤Ё¬ ҐЄ®в®алҐ
®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁп. Џгбвм $T\in\mathcal{T}_2$ (Ё«Ё $T\in\mathcal{T}_3$),
$M=(x,y)\in T$ -- в®зЄ ®Ў« бвЁ $T$ (Ё«Ё $M=(x,y,z)$). ’®Ј¤
ўбпЄго дгЄжЁо $f(\cdot):T\to\mathbb{R}$ §лў ов ҐйҐ бЄ «пал¬
Ї®«Ґ¬, § ¤ л¬ ®Ў« бвЁ $T$. ‡ 票п нв®Ј® Ї®«п ў в®зЄ е $M\in
T$ § ЇЁблў ов Є Є $f(M)$. …б«Ё $T\in\mathcal{T}_2$, $f(\cdot)$,
$g(\cdot):T\to\mathbb{R}$, Ї аг $a(\cdot)=(f(\cdot),g(\cdot))$
§лў ов ўҐЄв®ал¬ Ї®«Ґ¬, § ¤ л¬ ®Ў« бвЁ $T$. …б«Ё
$T\in\mathcal{T}_3$, ўҐЄв®ал¬ Ї®«Ґ¬ $a(\cdot)$, § ¤ л¬ $T$,
§лў ов ва®©Єг бЄ «пале Ї®«Ґ© $T$:
$a(\cdot)=(f(\cdot),g(\cdot),h(\cdot))$. ‡ 票п нвЁе Ї®«Ґ© ў
в®зЄ е $M\in T$ § ЇЁблў ов Є Є $a(M)$. Ѓг¤Ґ¬ § ЇЁблў вм
$f(\cdot)\in C^1(T)$, Ґб«Ё бЄ «п஥ Ї®«Ґ $f(\cdot)$ Ё ҐЈ® з бвлҐ
Їа®Ё§ў®¤лҐ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґл Ё ҐЇаҐалўл ў Є ¦¤®© в®зЄҐ $M\in T$. Ѓг¤Ґ¬
§ ЇЁблў вм $a(\cdot)\in C^1(T)$, Ґб«Ё Є®®а¤Ё вл нв®Ј® ўҐЄв®а®Ј®
Ї®«п $a=(a_x,a_y)$ (Ё«Ё $a=(a_x,a_y,a_z)$ ў ваҐе¬Ґа®¬ б«гз Ґ)
ЇаЁ ¤«Ґ¦ в Є« ббг $C^1(T)$. Џгбвм $f(\cdot)\in C^1(T)$ --
бЄ «п஥ Ї®«Ґ. ѓа ¤ЁҐв®¬ $f(\cdot)$ §лў ов ўҐЄв®а®Ґ Ї®«Ґ
${\rm grad}\,f$, Є®¬Ї®Ґвл Є®в®а®Ј® -- з бвлҐ Їа®Ё§ў®¤лҐ
$f(\cdot)$: $${\rm grad}\,f=\left(\frac{\partial f}{\partial
x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)\quad ({\rm Ё«Ё}\ {\rm
grad}\,f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial
f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)).$$ Џгбвм
⥯Ґам $\gamma$ -- Ї«®бЄ п Ё«Ё Їа®бва б⢥ п § ¬Єгв п ЄаЁў п
ўЁ¤ (4), $a(\cdot)\in C(\gamma)$ -- ҐЇаҐалў®Ґ ўҐЄв®а®Ґ Ї®«Ґ
$\gamma$. €вҐЈа « (¤«п Ї«®бЄ®© ЄаЁў®© $a_z(M)=0$)
$$\int_{\gamma}a_x\,dx+a_y\,dy+a_z\,dz$$ §лў Ґвбп жЁаЄг«пжЁҐ©
ўҐЄв®а®Ј® Ї®«п $a(\cdot)$ Ї® ЄаЁў®© $\gamma$. Ћ в Є¦Ґ Є®а®вЄ®
®Ў®§ з Ґвбп $$\int_{\gamma}a\cdot dr,$$ Ј¤Ґ $dr=(dx,dy,dz)$,
$a\cdot dr$ -- бЄ «п஥ Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁҐ ўҐЄв®а®ў (ў Ї«®бЄ®¬ б«гз Ґ
-- ўбҐ ўҐЄв®а ¤ўг¬ҐалҐ). Ћв¬ҐвЁ¬ ҐйҐ бўп§м ¬Ґ¦¤г а бᬮваҐл¬Ё
ЄаЁў®«ЁҐ©л¬Ё ЁвҐЈа « ¬Ё. Џгбвм $$\gamma=\{(x(t),y(t))\ |\ t\in
[a,b]\}$$ -- Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ЇаҐ¤бв ў«ҐЁҐ ЄаЁў®© $\gamma$
Ї«®бЄ®бвЁ ($x,y\in C^1(a,b)$). ‚ҐЄв®а $(x'(t),y'(t))$, $t\in
(a,b)$, ҐбвҐб⢥® §ў вм Їа ў«ҐЁҐ¬ Є б ⥫쮩 Їаאַ©,
Їа®ўҐ¤Ґ®© ў в®зЄҐ $(x(t),y(t))$, Є Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁ § ¤ ®©
ЄаЁў®© $\gamma$ (Ї®пᥨҐ: ўҐЄв®а $(x'(t),y'(t))$ ®в«®¦Ґ ®в
з « Є®®а¤Ё в. ‘ ҐЈ® Ї®¬®ймо Є б ⥫м п Є $\gamma$ ў в®зЄҐ
$t\in (a,b)$ § ¤ Ґвбп Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁ: $$X(s)=x(t)+s\cdot
x'(t),\quad Y(s)=y(t)+s\cdot y'(t), \quad s\in\mathbb{R}.)$$ ЏаЁ
а §«Ёзле ЇҐаҐЇ а ¬ҐваЁ§ жЁпе Їа ў«пойЁҐ ўҐЄв®а , ®в®бпйЁҐбп Є
®¤®© Ё в®© ¦Ґ в®зЄҐ ЄаЁў®© $\gamma$, ¬®Јгв Ё§¬ҐЁвмбп Ї® ¤«ЁҐ
Ё«Ё Ё§¬ҐЁвм Їа ў«ҐЁҐ Їа®вЁў®Ї®«®¦®Ґ. „агЈЁ¬Ё б«®ў ¬Ё в ЄЁҐ
Їа ў«пойЁҐ ўҐЄв®а ўбҐЈ¤ «Ґ¦ в ®¤®© Їаאַ© (Ї а ««Ґ«м®©
Є б ⥫쮩 Ё Їа®е®¤п饩 зҐаҐ§ з «® Є®®а¤Ё в), ЇаЁзҐ¬, ў бЁ«г
иЁе Ёб室ле ЇаҐ¤Ї®«®¦ҐЁ© ® Ї а ¬ҐваЁ§ жЁЁ ЄаЁў®© $\gamma$, Ё
®¤Ё Ё§ Є б ⥫мле ўҐЄв®а®ў Ґ а ўҐ г«Ґў®¬г ўҐЄв®аг. Љ®®а¤Ё вл
®а¬Ёа®ў ®Ј® ўҐЄв®а
$$\left(\frac{x'(t)}{\sqrt{{x'}^2(t)+{y'}^2(t)}},
\frac{y'(t)}{\sqrt{{x'}^2(t)+{y'}^2(t)}}\right)=
(\cos\alpha,\sin\alpha)=(\cos\alpha,\cos\beta),\quad
\alpha=\alpha(t),$$ $\beta=\pi/2-\alpha$, §лў ов Їа ў«пойЁ¬Ё
Є®бЁгб ¬Ё Є б ⥫쮩. ‚ᥠнвЁ ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁп ҐбвҐбвўҐл¬ ®Ўа §®¬
ЇҐаҐ®бпвбп ®ЎйЁҐ ЄаЁўлҐ $\gamma\in\mathcal{A}_2$, в Є¦Ґ
Їа®бва бвўҐлҐ ЄаЁўлҐ $\gamma\in\mathcal{A}_3$. ’ Є Є®®а¤Ё вл
ўҐЄв®а
$$\left(\frac{x'(t)}{\sqrt{{x'}^2(t)+{y'}^2(t)+{z'}^2(t)}},
\frac{y'(t)}{\sqrt{{x'}^2(t)+{y'}^2(t)+{z'}^2(t)}},
\frac{z'(t)}{\sqrt{{x'}^2(t)+{y'}^2(t)+{z'}^2(t)}}\right)=
(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\delta)$$ §лў ов Їа ў«пойЁ¬Ё
Є®бЁгб ¬Ё Є б ⥫쮩 Є Їа®бва б⢥®© ЄаЁў®©
$$\gamma=\{(x(t),y(t),z(t))\ |\ t\in [a,b]\},$$ ўлзЁб«Ґл¬Ё ў
в®зЄҐ $t\in (a,b)$. ‚ а бᬮваҐле вҐа¬Ё е ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ
ЄаЁў®«ЁҐ©®Ј® ЁвҐЈа « ўв®а®Ј® த Ї® Їа®бва б⢥®© ЄаЁў®©
$AB$ ¬®¦Ґв Ўлвм ᤥ« ® б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬. Џгбвм $a=(f,g,h)$ --
ҐЇаҐалў®Ґ ўҐЄв®а®Ґ Ї®«Ґ ў¤®«м ЄаЁў®© $AB$, $dr=(dx,dy,dz)$,
Їгбвм $\tau=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\delta)$ -- Їа ў«пойЁҐ
Є®бЁгбл Є б ⥫쮩 Є нв®© ЄаЁў®©. ’®Ј¤ $$\int_{AB}a\cdot
dr=\int_{AB}a\cdot\tau \,ds,$$ Ј¤Ґ
$a\cdot\tau=f\cos\alpha+g\cos\beta+h\cos\delta$ -- бЄ «п஥
Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁҐ ўҐЄв®а®ў.\\ „ «мҐ©иЁҐ Ї®бв஥Ёп ®в®бпвбп Є «®Јг
д®а¬г«л Ќмов® -‹Ґ©ЎЁж ¤«п ¤ў®©®Ј® ЁвҐЈа « . Џгбвм
$T\in\mathcal{T}_2$ Ё¬ҐҐв ўЁ¤ $T=Y(\varphi,\psi)$ б Ј« ¤ЄЁ¬Ё
дгЄжЁп¬Ё $\varphi,\psi\in C^1(a,b)$, 㤮ў«Ґвў®апойЁ¬Ё
Ґа ўҐбвў ¬ $$\varphi(t)<\psi(t),\quad t\in (a,b),\quad a<b.$$
ѓа ЁжҐ© $\partial T$ ¬®¦Ґбвў $T$, Ўг¤Ґ¬ §лў вм § ¬Єгвго
ЄаЁўго, ®Є ©¬«пойго $T$ Ё б®бв®пйго Ё§ Ґ Ў®«ҐҐ, 祬 зҐвлаҐе
гз бвЄ®ў. ќвЁ гз бвЄЁ § ¤ овбп Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁ Ї® Їа ўЁ« ¬:
1. $\gamma_1$ ®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп Ў®а®¬ $x_1(t)=t$,
$y_1(t)=\varphi(t)$,\quad $t\in[a,b]$,
2. Ґб«Ё $\varphi(b)=\psi(b)$, в® бзЁв Ґ¬, зв® $\gamma_2$
®вбгвбвўгҐв, Ґб«Ё ¦Ґ $\varphi(b)<\psi(b)$, в® $\gamma_2$
®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп Ў®а®¬ $x_2(t)=b$, $y_2(t)=t$,\quad
$t\in[\varphi(b),\psi(b)]$,
3. зв®Ўл ®ЎҐбЇҐзЁвм Ї®бв㯠⥫쮥 ¤ўЁ¦ҐЁҐ Ї® д®а¬Ёа㥬®¬г
Є®вгаг, гз бв®Є $\gamma_3$ Ї а ¬ҐваЁ§гов б«Ґ¤гойЁ¬ Ў®а®¬:
$x_3(t)=t$, $y_3(t)=\psi(t)$,\quad $t\in[b,a]$,
4. Ґб«Ё $\varphi(a)=\psi(a)$, в® бзЁв Ґ¬, зв® $\gamma_4$
®вбгвбвўгҐв, Ґб«Ё ¦Ґ $\varphi(a)<\psi(a)$, в® $\gamma_4$
®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп Ў®а®¬ $x_4(t)=a$, $y_4(t)=t$,\quad
$t\in[\psi(a),\varphi(a)]$.
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, бд®а¬Ёа®ў «Ёбм г§«л Є®вга $\partial T$ Ё Ї®а冷Є
Ёе Їа®е®¦¤ҐЁп: $B_1=A_2=(b,\varphi(b))$, $B_2=A_3=(b,\psi(b))$,
$B_3=A_4=(a,\psi(a))$, $B_4=A_1=(a,\varphi(a))$. …б«Ё ®¤Ё Ё«Ё ®Ў
Ё§ гз бвЄ®ў $\gamma_2$, $\gamma_4$ ®вбгвбвўгҐв, в® ҐЄ®в®алҐ Ё§
нвЁе 㧫®ў б«Ёў овбп ў ®¤Ё.
‚лЎа л© Ї®а冷Є ®Ўе®¤ Є®вга $\partial T^+=
\{A_1,A_2,A_3,A_4,A_1\}$ §лў ов ҐйҐ ®Ўе®¤®¬ ў Ї®«®¦ЁвҐ«м®¬
Їа ў«ҐЁЁ Ё«Ё ®Ўе®¤®¬ Їа®вЁў з б®ў®© бв५ЄЁ. Ћ е а ЄвҐаЁ§гҐвбп
⥬, зв® ЇаЁ гЄ § ®¬ ¤ўЁ¦ҐЁЁ ў¤®«м $\partial T$, ®Ў« бвм $T$
®бв Ґвбп б«Ґў ®в "®Ўе®¤зЁЄ ". ЉаЁўго $\partial T^+$, ЇаЁ н⮬,
§лў ов Ї®«®¦ЁвҐ«м® ®аЁҐвЁа®ў ®©, нвг ¦Ґ ЄаЁўго, ®
Їа®е®¤Ё¬го ў ®Ўа ⮬ Їа ў«ҐЁЁ ®Ў®§ з ов $\partial T^-$ Ё
§лў ов ®ваЁж вҐ«м® ®аЁҐвЁа®ў ®©.
Ћв¬ҐвЁ¬ §¤Ґбм ҐйҐ Ґўл஦¤Ґ®бвм ўлЎа ®© Ї а ¬ҐваЁ§ жЁЁ Є®вга
$\partial T^+$:\\ 1. ў б«гз Ґ $\gamma_1$ ўлЇ®«пҐвбп
$(t')^2+(\varphi'(t))^2=1+(\varphi'(t))^2>0$,\\ 2. Ґб«Ё $\gamma_2$
ЇаЁбгвбвўгҐв, в® $(b')^2+(t')^2=0+1>0$ Ё в.¤.
Џгбвм ⥯Ґам $g\in C(T)$ ®Ў« ¤ Ґв ҐЇаҐалў®© з бв®© Їа®Ё§ў®¤®©
Ї® ЇҐаҐ¬Ґ®© $y$ ў ®Ў« бвЁ $T$: $\frac{\partial g}{\partial y}\in
C(T)$. ЏаҐ®Ўа §гҐ¬ ўла ¦ҐЁҐ $$\int\!\!\int_T\frac{\partial g}
{\partial y}\,dx\,dy= \int_a^b\left( \int_{\varphi(x)}
^{\psi(x)}\frac{\partial g} {\partial y}\,dy\right)dx=
\int_a^b\bigl( g(x,\psi(x))-g(x,\varphi(x))\bigr)dx= \int_a^b
g(t,\psi(t))t'\,dt-$$
$$-\int_a^bg(t,\varphi(t))t'\,dt=\int_{B_3A_3}g(x,y)\,dx-
\int_{A_1B_1}g(x,y)\,dx=-\int_{A_4B_4}g(x,y)\,dx-$$
$$-\int_{A_3B_3}g(x,y)\,dx -\int_{A_2B_2}g(x,y)\,dx-
\int_{A_1B_1}g(x,y)\,dx=-\int_{\partial T^+}g(x,y)\,dx.$$ Џ® 室г
ЇаҐ®Ўа §®ў Ё© ¬л ў®бЇ®«м§®ў «Ёбм а ўҐбвў ¬Ё
$$\int_{A_4B_4}g(x,y)\,dx=\int_{\psi(a)}^{\varphi(a)}
g(a,t)a'\,dt= 0,\quad \int_{A_2B_2}g(x,y)\,dx=0,$$ -- ў б«гз Ґ,
Є®Ј¤ ®¤®Ј® Ё«Ё ®Ў®Ёе Ё§ нвЁе гз бвЄ®ў $\gamma^+$ Ґв, в®
ᮮ⢥вбвўгойЁҐ Ё¬ б« Ј Ґ¬лҐ, Ї® ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁо, бзЁв Ґ¬ а ўл¬Ё
г«о. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ®Є®з ⥫м п д®а¬г« Ё¬ҐҐв ўЁ¤
$$\int\!\!\int_T\frac{\partial g} {\partial
y}\,dx\,dy=-\int_{\partial T^+}g(x,y)\,dx.\eqno (6)$$ Џгбвм ⥯Ґам
$T\in\mathcal{T}_2$ Ё¬ҐҐв Ў®«ҐҐ б«®¦го бвагЄвгаг:
$$T=\bigcup_{i=1}^nT_i,\quad \widehat{T}_i\cap
\widehat{T}_j=\emptyset, i\ne j,$$ Ё Є ¦¤®Ґ Ё§ $T_i$ Ё¬ҐҐв ўЁ¤
$Y(\varphi_i,\psi_i)$ б Ј« ¤ЄЁ¬Ё дгЄжЁп¬Ё $\varphi_i,\psi_i\in
C^1(a_i,b_i)$ бў®Ё¬Ё ¤«п Є ¦¤®Ј® $i$ Ё 㤮ў«Ґвў®апойЁ¬Ё
Ґа ўҐбвў ¬ $$\varphi_i(t)<\psi_i(t),\quad t\in (a_i,b_i),\quad
a_i<b_i,\quad i=1,\dots, n.$$ ‘д®а¬г«Ёа㥬 ҐйҐ ®¤® ®Ја ЁзҐЁҐ
бвагЄвгаг $T$. „«п нв®Ј® ®Ўа §гҐ¬ ¬®¦Ґбвў® $\partial T$ Ё Ўг¤Ґ¬
§лў вм ҐЈ® Ја ЁжҐ© $T$ Ї® б«Ґ¤гойҐ¬г Їа ўЁ«г: Їгбвм $\partial
T_i^+$ -- Ја Ёжл ¬®¦Ґбвў $T_i$, $i\in\{1,\dots, n \}$,
®аЁҐвЁа®ў лҐ Їа®вЁў з б®ў®© бв५ЄЁ. ’®Ј¤ $(x,y)\in\partial
T$, Ґб«Ё $(x,y)\in\partial T_i$ ў в®з®бвЁ ¤«п ®¤®Ј® Ё§
$i\in\{1,\dots, n \}$. (—Ёв о饬г ४®¬Ґ¤гҐвбп ᤥ« вм ҐбЄ®«мЄ®
аЁбгЄ®ў ў®§¬®¦®Ј® бв஥Ёп $T$ Ё $\partial T$ ¤«п $n=2$ Ё
$n=3$.) ЋЈа ЁзҐЁҐ б®бв®Ёв ў ⮬, зв® ¬®¦Ґбвў® $\partial T$,
Є®в®а®Ґ ў®®ЎйҐ Ј®ў®ап ¬®¦Ґв Ўлвм гбв஥® ¤®бв в®з® б«®¦®,
Ї®¤а §¤Ґ«пҐвбп Є®Ґз®Ґ зЁб«® ҐЇҐаҐбҐЄ ойЁебп ®в१Є®ў,
Ї®«г®в१Є®ў, ЁвҐаў «®ў Ё ЄаЁўле ўЁ¤ $\{(t,\varphi(t))\ |\
t\in(a,b)\}$. ‚ᥠЇҐаҐзЁб«ҐлҐ н«Ґ¬Ґвл, Є®Ґз®, ЇаЁ н⮬
пў«повбп з бвп¬Ё в®© Ё«Ё Ё®© $\partial T_i$, $i\in\{1,\dots, n
\}$, Ёе ®аЁҐв жЁп Ё Ї а ¬ҐваЁ§ жЁп ®¤®§ з® § ¤ овбп ўлЎ®а®¬
®аЁҐв жЁЁ Ё Ї а ¬ҐваЁ§ жЁЁ ᮮ⢥вбвўго饣® $\partial T_i$.
„®Ў ўЁ¬ Є $\partial T$ Ја ЁзлҐ в®зЄЁ ўбҐе нвЁе Ї®«г®в१Є®ў,
ЁвҐаў «®ў, в®зЄЁ ўЁ¤ $(a,\varphi(a))$, $(b,\varphi(b))$ Ё,
Ґб¬®вап в®, зв® ¬л Ґ¬®Ј® Ё§¬ҐЁ«Ё ¬®¦Ґбвў® $\partial T$,
б®еа Ё¬ § Ё§¬ҐҐл¬ §ў ЁҐ Ё ®Ў®§ 票Ґ. Њ®¦® Ї®Є § вм, зв®
$\partial T\in \mathcal{A}_2$ Ё зв® Ї®«гзҐ п ЄаЁў п Ґ § ўЁбЁв
®в Ёб室®Ј® бЇ®б®Ў а §¤Ґ«ҐЁп $T$ з бвЁ. ’ Є Є Є $$\partial
T\subset\bigcup_{i=1}^n\partial T_i,$$ в® Ї а ¬ҐваЁ§ жЁп Ё Ї®а冷Є
Їа®е®¦¤ҐЁп з б⥩ $\partial T$ Ї®«®бвмо ®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп
Ї а ¬ҐваЁ§ жЁп¬Ё Ё Ї®ап¤Є ¬Ё Їа®е®¦¤ҐЁп Ја Ёж $\partial T_i$.
Џ®«гзҐго ®аЁҐвЁа®ў го ЄаЁўго Ўг¤Ґ¬ ®Ў®§ з вм $\partial T^+$.
Ћ в Є¦Ґ ®Ў« ¤ Ґв ⥬ бў®©бвў®¬, зв® ЇаЁ ¤ўЁ¦ҐЁЁ ў¤®«м $\partial
T$ ў ўлЎа ®¬ Їа ў«ҐЁЁ ®Ў« бвм $T$ ®бв Ґвбп б«Ґў ®в
"®Ўе®¤зЁЄ ". Љ Є Ё ЇаҐ¦¤Ґ в Є®© ®Ўе®¤ Ја Ёжл ®Ў« бвЁ Ўг¤Ґ¬
§лў вм ®Ўе®¤®¬ ў Ї®«®¦ЁвҐ«м®¬ Їа ў«ҐЁЁ Ё«Ё ®Ўе®¤®¬ Їа®вЁў
з б®ў®© бв५ЄЁ. Џа®вЁў®Ї®«®¦л© ®Ўе®¤ §лў ов ®Ўе®¤®¬ ў
®ваЁж ⥫쮬 Їа ў«ҐЁЁ. ЋЄ §лў Ґвбп, ¤«п а бᬮв८Ј®
¬®¦Ґбвў $T$ Ё дгЄжЁ© $g$, $\frac{\partial g}{\partial y}\in
C(T)$ д®а¬г« (6) ®бв Ґвбп бЇа ўҐ¤«Ёў®©. (‡¤Ґбм ў®ўм
४®¬Ґ¤гҐвбп ᤥ« вм ҐбЄ®«мЄ® аЁбгЄ®ў ў®§¬®¦®Ј® бв஥Ёп $T$ Ё
$\partial T$ ¤«п $n=2$ Ё $n=3$.) Џ® бгвЁ ¤Ґ« Ё¬Ґ® нвг д®а¬г«г ў
ᤥ« ле ЇаҐ¤Ї®«®¦ҐЁпе ®в®бЁвҐ«м® $T$ Ё $g$ ¬®¦® §лў вм
д®а¬г«®© ѓаЁ . Ћ¤ Є® ҐҐ ЇаЁпв® § ЇЁблў вм ў ҐбЄ®«мЄ® Ў®«ҐҐ
бЁ¬¬ҐваЁз®¬ ўЁ¤Ґ. Ђ Ё¬Ґ®, Їгбвм ¬®¦Ґбвў® $T$, Ї®¬Ё¬®
а бᬮв८Ј®, ¤®ЇгбЄ Ґв Є®Ґз®Ґ а §«®¦ҐЁҐ ўЁ¤ $$T=\bigcup_j
S_j,\quad \widehat{S}_j\cap \widehat{S}_i=\emptyset, j\ne i,$$ Ё
Є ¦¤®Ґ Ё§ $S_j$ Ё¬ҐҐв ўЁ¤ $X(\varphi_j,\psi_j)$ б® ўбҐ¬Ё
Ї®б«Ґ¤гойЁ¬Ё ®Ја ЁзҐЁп¬Ё Ё ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁп¬Ё, ¤Ґ« ойЁ¬Ёбп Є Є Ё ўлиҐ
¤«п ¬®¦Ґбвў $Y(\varphi_j,\psi_j)$. ’®Ј¤ ҐйҐ ®¤® Ї®бв஥ЁҐ
$\partial T$ б®ўЇ ¤Ґв б 㦥 Ё¬ҐойЁ¬бп Ё б®ўЇ ¤гв Ї®«®¦ЁвҐ«млҐ
®аЁҐв жЁЁ нвЁе Ја Ёж. (‡ ¬Ґз ЁҐ: Ї а ¬ҐваЁ§ жЁЁ Є®вга
$\partial T$ ЇаЁ н⮬ ®Є ¦гвбп а §«Ёзл¬Ё, ®, Є Є 㦥 Ўл«®
®в¬ҐзҐ®, ЁвҐЈа « ўв®а®Ј® த , гз бвўгойЁ© ў (6), Ґзгўб⢨⥫Ґ
Є ЇҐаҐЇ а ¬ҐваЁ§ жЁп¬, б®еа пойЁ¬ ®аЁҐв жЁо ЄаЁўле.)
”®а¬г«®© ѓаЁ ¤«п дгЄжЁ© $f,g\in C(T)$, г Є®в®але бгйҐбвўгов
$\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial g}{\partial y}\in
C(T)$, ЇаЁпв® §лў вм а ўҐбвў®
$$\int\!\!\int_T\left(\frac{\partial f}{\partial x}
-\frac{\partial g} {\partial y}\right)\,dx\,dy=\int_{\partial
T^+}g(x,y)\,dx+f(x,y)\,dy.\eqno (7)$$ ђ §«ЁзЁҐ ў § Є е з б⥩
нв®© д®а¬г«л бўп§ ® б а §«ЁзЁҐ¬ ў Їа®е®¦¤ҐЁЁ Ја Ёжл $\partial
T^+$: ¤«п в®© з бвЁ д®а¬г«л, ў Є®в®а®© гз бвўгҐв дгЄжЁп $g$,
¤ўЁ¦ҐЁо ў Ї®«®¦ЁвҐ«м®¬ Їа ў«ҐЁЁ ᮮ⢥вбвўгҐв ¤ўЁ¦ҐЁҐ Ї®
"Ё¦Ґ©" (®в®бЁвҐ«м® Їа ў«ҐЁп $Oy$) з бвЁ $\partial T^+$,
ЇаЁў®¤п饥 Є 㢥«ЁзҐЁо Є®®а¤Ё вл $x$. Ђ ¤«п в®© з бвЁ, ў Є®в®а®©
гз бвўгҐв дгЄжЁп $f$, ¤ўЁ¦ҐЁо ў Ї®«®¦ЁвҐ«м®¬ Їа ў«ҐЁЁ
ᮮ⢥вбвўгҐв ¤ўЁ¦ҐЁҐ Ї® "Ё¦Ґ©" (®в®бЁвҐ«м® Їа ў«ҐЁп $Ox$)
з бвЁ $\partial T^+$, ЇаЁў®¤п饥 Є 㬥миҐЁо Є®®а¤Ё вл $г$. „«п
§ Ї®¬Ё Ёп д®а¬г«л (7) ¬®¦® ЁбЇ®«м§®ў вм ¬Ґ¬®ЁзҐбЄ®Ґ Їа ўЁ«®
$$\int\!\!\int_T\frac{\partial f}{\partial x}\,dx\wedge dy
+\frac{\partial g} {\partial y}\,dy\wedge dx=\int_{\partial
T^+}g(x,y)\,dx+f(x,y)\,dy,$$ Ј¤Ґ $dx\wedge dy$, $dy\wedge dx$ --
н«Ґ¬Ґвл ®аЁҐвЁа®ў ®Ј® ®ЎкҐ¬ (Ї«®й ¤Ё): $dx\wedge dy=-dy\wedge
dx= dx\,dy$. ‘д®а¬г«Ёа㥬 ҐйҐ а § ⥮६㠮 ᢥ¤ҐЁЁ ¤ў®©®Ј®
ЁвҐЈа « Є ЄаЁў®«ЁҐ©®¬г. ЏаЁ н⮬ Ўг¤Ґ¬ бзЁв вм ЁвгЁвЁў®
Ї®пвл¬ вҐа¬Ё $\partial T^+$ - Ја Ёж ¬®¦Ґбвў ’, Їа®е®¤Ё¬ п ў
Ї®«®¦ЁвҐ«м®¬ Їа ў«ҐЁЁ (в.Ґ. в Є, зв® ЇаЁ ¤ўЁ¦ҐЁЁ ў гЄ § ®¬
Їа ў«ҐЁЁ ¬®¦Ґбвў® $T$ ®бв Ґвбп б«Ґў ). Ѓг¤Ґ¬ бзЁв вм, зв® $T$
¬®¦Ґв Ўлвм а §¤Ґ«Ґ® Є®Ґз®Ґ зЁб«® ¬®¦Ґбвў ўЁ¤
$Y(\varphi,\psi)$, Ґ Ё¬ҐойЁе ®ЎйЁе ўгв२е в®зҐЄ Ё, Єа®¬Ґ
в®Ј®, ¬®¦Ґв Ўлвм а §¤Ґ«Ґ® Є®Ґз®Ґ зЁб«® ¬®¦Ґбвў ўЁ¤
$X(\varphi,\psi)$, в Є¦Ґ Ґ Ё¬ҐойЁе ®ЎйЁе ўгв२е в®зҐЄ (ўбо¤г
ЇаЁ в ЄЁе ¤Ґ«ҐЁпе $\varphi,\psi$ -- ҐЇаҐалў® ¤ЁддҐаҐжЁа㥬лҐ
дгЄжЁЁ).\\ ’Ґ®аҐ¬ (д®а¬г« ѓаЁ ): /$T\in\mathcal{T}_2$, \
$f,g\in C^1(T)$, \ $\partial T^+\in\mathcal{A}_2$/ $\Rightarrow$
$$\int\!\!\int_T\left(\frac{\partial f}{\partial x}
-\frac{\partial g} {\partial y}\right)\,dx\,dy=\int_{\partial
T^+}g(x,y)\,dx+f(x,y)\,dy.$$
Соседние файлы в папке РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ