ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ / LMA07

\section*{\it ‹ҐЄжЁп 7.}

\noindent{\bf ”®а¬г«  ’Ґ©«®а  б ®бв в®з­л¬ з«Ґ­®¬ ў д®а¬Ґ
‹ Ја ­¦ . ђ §«®¦Ґ­ЁҐ ®б­®ў­ле н«Ґ¬Ґ­в а­ле дг­ЄжЁ©.}

…б«Ё дг­ЄжЁп $f:(a,b)\to\RR$ ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬  ­  Ё­вҐаў «Ґ $(a,b)$,
в® ¬®¦­® а бᬮваҐвм ў®Їа®б ® бгйҐбвў®ў ­ЁЁ Їа®Ё§ў®¤­®© г ­®ў®©
дг­ЄжЁЁ $f':(a,b)\to\RR$. …б«Ё в Є п Їа®Ё§ў®¤­ п бгйҐбвўгҐв ў
в®зЄҐ $x_0\in (a,b)$, в® нв® ®Ў®§­ з ов в Є: $f\in D^2(x_0)$.
ЋЎ®§­ зҐ­ЁҐ $f\in D^2(a,b)$ ЁбЇ®«м§гов, Ґб«Ё в Є п Їа®Ё§ў®¤­ п
бгйҐбвўгҐв ­  ўбҐ¬ Ё­вҐаў «Ґ $(a,b)$. ’ ЄЁҐ Їа®Ё§ў®¤­лҐ ­ §лў ов
Їа®Ё§ў®¤­л¬Ё Ї®ап¤Є  2. Џгбвм $n\in\NN$, $n>1$. Џ®  ­ «®ЈЁЁ
а бб¬ ваЁў ов ®Ў®§­ зҐ­ЁҐ $f\in D^n(x_0)$ --- Є« бб дг­ЄжЁ© $f\in
D^{n-1}(a,b)$, г Є®в®але $f^{(n-1)}\in D(x_0)$, Ё ®Ў®§­ зҐ­ЁҐ
$f\in D^n(a,b)$ --- Є« бб дг­ЄжЁ© $f\in D^{n-1}(a,b)$, г Є®в®але
Їа®Ё§ў®¤­ п $f^{(n-1)}\in D(a,b)$. ’ ЄЁҐ Їа®Ё§ў®¤­лҐ ­ §лў ов
бв аиЁ¬Ё Їа®Ё§ў®¤­л¬Ё Ё«Ё Їа®Ё§ў®¤­л¬Ё Ї®ап¤Є  $n$. Ѓг¤Ґ¬
ЁбЇ®«м§®ў вм в Є¦Ґ ®Ў®§­ зҐ­ЁҐ $f\in D^n[a,b]$, ®в«Ёз о饥бп ®в
$f\in D^n(a,b)$ ⥬, зв® ў в®зЄ е $a$ Ё $b$ бгйҐбвўгов ўбҐ
®¤­®бв®а®­­ЁҐ Їа®Ё§ў®¤­лҐ ®в 1 ¤® Ї®ап¤Є  $n$ ўЄ«озЁвҐ«м­®. Ља®¬Ґ
в®Ј® гЇ®вॡ«повбп в Є¦Ґ ®Ў®§­ зҐ­ЁҐ $‘^n(a,b)$ --- Є« бб дг­ЄжЁ©
Ё§ $f\in D^n(a,b)$, ¤«п Є®в®але $f^{(n)}\in C(a,b)$, Ё, Ї®
 ­ «®ЈЁЁ, $‘^n[a,b]$.


…б«Ё дг­ЄжЁп $f(x)$ Ё¬ҐҐв ў в®зЄҐ $x_0$ Їа®Ё§ў®¤­го, в® ҐҐ
ЇаЁа йҐ­ЁҐ ¬®¦­® ЇаҐ¤бв ўЁвм ў ўЁ¤Ґ
$$f(x)-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)+\bar{o}( x-x_0).$$ ‡ ЇЁиҐ¬ нв®
г⢥তҐ­ЁҐ ў ўЁ¤Ґ $$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\bar{o}( x-x_0).$$
€¬ҐҐвбп б«Ґ¤го饥 ®Ў®ЎйҐ­ЁҐ в Є®Ј® ЇаҐ¤бв ў«Ґ­Ёп дг­ЄжЁ©,
­ §лў Ґ¬®Ј® д®а¬г«®© ’Ґ©«®а  (®¤­®© Ё§ ҐҐ ¬­®Ј®зЁб«Ґ­­ле ў аЁ ­в®ў
§ ЇЁбЁ).

\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬  1.} (д®а¬г«  ’Ґ©«®а  б ®бв в®з­л¬ з«Ґ­®¬ ў
д®а¬Ґ ЏҐ ­®)/$f:(a,b)\to\RR$, $n\in\NN$, $x_0\in(a,b)$, $f\in
D^{(n-1)}(a,b)$, $f\in D^n(x_0)$/$\Rightarrow$
$$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2
+\dots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\bar{o}((x-x_0)^n)$$ ЇаЁ
$x\to x_0$.

\noindent$\lhd:$ Џа®ўҐаЁ¬ д®а¬г«г ’Ґ©«®а  ¤«п $n=2$. ЋЎ®§­ зЁ¬
$$r(x)=
f(x)-f(x_0)-\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)-\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2.$$
’®Ј¤  $r(x_0)=r'(x_0)=r''(x_0)=0$ Ё Ї® Їа ўЁ«г ‹®ЇЁв «п
$$\lim_{x\to x_0}\frac{r(x)}{(x-x_0)^2}=\lim_{x\to
x_0}\frac{r'(x)}{2(x-x_0)}= \lim_{x\to
x_0}\frac{r'(x)-r'(x_0)}{2(x-x_0)}= \frac{r''(x_0)}{2}=0,$$ в.Ґ.
¤Ґ©б⢨⥫쭮 $r(x)=\bar{o}((x-x_0)^2)$. „®Є § вҐ«мбвў® ў ®ЎйҐ¬
б«гз Ґ Ї®ўв®апҐв нвЁ а бб㦤Ґ­Ёп. Џгбвм $$r(x)=
f(x)-f(x_0)-\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)-
\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2-\dots
-\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.$$ ’®Ј¤ 
$r(x_0)=r'(x_0)=r''(x_0)=\dots=r^{(n)}(x_0)=0$ Ё Ї® Їа ўЁ«г
‹®ЇЁв «п $$\lim_{x\to x_0}\frac{r(x)}{(x-x_0)^n}=\dots=\lim_{x\to
x_0}\frac{r^{(n-1)}(x)}{n!\,(x-x_0)}= \lim_{x\to
x_0}\frac{r^{(n-1)}(x)-r^{(n-1)}(x_0)}{n!\,(x-x_0)}=
\frac{r^{(n)}(x_0)}{n!}=0,$$ в.Ґ. ¤Ґ©б⢨⥫쭮
$r(x)=\bar{o}((x-x_0)^n)$.\ $\rhd$

ќв  ⥮६  ®бв Ґвбп бЇа ўҐ¤«Ёў®© Ё ¤«п дг­ЄжЁЁ $f:[a,b]\to\RR$
ЇаЁ $x_0\in [a,b]$.

\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬  2.} (д®а¬г«  ’Ґ©«®а  б ®бв в®з­л¬ з«Ґ­®¬ ў
д®а¬Ґ ‹ Ја ­¦ )/$f:(a,b)\to\RR$, $n\in\NN$, $x_0\in(a,b)$, $f\in
D^n(a,b)$/$\Rightarrow$ ¤«п $x\in (a,b)$
$$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2
+\dots +\frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}(x-x_0)^{(n-1)}+
\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\,(x-x_0)^{n},$$ Ј¤Ґ $\xi=\xi(x)$ --
­ҐЄ®в®а п Їа®¬Ґ¦гв®з­ п в®зЄ  Ё­вҐаў «  $x,x_0$.

\noindent$\lhd:$ ђ бᬮваЁ¬ дг­ЄжЁо $r:(a,b)\to\RR$ $$r(t)=
f(x)-f(t)-\frac{f'(t)}{1!}(x-t)- \frac{f''(t)}{2!}(x-t)^2-\dots
-\frac{f^{(n-1)}(t)}{(n-1)!}(x-t)^{(n-1)}.$$

Џ® ⥮६Ґ Љ®иЁ
$$\frac{r(t)}{(x-t)^n}=\frac{r(t)-r(x)}{(x-t)^n-(x-x)^n}=
-\frac{r'(\xi)}{n(x-\xi)^{(n-1)}}.$$ Џ®¤бзЁв Ґ¬ $r'(\xi)$.
$$r'(\xi)=-f'(\xi)-\frac{f''(\xi)}{1!}(x-\xi)+f'(\xi)
-\frac{f^{(3)}(\xi)}{2!}(x-\xi)^2+\frac{f''(\xi)}{1!}(x-\xi)-
\dots -$$ $$-\frac{f^{(n)}(\xi)}{(n-1)!}(x-\xi)^{(n-1)}+
\frac{f^{(n-1)}(\xi)}{(n-2)!}(x-\xi)^{(n-2)}=
-\frac{f^{(n)}(\xi)}{(n-1)!}(x-\xi)^{(n-1)}.$$ Џ®н⮬г
$$\frac{r(t)}{(x-t)^n}=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}.\ \rhd$$

\noindent{\bf ђп¤ ’Ґ©«®а }.

Џгбвм $f\in C(a,b)$ ®Ў« ¤ Ґв Їа®Ё§ў®¤­л¬Ё «оЎ®Ј® Ї®ап¤Є  ($f\in
C^{\infty}(a,b)$). ЋЎ®§­ зЁ¬ $$T_n(f,x,x_0)=\sum_{k=0}^n
\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k$$ --- Ї®«Ё­®¬ ’Ґ©«®а  Ї®ап¤Є 
$n\in\NN$ дг­ЄжЁЁ $f$ ў в®зЄҐ $x_0\in (a,b)$. ђп¤®¬ ’Ґ©«®а 
дг­ЄжЁЁ $f$ ў в®зЄҐ $x_0$ ­ §лў ов д®а¬ «м­л©  ­ «®Ј нв®© Є®­Ґз­®©
бг¬¬л ¤«п б«гз п ЎҐбЄ®­Ґз­®Ј® зЁб«  б« Ј Ґ¬ле:
$$T(f,x,x_0)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}
(x-x_0)^k.$$ ќв®в ап¤ ­ §лў Ґвбп б室пйЁ¬бп ў в®зЄҐ $x_1\in
(a,b)$, Ґб«Ё ЇаЁ $n\to\infty$ б室Ёвбп зЁб«®ў п Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм
$T_n(f,x_1,x_0)$. …б«Ё ¦Ґ нв  Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм а б室Ёвбп, в® Ё
ап¤ ’Ґ©«®а  ў в®зЄҐ $x_1$ ­ §лў Ґвбп а б室пйЁ¬бп. ”г­ЄжЁп $f$
­ §лў Ґвбп  ­ «ЁвЁзҐбЄ®© ­  $(a,b)$, Ґб«Ё ў Є ¦¤®© в®зЄҐ $x_1\in
(a,b)$ зЁб«®ў п Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм $T_n(f,x_1,x_0)$ б室Ёвбп ЇаЁ
$n\to\infty$ Є $f(x_1)$. Љ« бб  ­ «ЁвЁзҐбЄЁе ­  $(a,b)$ дг­ЄжЁ©
®Ў®§­ з ов ${\cal A}(a,b)$.

\noindent{\bf ЏаЁ¬Ґа}. …б«Ё $p(x)$ --- Їа®Ё§ў®«м­л© Ї®«Ё­®¬, в®
$p\in {\cal A}(a,b)$.

\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬  3.} (¤®бв в®з­л© ЇаЁ§­ Є  ­ «ЁвЁз­®бвЁ
дг­ЄжЁЁ) /$f\in C^{\infty}(a,b)$, ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј® $M>0$ ўлЇ®«­пҐвбп
$|f^{(n)}(x)|\leqslant M$ ЇаЁ Є ¦¤®¬ $x\in (a,b)$ Ё Є ¦¤®¬
$n\in\NN$/ $\Rightarrow$ $f\in {\cal A}(a,b)$.

\noindent$\lhd:$ Џ®бЄ®«мЄг $k\cdot(n-k+1)\geqslant n$ ЇаЁ «оЎ®¬
$k\in\{1,2,\dots,n\}$, в® $$(n!)^2={(1\cdot n)\cdot (2\cdot
(n-1))\cdot (3\cdot (n-2))\cdot}\dots{\cdot(n\cdot 1)}\geqslant
n^n.$$ Џ®н⮬г $n!\geqslant (\sqrt{n})^n$. Џгбвм $x\in(a,b)$. Џ®
д®а¬г«Ґ ’Ґ©«®а  б ®бв в®з­л¬ з«Ґ­®¬ ў д®а¬Ґ ‹ Ја ­¦ 
$$f(x)-T_n(f,x,x_0)=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\,(x-x_0)^{n},$$ Ј¤Ґ
$\xi=\xi(x)$ -- ­ҐЄ®в®а п Їа®¬Ґ¦гв®з­ п в®зЄ  Ё­вҐаў «  $x,x_0$.
‡­ зЁв, $$|f(x)-T_n(f,x,x_0)|=\left |
\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\,(x-x_0)^{n}\right |\leqslant M\left
(\frac{|b-a|}{\sqrt{n}}\right )^{n}\to 0,$$ Є®Ј¤  $n\to\infty$. Џ®
⥮६Ґ ®Ў ®Ја ­ЁзҐ­­®© б室Ё¬®бвЁ ®вбо¤  б«Ґ¤гҐв, зв® ЇаЁ «оЎ®¬
дЁЄбЁа®ў ­­®¬ $x\in(a,b)$ Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм $f(x)-T_n(f,x,x_0)$
бв६Ёвбп Є ­г«о, Ё, ᮮ⢥вб⢥­­®, Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм
$T_n(f,x,x_0)$ б室Ёвбп Є $f(x)$. $\rhd$

\noindent{\bf ЏаЁ¬Ґал}.

1) $f(x)=e^x$, $x_0=0$, $f^{(n)}(0)=1$, $f^{(n)}(x)=e^x$ ЇаЁ
$n\in\NN$ $\Rightarrow$ $|f^{(n)}(x)|\leqslant M=\max\{e^a, e^b\}$
­  $(a,b)$. Џ® ¤®бв в®з­®¬г ЇаЁ§­ Єг  ­ «ЁвЁз­®бвЁ дг­ЄжЁЁ
$$e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{x^k}{k\,!}$$ ­  Їа®Ё§ў®«м­®¬
Є®­Ґз­®¬ Ё­вҐаў «Ґ $(a,b)$,   §­ зЁв Ё ­  $\RR$.

2) $f(x)=\sin x$, $f^{(2k)}(0)=0$ ¤«п зҐв­ле $n=2k$ Ё $0$,
$f^{(2k+1)}(0)=(-1)^k$ ¤«п ­ҐзҐв­ле $n=2k+1$; Єа®¬Ґ в®Ј®
$|f^{(n)}(x)|\leqslant 1$ ­  $(a,b)$. Џ®н⮬г $$\sin
x=\sum_{k=0}^{\infty}\ (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\,,\qquad
x\in\RR.$$

3) $f(x)=\cos x$, $f^{(2k)}(0)=(-1)^k$ ¤«п зҐв­ле $n=2k$ Ё $0$,
$f^{(2k+1)}(0)=0$ ¤«п ­ҐзҐв­ле $n=2k+1$; Єа®¬Ґ в®Ј®
$|f^{(n)}(x)|\leqslant 1$ ­  $(a,b)$. Џ®нв®¬г  $$\cos
x=\sum_{k=0}^{\infty}\ (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}\,,\qquad
x\in\RR.$$

4) $${\rm sh}\,x=\frac{e^x-e^{-x}}2=\sum_{k=0}^{\infty}\
\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\,,\qquad x\in\RR.$$

5) $${\rm ch}\,x=\frac{e^x+e^{-x}}2=\sum_{k=0}^{\infty}\
\frac{x^{2k}}{(2k)!}\,,\qquad x\in\RR.$$

6) ({\bf ЎҐ§ ¤®Є § вҐ«мбвў })$$(1+x)^a=1+\sum_{k=1}^{\infty}\
\frac{a(a-1)\dots (a-k+1) }{k!}x^{k}\,,\qquad x\in (-1,1).$$

7) ({\bf ЎҐ§ ¤®Є § вҐ«мбвў })$$\ln(1+x)=\sum_{k=1}^{\infty}\
(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}\,,\qquad x\in (-1,1).$$