Добавил:
Studfiles2
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ / LMA08
.TEX\section*{\it ‹ҐЄжЁп 8.}
\noindent{\bf €бб«Ґ¤®ў ЁҐ дгЄжЁ©: ў®§а бв ЁҐ, гЎлў ЁҐ,
нЄбв६г¬л (Ґ®Ўе®¤Ё¬лҐ Ё ¤®бв в®злҐ гб«®ўЁп), ЁЎ®«м襥 Ё
Ё¬Ґм襥 § 票п дгЄжЁ© ®в१ЄҐ. ‚лЇгЄ«®бвм, ў®Јгв®бвм,
в®зЄЁ ЇҐаҐЈЁЎ , бЁ¬Їв®вл.}
Џгбвм $f:(a,b)\to\RR$. Ѓг¤Ґ¬ Ј®ў®аЁвм, зв® $f$ ў®§а бв Ґв (Ё«Ё
гЎлў Ґв) $(a,b)$, Ґб«Ё Ё§ $x_1,x_2\in(a,b)$, $x_1\leqslant x_2$
б«Ґ¤гҐв, зв® $f(x_1)\leqslant f(x_2)$ (Ё«Ё, ᮮ⢥вб⢥®,
$f(x_1)\geqslant f(x_2)$). Ѓг¤Ґ¬ в Є¦Ґ Ј®ў®аЁвм, зв® $f$ бва®Ј®
ў®§а бв Ґв (Ё«Ё бва®Ј® гЎлў Ґв) $(a,b)$, Ґб«Ё Ё§
$x_1,x_2\in(a,b)$, $x_1< x_2$ б«Ґ¤гҐв, зв® $f(x_1)< f(x_2)$ (Ё«Ё,
ᮮ⢥вб⢥®, $f(x_1)> f(x_2)$).
\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬ 1} /$f\in D(a,b)$, $f\in C\langle
a,b\rangle$/$\Rightarrow$
1) Ґб«Ё $f'(x)\geqslant 0$ $(a,b)$ $\Rightarrow$ $f$ ў®§а бв Ґв
$\langle a,b\rangle$,
2) Ґб«Ё $f'(x)> 0$ $(a,b)$ $\Rightarrow$ $f$ бва®Ј® ў®§а бв Ґв
$\langle a,b\rangle$,
3) Ґб«Ё $f'(x)\leqslant 0$ $(a,b)$ $\Rightarrow$ $f$ гЎлў Ґв
$\langle a,b\rangle$,
4) Ґб«Ё $f'(x)< 0$ $(a,b)$ $\Rightarrow$ $f$ бва®Ј® гЎлў Ґв
$\langle a,b\rangle$.
\noindent$\lhd:$ „®Є § ⥫мбвў нвЁе 4-е г⢥তҐЁ© «®ЈЁзл,
Їа®ўҐаЁ¬, ЇаЁ¬Ґа, бЇа ўҐ¤«Ёў®бвм 2). Џгбвм $x_1<x_2$,\quad
$x_1,x_2\in\langle a,b\rangle$. ’®Ј¤ Ї® д®а¬г«Ґ ‹ Ја ¦
$$f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1),$$ Ј¤Ґ $c\in (x_1,x_2)$ ---
ҐЄ®в®а п Їа®¬Ґ¦гв®з п в®зЄ . Џ®н⮬г $f(x_2)-f(x_1)>0$. $\rhd$
Џгбвм $f:(a,b)\to\RR$. ѓ®ў®апв, зв® ЇаЁ § 票Ё $x_1\in (a,b)$
аЈг¬Ґв $x$ дгЄжЁп $f(x)$ Ё¬ҐҐв ¬ ЄбЁ¬г¬ $f(x_1)$, Ґб«Ё ў
ҐЄ®в®а®© $\delta$-®ЄаҐбв®бвЁ ${\cal O}_{\delta}(x_1)$ в®зЄЁ
$x_1$ ўлЇ®«пҐвбп Ґа ўҐбвў® $f(x_1)\geqslant f(x)$ ЇаЁ ўбҐе
$x\in {\cal O}_{\delta}(x_1)$. ЏаЁ н⮬ $\delta>0$ ¬®¦Ґв ®Є § вмбп
ўҐбм¬ ¬ «ҐмЄЁ¬ зЁб«®¬. €®Ј¤ Є б«®ўг ¬ ЄбЁ¬г¬ ¤®Ў ў«пов б«®ў®
«®Є «мл©: «®Є «мл© ¬ ЄбЁ¬г¬. Ђ «®ЈЁз® ®ЇаҐ¤Ґ«пов «®Є «мл©
¬ЁЁ¬г¬: в®зЄ $x_1$ --- в®зЄ «®Є «м®Ј® ¬ЁЁ¬г¬ $f$, Ґб«Ё
$f(x_1)\leqslant f(x)$ ЇаЁ ўбҐе $x\in {\cal O}_{\delta}(x_1)$.
Њ ЄбЁ¬г¬ Ё«Ё ¬ЁЁ¬г¬ дгЄжЁЁ §лў Ґвбп нЄбв६㬮¬ дгЄжЁЁ, вҐ
§ 票п аЈг¬Ґв , ў Є®в®але ॠ«Ё§говбп нЄбв६г¬л дгЄжЁЁ,
§лў овбп ҐҐ в®зЄ ¬Ё нЄбв६㬠.
\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬ 2} (б«Ґ¤бвўЁҐ вҐ®аҐ¬л ”Ґа¬ )
/$f:(a,b)\to\RR$, $x_0\in(a,b)$ --- в®зЄ нЄбв६㬠$f$, $f\in
D(x_0)$/$\Rightarrow$ $f'(x_0)=0.$
\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬ 3} (¤®бв в®злҐ гб«®ўЁп нЄбв६㬠) /$f\in
D(a,b)$, $x_0\in(a,b)$, $f'(x_0)=0$, $f'$ ¬ҐпҐв § Є ЇаЁ ЇҐаҐе®¤Ґ
зҐаҐ§ в®зЄг $x_0$/$\Rightarrow$ $x_0$ --- в®зЄ ¬ ЄбЁ¬г¬ $f$,
Ґб«Ё Їа®Ёб室Ёв Ё§¬ҐҐЁҐ § Є Їа®Ё§ў®¤®© б Ї«об ¬Ёгб, Ё«Ё
в®зЄ ¬ЁЁ¬г¬ , Ґб«Ё § Є ¬ҐпҐвбп б ¬Ёгб Ї«об.
\noindent$\lhd:$ Џа®ўҐаЁ¬ «Ёим ЇҐаўго Ї®«®ўЁг г⢥তҐЁп ⥮६л
--- ўв®а п Їа®ўҐапҐвбп Ї® «®ЈЁЁ. Џгбвм $\delta>0$ в Є®ў®, зв®
$f'(x)\geqslant 0$ ЇаЁ $x\in [x_0-\delta,x_0]$,
$f'(x)\leqslant 0$ ЇаЁ $x\in [x_0,x_0+\delta]$.
’®Ј¤ Ї® ⥮६Ґ 1 $f(x)$ -- ў®§а бв ой п дгЄжЁп
$[x_0-\delta,x_0]$, $f(x)$ -- гЎлў ой п дгЄжЁп
$[x_0,x_0+\delta]$. Џ®н⮬г $x_0$ --- в®зЄ «®Є «м®Ј® ¬ ЄбЁ¬г¬ .
$\rhd$
\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬ 4} /$f\in D(a,b)$, $x_0\in(a,b)$,
$f'(x_0)=0$, $f'$ Ґ ¬ҐпҐв § Є ЇаЁ ЇҐаҐе®¤Ґ зҐаҐ§ $x_0$ Ё Ґ
®Ўа й Ґвбп ў ®«м ў ҐЄ®в®а®© Їа®Є®«®в®© ®ЄаҐбв®бвЁ
$x_0$/$\Rightarrow$ $x_0$ Ґ пў«пҐвбп в®зЄ®© нЄбв६㬠$f$.
\noindent$\lhd:$ Љ Є Ё ў ЇаҐ¤л¤г饩 ⥮६Ґ Їа®ўҐаЁ¬ «Ёим Ї®«®ўЁг
г⢥তҐЁп ⥮६л --- ¤агЈ п Їа®ўҐапҐвбп Ї® «®ЈЁЁ. Џгбвм
$\delta>0$ в Є®ў®, зв®
$f'(x)> 0$ ЇаЁ $x\in [x_0-\delta,x_0)$,
$f'(x)> 0$ ЇаЁ $x\in (x_0,x_0+\delta]$.
\noindent ЋЇпвм ¦Ґ Ї® ⥮६Ґ 1 $f(x)$ -- бва®Ј® ў®§а бв ой п
дгЄжЁп $[x_0-\delta,x_0]$ Ё $f(x)$ -- бва®Ј® ў®§а бв ой п
дгЄжЁп $[x_0,x_+\delta0]$. Џ®н⮬г $x_0$ --- Ґ в®зЄ
нЄбв६㬠$f$. $\rhd$
\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬ 5} /$f\in D(a,b)$, $x_0\in(a,b)$,
$f'(x_0)=0$, $f''(x_0)>0$/$\Rightarrow$ $x_0$ --- в®зЄ ¬ЁЁ¬г¬
$f$.
\noindent$\lhd:$ Џ® ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁо $$f''(x_0)=\lim_{x\to
x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac
{f'(x)}{x-x_0}>0.$$ Џ®н⮬г, Ґб«Ё $x$ Ў«Ё§Є® Є $x_0$, в® $$\frac
{f'(x)}{x-x_0}>0.$$ ќв® ®§ з Ґв, зв® Їа®Ё§ў®¤ п $f'$ дгЄжЁЁ $f$
ЇаЁ ЇҐаҐе®¤Ґ зҐаҐ§ в®зЄг $x_0$ ¬ҐпҐв § Є б ¬Ёгб Ї«об.
ЏаЁ¬Ґпп ⥮६г 3, Ї®«гзЁ¬ г⢥তҐЁҐ ¤®Є §лў Ґ¬®© ⥮६л.
$\rhd$
\noindent{\bf ‡ ¬Ґз ЁҐ}. Ђ «®ЈЁз® Ї®Є §лў Ґвбп, зв® Ґб«Ё
$f'(x_0)=0$, $f''(x_0)<0$, в® $x_0$ --- в®зЄ ¬ ЄбЁ¬г¬ $f$.
€бе®¤п Ё§ а бᬮваҐле ⥮६, ЇаЁ ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁЁ, ЇаЁ¬Ґа,
ЁЎ®«м襣® Ё§ § 票©, Є®в®а®Ґ ¬®¦Ґв ЇаЁЁ¬ вм $f\in D[a,b]$
®в१ЄҐ $[a,b]$, Ї®бвгЇ ов б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬. ‘ з « 室пв ўбҐ
в®зЄЁ, Ј¤Ґ $f'(x)=0$. …б«Ё Ёе Є®«ЁзҐбвў® ҐўҐ«ЁЄ®, в® ў® ўбҐе
в ЄЁе в®зЄ е ўлзЁб«пов § 票п дгЄжЁЁ $f$ Ё ба ўЁў ов ¬Ґ¦¤г
б®Ў®©. ‚лЎа ў б ¬®Ґ Ў®«м讥 § 票Ґ, ба ўЁў ов ҐЈ® б® § 票ﬨ
$f(a)$ Ё $f(b)$. Ѓ®«м襥 Ё§ нвЁе ваҐе зЁбҐ« Ё Ґбвм ЁЎ®«м襥
§ 票Ґ, ЇаЁЁ¬ Ґ¬®Ґ дгЄжЁҐ© $f$ ®в१ЄҐ $[a,b]$. ‘®Ј« б®
⥮६Ґ ‚Ґ©Ґаива бб в Є®Ґ § 票Ґ ®Ўп§ вҐ«м® ¤®бвЁЈ Ґвбп е®вп
Ўл ў ®¤®© в®зЄҐ $[a,b]$. ‚ н⮬ б®бв®Ёв ЇаЁжЁЇЁ «м®Ґ ®в«ЁзЁҐ
нв®© § ¤ зЁ ®в § ¤ зЁ Ї®ЁбЄ , ЇаЁ¬Ґа, ЁЎ®«м襣® Ё§ § 票©,
Є®в®а®Ґ ¬®¦Ґв ЇаЁЁ¬ вм $f\in D(a,b)$ ЁвҐаў «Ґ $(a,b)$. ’ Є
¤«п дгЄжЁЁ $f(x)=1/x$ ўлЇ®«пҐвбп $f\in D(0,1)$, ® Ё ў ®¤®©
в®зЄҐ $(0,1)$ дгЄжЁп $f$ Ґ ЇаЁЁ¬ Ґв ЁЎ®«м襣® § 票п, ¤ Ё
б ¬®Ј® § 票п б нвЁ¬ бў®©бвў®¬ Ґ бгйҐбвўгҐв.
\noindent{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ 1}. ”гЄжЁп $f\in D(\langle a,b\rangle)$
§лў Ґвбп ўлЇгЄ«®© ўЁ§ (ўўҐае) $\langle a,b\rangle$, Ґб«Ё ў
Є ¦¤®© в®зЄҐ $x_0\in \langle a,b\rangle$ Ја дЁЄ дгЄжЁЁ $f$ «Ґ¦Ёв
Ґ Ё¦Ґ (Ґ ўлиҐ) Є б ⥫쮩 Є дгЄжЁЁ ў нв®© в®зЄҐ:
$$f(x)\geqslant f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\qquad (f(x)\leqslant
f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0))$$ ЇаЁ ўбҐе $x\in \langle a,b\rangle$ Ё
$x_0\in \langle a,b\rangle$.
\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬ 6} /$f\in D^2(\langle a,b\rangle)$,
$f''(x)\geqslant 0$ $\langle a,b\rangle$/$\Rightarrow$ $f$
ўлЇгЄ« ўЁ§ $\langle a,b\rangle$.
\noindent$\lhd:$ ‚롥६ $x,x_0\in\langle a,b\rangle$ Їа®Ё§ў®«м®.
Џ® д®а¬г«Ґ ‹ Ја ¦ $$f(x)-f(x_0)-
f'(x_0)(x-x_0)=(f'(c)-f'(x_0))(x-x_0)\geqslant 0,$$ в Є Є Є $c\in
(x_0,x)$ Ё $f'(x)$ --- ў®§а бв ой п $(x_0,x)$ дгЄжЁп. $\rhd$
Ђ «®ЈЁз® Ї®Є §лў Ґвбп, зв® Ґб«Ё $f''(x)\leqslant 0$ $\langle
a,b\rangle$, в® $f$ ўлЇгЄ« ўўҐае $\langle a,b\rangle$.
\noindent{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ 2}. ’®зЄ®© ЇҐаҐЈЁЎ дгЄжЁЁ $f\in
D(\langle a,b\rangle)$ §лў ов в®зЄг, ў Є®в®а®© Їа®Ёб室Ёв
Ё§¬ҐҐЁҐ ўлЇгЄ«®бвЁ б ўлЇгЄ«®бвЁ ўЁ§ ўлЇгЄ«®бвм ўўҐае Ё«Ё
®Ўа в®.
\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬ 7} /$f\in D^2(\langle a,b\rangle)$, $x_0\in
(a,b)$, $f''(x_0)=0$, $f''$ ¬ҐпҐв § Є ЇаЁ ЇҐаҐе®¤Ґ зҐаҐ§ в®зЄг
$x_0$/$\Rightarrow$ $x_0$ --- в®зЄ ЇҐаҐЈЁЎ дгЄжЁЁ $f$.
\noindent$\lhd:$ Љ Є Ё а миҐ Їа®ўҐаЁ¬ «Ёим Ї®«®ўЁг г⢥তҐЁп
⥮६л --- ¤агЈ п Їа®ўҐапҐвбп Ї® «®ЈЁЁ. Џгбвм, ЇаЁ¬Ґа,
$\delta>0$ в Є®ў®, зв®
$f''(x)\geqslant 0$ ЇаЁ $x\in [x_0-\delta,x_0)$,
$f''(x)\leqslant 0$ ЇаЁ $x\in (x_0,x_0+\delta]$.
\noindent Џ® ⥮६Ґ 6 дгЄжЁп $f$ ўлЇгЄ« ўЁ§
$[x_0-\delta,x_0]$ Ё ўлЇгЄ« ўўҐае $[x_0,x_0+\delta]$. $\rhd$
\noindent{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ 3}. Џгбвм $f:(a,+\infty)\to\RR$. …б«Ё
¤«п $k,l\in\RR$ ўлЇ®«пҐвбп гб«®ўЁҐ $f(x)=kx+l+\bar{o}(1)$ ЇаЁ
$x\to + \infty$, в® Їап¬ п $y=kx+l$ §лў Ґвбп бЁ¬Їв®в®©
( Є«®®©) дгЄжЁЁ $f$ ЇаЁ $x\to +\infty$. Ђ «®ЈЁз®
®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп бЁ¬Їв®в дгЄжЁЁ $f$ ЇаЁ $x\to -\infty$.
\noindent{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ 4}. Џгбвм $f$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ ў ҐЄ®в®а®©
®ЄаҐбв®бвЁ в®зЄЁ $x_0$ (Ўлвм ¬®¦Ґв Ё ®¤®бв®а®Ґ©). …б«Ё
ўлЇ®«пҐвбп е®вп Ўл ®¤® Ё§ $$\lim_{x\to
x_0-0}f(x)=\pm\infty,\qquad \lim_{x\to x_0+0}f(x)=\pm\infty,$$ в®
Їап¬ п $x=x_0$ §лў Ґвбп ўҐавЁЄ «м®© бЁ¬Їв®в®© дгЄжЁЁ $f$.
„«п 宦¤ҐЁп Є«®ле бЁ¬Їв®в ®Ўлз® ўлзЁб«по⠯।Ґ«л
$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=k,\qquad
\lim_{x\to\infty}(f(x)-kx)=l.$$