Скачиваний:
45
Добавлен:
01.05.2014
Размер:
7.82 Кб
Скачать
\section*{\it ‹ҐЄжЁп 8.}

\noindent{\bf €бб«Ґ¤®ў ­ЁҐ дг­ЄжЁ©: ў®§а бв ­ЁҐ, гЎлў ­ЁҐ,
нЄбв६г¬л (­Ґ®Ўе®¤Ё¬лҐ Ё ¤®бв в®з­лҐ гб«®ўЁп), ­ ЁЎ®«м襥 Ё
­ Ё¬Ґ­м襥 §­ зҐ­Ёп дг­ЄжЁ© ­  ®в१ЄҐ. ‚лЇгЄ«®бвм, ў®Ј­гв®бвм,
в®зЄЁ ЇҐаҐЈЁЎ ,  бЁ¬Їв®вл.}

Џгбвм $f:(a,b)\to\RR$. Ѓг¤Ґ¬ Ј®ў®аЁвм, зв® $f$ ў®§а бв Ґв (Ё«Ё
гЎлў Ґв) ­  $(a,b)$, Ґб«Ё Ё§ $x_1,x_2\in(a,b)$, $x_1\leqslant x_2$
б«Ґ¤гҐв, зв® $f(x_1)\leqslant f(x_2)$ (Ё«Ё, ᮮ⢥вб⢥­­®,
$f(x_1)\geqslant f(x_2)$). Ѓг¤Ґ¬ в Є¦Ґ Ј®ў®аЁвм, зв® $f$ бва®Ј®
ў®§а бв Ґв (Ё«Ё бва®Ј® гЎлў Ґв) ­  $(a,b)$, Ґб«Ё Ё§
$x_1,x_2\in(a,b)$, $x_1< x_2$ б«Ґ¤гҐв, зв® $f(x_1)< f(x_2)$ (Ё«Ё,
ᮮ⢥вб⢥­­®, $f(x_1)> f(x_2)$).

\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬  1} /$f\in D(a,b)$, $f\in C\langle
a,b\rangle$/$\Rightarrow$

1) Ґб«Ё $f'(x)\geqslant 0$ ­  $(a,b)$ $\Rightarrow$ $f$ ў®§а бв Ґв
­  $\langle a,b\rangle$,

2) Ґб«Ё $f'(x)> 0$ ­  $(a,b)$ $\Rightarrow$ $f$ бва®Ј® ў®§а бв Ґв
­  $\langle a,b\rangle$,

3) Ґб«Ё $f'(x)\leqslant 0$ ­  $(a,b)$ $\Rightarrow$ $f$ гЎлў Ґв ­ 
$\langle a,b\rangle$,

4) Ґб«Ё $f'(x)< 0$ ­  $(a,b)$ $\Rightarrow$ $f$ бва®Ј® гЎлў Ґв ­ 
$\langle a,b\rangle$.


\noindent$\lhd:$ „®Є § вҐ«мбвў  нвЁе 4-е г⢥তҐ­Ё©  ­ «®ЈЁз­л,
Їа®ўҐаЁ¬, ­ ЇаЁ¬Ґа, бЇа ўҐ¤«Ёў®бвм 2). Џгбвм $x_1<x_2$,\quad
$x_1,x_2\in\langle a,b\rangle$. ’®Ј¤  Ї® д®а¬г«Ґ ‹ Ја ­¦ 
$$f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1),$$ Ј¤Ґ $c\in (x_1,x_2)$ ---
­ҐЄ®в®а п Їа®¬Ґ¦гв®з­ п в®зЄ . Џ®н⮬г $f(x_2)-f(x_1)>0$. $\rhd$

Џгбвм $f:(a,b)\to\RR$. ѓ®ў®апв, зв® ЇаЁ §­ зҐ­ЁЁ $x_1\in (a,b)$
 аЈг¬Ґ­в  $x$ дг­ЄжЁп $f(x)$ Ё¬ҐҐв ¬ ЄбЁ¬г¬ $f(x_1)$, Ґб«Ё ў
­ҐЄ®в®а®© $\delta$-®ЄаҐбв­®бвЁ ${\cal O}_{\delta}(x_1)$ в®зЄЁ
$x_1$ ўлЇ®«­пҐвбп ­Ґа ўҐ­бвў® $f(x_1)\geqslant f(x)$ ЇаЁ ўбҐе
$x\in {\cal O}_{\delta}(x_1)$. ЏаЁ н⮬ $\delta>0$ ¬®¦Ґв ®Є § вмбп
ўҐбм¬  ¬ «Ґ­мЄЁ¬ зЁб«®¬. €­®Ј¤  Є б«®ўг ¬ ЄбЁ¬г¬ ¤®Ў ў«пов б«®ў®
«®Є «м­л©: «®Є «м­л© ¬ ЄбЁ¬г¬. Ђ­ «®ЈЁз­® ®ЇаҐ¤Ґ«пов «®Є «м­л©
¬Ё­Ё¬г¬: в®зЄ  $x_1$ --- в®зЄ  «®Є «м­®Ј® ¬Ё­Ё¬г¬  $f$, Ґб«Ё
$f(x_1)\leqslant f(x)$ ЇаЁ ўбҐе $x\in {\cal O}_{\delta}(x_1)$.
Њ ЄбЁ¬г¬ Ё«Ё ¬Ё­Ё¬г¬ дг­ЄжЁЁ ­ §лў Ґвбп нЄбв६㬮¬ дг­ЄжЁЁ,   вҐ
§­ зҐ­Ёп  аЈг¬Ґ­в , ў Є®в®але ॠ«Ё§говбп нЄбв६г¬л дг­ЄжЁЁ,
­ §лў овбп ҐҐ в®зЄ ¬Ё нЄбв६㬠.

\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬  2} (б«Ґ¤бвўЁҐ вҐ®аҐ¬л ”Ґа¬ )
/$f:(a,b)\to\RR$, $x_0\in(a,b)$ --- в®зЄ  нЄбв६㬠 $f$, $f\in
D(x_0)$/$\Rightarrow$ $f'(x_0)=0.$

\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬  3} (¤®бв в®з­лҐ гб«®ўЁп нЄбв६㬠) /$f\in
D(a,b)$, $x_0\in(a,b)$, $f'(x_0)=0$, $f'$ ¬Ґ­пҐв §­ Є ЇаЁ ЇҐаҐе®¤Ґ
зҐаҐ§ в®зЄг $x_0$/$\Rightarrow$ $x_0$ --- в®зЄ  ¬ ЄбЁ¬г¬  $f$,
Ґб«Ё Їа®Ёб室Ёв Ё§¬Ґ­Ґ­ЁҐ §­ Є  Їа®Ё§ў®¤­®© б Ї«об  ­  ¬Ё­гб, Ё«Ё
в®зЄ  ¬Ё­Ё¬г¬ , Ґб«Ё §­ Є ¬Ґ­пҐвбп б ¬Ё­гб  ­  Ї«об.

\noindent$\lhd:$ Џа®ўҐаЁ¬ «Ёим ЇҐаўго Ї®«®ўЁ­г г⢥তҐ­Ёп ⥮६л
--- ўв®а п Їа®ўҐапҐвбп Ї®  ­ «®ЈЁЁ. Џгбвм $\delta>0$ в Є®ў®, зв®

$f'(x)\geqslant 0$ ЇаЁ $x\in [x_0-\delta,x_0]$,

$f'(x)\leqslant 0$ ЇаЁ $x\in [x_0,x_0+\delta]$.

’®Ј¤  Ї® ⥮६Ґ 1 $f(x)$ -- ў®§а бв ой п дг­ЄжЁп ­ 
$[x_0-\delta,x_0]$, $f(x)$ -- гЎлў ой п дг­ЄжЁп ­ 
$[x_0,x_0+\delta]$. Џ®н⮬г $x_0$ --- в®зЄ  «®Є «м­®Ј® ¬ ЄбЁ¬г¬ .
$\rhd$

\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬  4} /$f\in D(a,b)$, $x_0\in(a,b)$,
$f'(x_0)=0$, $f'$ ­Ґ ¬Ґ­пҐв §­ Є ЇаЁ ЇҐаҐе®¤Ґ зҐаҐ§ $x_0$ Ё ­Ґ
®Ўа й Ґвбп ў ­®«м ў ­ҐЄ®в®а®© Їа®Є®«®в®© ®ЄаҐбв­®бвЁ
$x_0$/$\Rightarrow$ $x_0$ ­Ґ пў«пҐвбп в®зЄ®© нЄбв६㬠 $f$.

\noindent$\lhd:$ Љ Є Ё ў ЇаҐ¤л¤г饩 ⥮६Ґ Їа®ўҐаЁ¬ «Ёим Ї®«®ўЁ­г
г⢥তҐ­Ёп ⥮६л --- ¤агЈ п Їа®ўҐапҐвбп Ї®  ­ «®ЈЁЁ. Џгбвм
$\delta>0$ в Є®ў®, зв®

$f'(x)> 0$ ЇаЁ $x\in [x_0-\delta,x_0)$,

$f'(x)> 0$ ЇаЁ $x\in (x_0,x_0+\delta]$.

\noindent ЋЇпвм ¦Ґ Ї® ⥮६Ґ 1 $f(x)$ -- бва®Ј® ў®§а бв ой п
дг­ЄжЁп ­  $[x_0-\delta,x_0]$ Ё $f(x)$ -- бва®Ј® ў®§а бв ой п
дг­ЄжЁп ­  $[x_0,x_+\delta0]$. Џ®н⮬г $x_0$ --- ­Ґ в®зЄ 
нЄбв६㬠 $f$. $\rhd$

\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬  5} /$f\in D(a,b)$, $x_0\in(a,b)$,
$f'(x_0)=0$, $f''(x_0)>0$/$\Rightarrow$ $x_0$ --- в®зЄ  ¬Ё­Ё¬г¬ 
$f$.

\noindent$\lhd:$ Џ® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо $$f''(x_0)=\lim_{x\to
x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac
{f'(x)}{x-x_0}>0.$$ Џ®н⮬г, Ґб«Ё $x$ Ў«Ё§Є® Є $x_0$, в® $$\frac
{f'(x)}{x-x_0}>0.$$ ќв® ®§­ з Ґв, зв® Їа®Ё§ў®¤­ п $f'$ дг­ЄжЁЁ $f$
ЇаЁ ЇҐаҐе®¤Ґ зҐаҐ§ в®зЄг $x_0$ ¬Ґ­пҐв §­ Є б ¬Ё­гб  ­  Ї«об.
ЏаЁ¬Ґ­пп ⥮६г 3, Ї®«гзЁ¬ г⢥তҐ­ЁҐ ¤®Є §лў Ґ¬®© ⥮६л.
$\rhd$

\noindent{\bf ‡ ¬Ґз ­ЁҐ}. Ђ­ «®ЈЁз­® Ї®Є §лў Ґвбп, зв® Ґб«Ё
$f'(x_0)=0$, $f''(x_0)<0$, в® $x_0$ --- в®зЄ  ¬ ЄбЁ¬г¬  $f$.

€бе®¤п Ё§ а бᬮв७­ле ⥮६, ЇаЁ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁЁ, ­ ЇаЁ¬Ґа,
­ ЁЎ®«м襣® Ё§ §­ зҐ­Ё©, Є®в®а®Ґ ¬®¦Ґв ЇаЁ­Ё¬ вм $f\in D[a,b]$ ­ 
®в१ЄҐ $[a,b]$, Ї®бвгЇ ов б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬. ‘­ з «  ­ е®¤пв ўбҐ
в®зЄЁ, Ј¤Ґ $f'(x)=0$. …б«Ё Ёе Є®«ЁзҐбвў® ­ҐўҐ«ЁЄ®, в® ў® ўбҐе
в ЄЁе в®зЄ е ўлзЁб«пов §­ зҐ­Ёп дг­ЄжЁЁ $f$ Ё ба ў­Ёў ов ¬Ґ¦¤г
б®Ў®©. ‚лЎа ў б ¬®Ґ Ў®«м讥 §­ зҐ­ЁҐ, ба ў­Ёў ов ҐЈ® б® §­ зҐ­Ёп¬Ё
$f(a)$ Ё $f(b)$. Ѓ®«м襥 Ё§ нвЁе ваҐе зЁбҐ« Ё Ґбвм ­ ЁЎ®«м襥
§­ зҐ­ЁҐ, ЇаЁ­Ё¬ Ґ¬®Ґ дг­ЄжЁҐ© $f$ ­  ®в१ЄҐ $[a,b]$. ‘®Ј« б­®
⥮६Ґ ‚Ґ©Ґаива бб  в Є®Ґ §­ зҐ­ЁҐ ®Ўп§ вҐ«м­® ¤®бвЁЈ Ґвбп е®вп
Ўл ў ®¤­®© в®зЄҐ $[a,b]$. ‚ н⮬ б®бв®Ёв ЇаЁ­жЁЇЁ «м­®Ґ ®в«ЁзЁҐ
нв®© § ¤ зЁ ®в § ¤ зЁ Ї®ЁбЄ , ­ ЇаЁ¬Ґа, ­ ЁЎ®«м襣® Ё§ §­ зҐ­Ё©,
Є®в®а®Ґ ¬®¦Ґв ЇаЁ­Ё¬ вм $f\in D(a,b)$ ­  Ё­вҐаў «Ґ $(a,b)$. ’ Є
¤«п дг­ЄжЁЁ $f(x)=1/x$ ўлЇ®«­пҐвбп $f\in D(0,1)$, ­® ­Ё ў ®¤­®©
в®зЄҐ $(0,1)$ дг­ЄжЁп $f$ ­Ґ ЇаЁ­Ё¬ Ґв ­ ЁЎ®«м襣® §­ зҐ­Ёп, ¤  Ё
б ¬®Ј® §­ зҐ­Ёп б нвЁ¬ бў®©бвў®¬ ­Ґ бгйҐбвўгҐв.

\noindent{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ 1}. ”г­ЄжЁп $f\in D(\langle a,b\rangle)$
­ §лў Ґвбп ўлЇгЄ«®© ў­Ё§ (ўўҐае) ­  $\langle a,b\rangle$, Ґб«Ё ў
Є ¦¤®© в®зЄҐ $x_0\in \langle a,b\rangle$ Ја дЁЄ дг­ЄжЁЁ $f$ «Ґ¦Ёв
­Ґ ­Ё¦Ґ (­Ґ ўлиҐ) Є б вҐ«м­®© Є дг­ЄжЁЁ ў нв®© в®зЄҐ:
$$f(x)\geqslant f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\qquad (f(x)\leqslant
f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0))$$ ЇаЁ ўбҐе $x\in \langle a,b\rangle$ Ё
$x_0\in \langle a,b\rangle$.

\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬  6} /$f\in D^2(\langle a,b\rangle)$,
$f''(x)\geqslant 0$ ­  $\langle a,b\rangle$/$\Rightarrow$ $f$
ўлЇгЄ«  ў­Ё§ ­  $\langle a,b\rangle$.

\noindent$\lhd:$ ‚롥६ $x,x_0\in\langle a,b\rangle$ Їа®Ё§ў®«м­®.
Џ® д®а¬г«Ґ ‹ Ја ­¦  $$f(x)-f(x_0)-
f'(x_0)(x-x_0)=(f'(c)-f'(x_0))(x-x_0)\geqslant 0,$$ в Є Є Є $c\in
(x_0,x)$ Ё $f'(x)$ --- ў®§а бв ой п ­  $(x_0,x)$ дг­ЄжЁп. $\rhd$

Ђ­ «®ЈЁз­® Ї®Є §лў Ґвбп, зв® Ґб«Ё $f''(x)\leqslant 0$ ­  $\langle
a,b\rangle$, в® $f$ ўлЇгЄ«  ўўҐае ­  $\langle a,b\rangle$.

\noindent{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ 2}. ’®зЄ®© ЇҐаҐЈЁЎ  дг­ЄжЁЁ $f\in
D(\langle a,b\rangle)$ ­ §лў ов в®зЄг, ў Є®в®а®© Їа®Ёб室Ёв
Ё§¬Ґ­Ґ­ЁҐ ўлЇгЄ«®бвЁ б ўлЇгЄ«®бвЁ ў­Ё§ ­  ўлЇгЄ«®бвм ўўҐае Ё«Ё
®Ўа в­®.

\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬  7} /$f\in D^2(\langle a,b\rangle)$, $x_0\in
(a,b)$, $f''(x_0)=0$, $f''$ ¬Ґ­пҐв §­ Є ЇаЁ ЇҐаҐе®¤Ґ зҐаҐ§ в®зЄг
$x_0$/$\Rightarrow$ $x_0$ --- в®зЄ  ЇҐаҐЈЁЎ  дг­ЄжЁЁ $f$.

\noindent$\lhd:$ Љ Є Ё а ­миҐ Їа®ўҐаЁ¬ «Ёим Ї®«®ўЁ­г г⢥তҐ­Ёп
⥮६л --- ¤агЈ п Їа®ўҐапҐвбп Ї®  ­ «®ЈЁЁ. Џгбвм, ­ ЇаЁ¬Ґа,
$\delta>0$ в Є®ў®, зв®

$f''(x)\geqslant 0$ ЇаЁ $x\in [x_0-\delta,x_0)$,

$f''(x)\leqslant 0$ ЇаЁ $x\in (x_0,x_0+\delta]$.

\noindent Џ® ⥮६Ґ 6 дг­ЄжЁп $f$ ўлЇгЄ«  ў­Ё§ ­ 
$[x_0-\delta,x_0]$ Ё ўлЇгЄ«  ўўҐае ­  $[x_0,x_0+\delta]$. $\rhd$

\noindent{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ 3}. Џгбвм $f:(a,+\infty)\to\RR$. …б«Ё
¤«п $k,l\in\RR$ ўлЇ®«­пҐвбп гб«®ўЁҐ $f(x)=kx+l+\bar{o}(1)$ ЇаЁ
$x\to + \infty$, в® Їап¬ п $y=kx+l$ ­ §лў Ґвбп  бЁ¬Їв®в®©
(­ Є«®­­®©) дг­ЄжЁЁ $f$ ЇаЁ $x\to +\infty$. Ђ­ «®ЈЁз­®
®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп  бЁ¬Їв®в  дг­ЄжЁЁ $f$ ЇаЁ $x\to -\infty$.

\noindent{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ 4}. Џгбвм $f$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  ў ­ҐЄ®в®а®©
®ЄаҐбв­®бвЁ в®зЄЁ $x_0$ (Ўлвм ¬®¦Ґв Ё ®¤­®бв®а®­­Ґ©). …б«Ё
ўлЇ®«­пҐвбп е®вп Ўл ®¤­® Ё§ $$\lim_{x\to
x_0-0}f(x)=\pm\infty,\qquad \lim_{x\to x_0+0}f(x)=\pm\infty,$$ в®
Їап¬ п $x=x_0$ ­ §лў Ґвбп ўҐавЁЄ «м­®©  бЁ¬Їв®в®© дг­ЄжЁЁ $f$.

„«п ­ е®¦¤Ґ­Ёп ­ Є«®­­ле  бЁ¬Їв®в ®Ўлз­® ўлзЁб«по⠯।Ґ«л
$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=k,\qquad
\lim_{x\to\infty}(f(x)-kx)=l.$$
Соседние файлы в папке ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ