ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ / Lma05

\section*{\it ‹ҐЄжЁп 5.}

\noindent{\bf ‹®Ј аЁд¬ЁзҐбЄ®Ґ ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁҐ.}

Џгбвм $y=\ln z$, $z=\varphi (x)$ --- б«®¦­ п дг­ЄжЁп. ’®Ј¤ , Ї®
Їа ўЁ«г ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­Ёп б«®¦­®© дг­ЄжЁЁ, $$y'_x=(\ln z)'_x=(\ln
z)'_z\, z'_x=\frac 1z z'_x.$$ Џа®Ё§ў®¤­ п ®в «®Ј аЁд¬  дг­ЄжЁЁ
­ §лў Ґвбп {\it «®Ј аЁд¬ЁзҐбЄ®© Їа®Ё§ў®¤­®©} дг­ЄжЁЁ.

\noindent{\bf „ЁддҐаҐ­жЁ «, ҐЈ® ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб«, ЇаЁ¬Ґ­Ґ­ЁҐ Є
ЇаЁЎ«Ё¦Ґ­­л¬ ўлзЁб«Ґ­Ёп¬. €­ў аЁ ­в­®бвм д®а¬л I-Ј®
¤ЁддҐаҐ­жЁ « .}

Џгбвм дг­ЄжЁп $f:(a,b)\to\RR$ ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬  ў в®зЄҐ $x\in(a,b)$.
{\it „ЁддҐаҐ­жЁ «®¬} дг­ЄжЁЁ $f$ ў в®зЄҐ $x$ ­ §лў ов «Ё­Ґ©­го
дг­ЄжЁо $df(x):\RR\to\RR$, Є®в®а п зЁб«г $dx$ б®Ї®бв ў«пҐв зЁб«®
$f'(x) dx$, пў«ппбм, в ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ®ЇҐа в®а®¬ г¬­®¦Ґ­Ёп ­ 
$f'(x)$. ‚ ¦­® Ї®¤зҐаЄ­гвм, зв® $x$ Ё $dx$ --- ¤ўҐ а §«Ёз­лҐ
­Ґ§ ўЁбЁ¬лҐ ЇҐаҐ¬Ґ­­лҐ. ЏҐаў п, $x$, ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв ®Ў« бвЁ
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп $(a,b)$ дг­ЄжЁЁ $f$, ў ­Ґ© ўлзЁб«пҐвбп §­ зҐ­ЁҐ
Їа®Ё§ў®¤­®©, ўв®а п, $dx$,
--- Ё§¬Ґ­пҐвбп ­  зЁб«®ў®© Їаאַ©, ў нвЁе в®зЄ е ўлзЁб«повбп
§­ зҐ­Ёп «Ё­Ґ©­®© дг­ЄжЁЁ ${df}(x)$. ЏаЁ н⮬ §­ зҐ­ЁҐ дг­ЄжЁЁ
${df}(x)$ ­  н«Ґ¬Ґ­вҐ $dx$ § ЇЁблў ов ў ўЁ¤Ґ $df(x)=f'(x) dx$,  
Їа®Ё§ў®¤­го -- ў ўЁ¤Ґ ®в­®иҐ­Ёп ¤ЁддҐаҐ­жЁ «®ў:
$f'(x)=\frac{df(x)}{dx}$.

ѓҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб« ¤ЁддҐаҐ­жЁ «  бў®¤Ёвбп Є ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄ®¬г
б¬лб«г Їа®Ё§ў®¤­®© дг­ЄжЁЁ $f$. Џ®бЄ®«мЄг Їа®Ё§ў®¤­ п ў в®зЄҐ $x$
--- нв® в ­ЈҐ­б гЈ«  ­ Є«®­  Є б вҐ«м­®© ў нв®© в®зЄҐ, в®
¤ЁддҐаҐ­жЁ « дг­ЄжЁЁ $f$ ў в®зЄҐ $x$ ­  н«Ґ¬Ґ­вҐ $dx$ нв®
ЇаЁа йҐ­ЁҐ ®а¤Ё­ вл Є б вҐ«м­®© Є Ја дЁЄг дг­ЄжЁЁ ў в®зЄҐ $x$,
Є®Ј¤  $x$ Ї®«гз Ґв ЇаЁа йҐ­ЁҐ $dx$.

„«п ¬ «®Ј® §­ зҐ­Ёп ЇаЁа йҐ­Ёп  аЈг¬Ґ­в  $\Delta x$ дг­ЄжЁЁ $f\in
D(x)$ ў в®зЄҐ $x$ бЇа ўҐ¤«Ёў  ЇаЁЎ«Ё¦Ґ­­ п д®а¬г«  $$f(x+\Delta
x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x=f(x)+\frac{df(x)}{dx}(\Delta x).$$
€бЇ®«м§®ў ­ЁҐ нв®© д®а¬г«л Ґбвм бгвм да §л ® ЇаЁ¬Ґ­Ґ­ЁЁ
Їа®Ё§ў®¤­®© Ё«Ё ¤ЁддҐаҐ­жЁ «  ў ЇаЁЎ«Ё¦Ґ­­ле ўлзЁб«Ґ­Ёпе.

‘®Ј« б­® д®а¬г«Ґ ® Їа®Ё§ў®¤­®© б«®¦­®© дг­ЄжЁЁ, ¤«п Є®¬Ї®§ЁжЁЁ
$h=g\circ f$ ®в®Ўа ¦Ґ­Ёп $f:(a,b)\to (A,B)$, ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®Ј® ў
в®зЄҐ $x\in (a,b)$, Ё $g:(A,B)\to\RR$, ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®Ј® ў в®зЄҐ
$y=f(x)\in (A,B)$, $$h'(x)=g'(y)f'(x).$$ Џ®н⮬г
$$dh(x)=h'(x)dx=g'(y)f'(x)dx=g'(y)df(x)=g'(f(x))df(x).$$ ђ ўҐ­бвў®
$dh(x)=h'(x)dx=g'(f(x))df(x)$ ўла ¦ Ґв б®Ў®© Ё­ў аЁ ­в­®бвм д®а¬л
I-Ј® ¤ЁддҐаҐ­жЁ « : ¤ЁддҐаҐ­жЁ « дг­ЄжЁЁ а ўҐ­ Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёо
Їа®Ё§ў®¤­®© нв®© дг­ЄжЁЁ ­  ¤ЁддҐаҐ­жЁ «  аЈг¬Ґ­в , ЇаЁ н⮬
ЎҐ§а §«Ёз­®, Ўг¤Ґв «Ё нв®в  аЈг¬Ґ­в ­Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ­­®© Ё«Ё
¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®© дг­ЄжЁҐ© ®в ¤агЈ®© ­Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ­­®©.

\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬л ”Ґа¬ , ђ®««п, ‹ Ја ­¦ , Љ®иЁ.}

\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬  1.} (”Ґа¬ ) /$f:(a,b)\to\RR$, $x_0\in
(a,b)$, $f\in D(x_0)$, $f(x_0)\leqslant f(x)$ ¤«п ўбҐе $x\in
(a,b)$/$\Rightarrow$ $f'(x_0)=0$.

\noindent$\lhd:$ …б«Ё $x<x_0$, в®
$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leqslant 0,$$   Ґб«Ё $x>x_0$, в®
$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geqslant 0.$$ €бЇ®«м§гп ЇҐаў®Ґ
­Ґа ўҐ­бвў®, Ї®«гзЁ¬, зв® $f'(x_0)\leqslant 0$, ўв®а®Ґ
--- зв® $f'(x_0)\geqslant 0$. Џ®н⮬г $f'(x_0)=0$. $\rhd$

\noindent{\bf ‘«Ґ¤бвўЁҐ} /$f:(a,b)\to\RR$, $x_0\in (a,b)$, $f\in
D(x_0)$, $f(x_0)\geqslant f(x)$ $\forall$ $x\in
(a,b)$/$\Rightarrow$ $f'(x_0)=0$.

ѓҐ®¬ҐваЁзҐбЄ п б¬лб« вҐ®аҐ¬л ”Ґа¬  б®бв®Ёв ў ⮬, зв® Ґб«Ё ў в®зЄҐ
$x_0\in (a,b)$ дг­ЄжЁп ЇаЁ­Ё¬ Ґв ­ ЁЎ®«м襥 Ё«Ё ­ Ё¬Ґ­м襥
§­ зҐ­ЁҐ, в® Є б вҐ«м­ п Є Ја дЁЄг дг­ЄжЁЁ ў нв®© в®зЄҐ
Ї а ««Ґ«м­  ®бЁ $Ox$.

€§ нв®© ⥮६л б«Ґ¤гҐв в Є¦Ґ, зв® Ґб«Ё дг­ЄжЁп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  ­ 
­ҐЄ®в®а®¬ Ё­вҐаў «Ґ Ё ў Є Є®©-в® в®зЄҐ нв®Ј® Ё­вҐаў «  ЇаЁ­Ё¬ Ґв
§­ зҐ­ЁҐ, пў«по饥бп ­ ЁЎ®«миЁ¬ Ё«Ё ­ Ё¬Ґ­миЁ¬ ў ­ҐЄ®в®а®©
®ЄаҐбв­®бвЁ гЄ § ­­®© в®зЄЁ (  ­Ґ ®Ўп§ вҐ«м­® ­  ўбҐ¬ Ё­вҐаў «Ґ,
­  Є®в®а®¬ а бб¬ ваЁў Ґвбп дг­ЄжЁп), в® Їа®Ё§ў®¤­ п ў нв®© в®зЄҐ
а ў­  ­г«о, Ё, б«Ґ¤®ў вҐ«м­®, Є б вҐ«м­ п ў ᮮ⢥вбвўго饩 в®зЄҐ
Ја дЁЄ  дг­ЄжЁЁ Ј®аЁ§®­в «м­ .

\noindent{\bf ‡ ¬Ґз ­ЁҐ}. Ђ­ «®ЈЁз­®Ґ г⢥তҐ­ЁҐ ¤«п дг­ЄжЁ©,
§ ¤ ­­ле ­  ®в१ЄҐ $[a,b]$ ў®®ЎйҐ Ј®ў®ап ­ҐўҐа­®. ЏаЁ¬Ґа, ---
дг­ЄжЁп $f(x)=x$ ­  ®в१ЄҐ $[0,1]$. (…б«Ё нвг дг­ЄжЁо
а бб¬ ваЁў вм ­  Ё­вҐаў «Ґ $(0,1)$, в® ­  ­Ґ¬ $f(x)$ ­Ґ ЇаЁ­Ё¬ Ґв
­Ё ¬Ё­Ё¬ «м­®Ј®, ­Ё ¬ ЄбЁ¬ «м­®Ј® §­ зҐ­Ёп.)

\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬  2.} (ђ®««м) /$f\in C[a,b]$, $f\in D(a,b)$,
$f(a)=f(b)$/$\Rightarrow$ $\exists x_0\in (a,b):$ $f'(x_0)=0$.

\noindent$\lhd:$ ’Ґ®аҐ¬  ‚Ґ©Ґаива бб : /$f\in
C([a,b],\RR)$/$\Rightarrow$ $f$ ¤®бвЁЈ Ґв ­  $[a,b]$ бў®Ёе
¬Ё­Ё¬ «м­®Ј® Ё ¬ ЄбЁ¬ «м­®Ј® §­ зҐ­Ё©. Џгбвм $M=\max f(x)$,
$m=\min f(x)$, в®Ј¤  $m\leqslant f(x)\leqslant M$ ¤«п ўбҐе $x\in
[a,b]$. …б«Ё $m=M$, в® $f$ Ї®бв®п­­ , Ё ў Є зҐб⢥ $x_0$ ¬®¦­®
ў§пвм «оЎго в®зЄг $(a,b)$. …б«Ё $m\neq M$, в®, Ё§-§  $f(a)=f(b)$,
е®вп Ўл ®¤­® Ё§ $m$ Ё«Ё $M$ ­Ґ ЇаЁ­Ё¬ Ґвбп ­  Є®­ж е ®в१Є 
$[a,b]$. Џгбвм, ­ ЇаЁ¬Ґа, ¤«п ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®бвЁ $x_0\in (a,b)$
в Є®ў®, зв® $f(x_0)=M$. Џ® ⥮६Ґ ”Ґа¬  $f'(x_0)=0$. $\rhd$

ѓҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ ⥮६  ђ®««п ®§­ з Ґв, зв® г Ја дЁЄ  ­ҐЇаҐалў­®© ­ 
®в१ЄҐ Ё ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®© ў­гваЁ ­ҐЈ® дг­ЄжЁЁ, ЇаЁ­Ё¬ о饩 ­ 
Є®­ж е нв®Ј® ®в१Є  ®¤Ё­ Є®ўлҐ §­ зҐ­Ёп, бгйҐбвўгҐв в®зЄ , ў
Є®в®а®© Є б вҐ«м­ п Ї а ««Ґ«м­  ®бЁ $Ox$.

\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬  3.} (Љ®иЁ) /$f,g\in C[a,b]$, $f,g\in
D(a,b)$, $g'(x)\neq 0$ ЇаЁ $x\in (a,b)$/$\Rightarrow$ $\exists
x_0\in (a,b):$
$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a))}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$$ (®вбо¤  ў
з бв­®бвЁ б«Ґ¤гҐв, зв® $g(b)\neq g(a)$).

\noindent$\lhd:$ ’® зв® $g(b)\neq g(a)$, б«Ґ¤гҐв Ё§ вҐ®аҐ¬л ђ®««п.
ђ бᬮваЁ¬ ўбЇ®¬®Ј вҐ«м­го дг­ЄжЁо $$h(x)=\begin{vmatrix}f(x) &
g(x) & 1\\f(a) & g(a) & 1\\f(b) & g(b) & 1\end{vmatrix}.$$ ’®Ј¤ 
$h\in C[a,b]$, $h\in D(a,b)$, $h(a)=h(b)=0$. Џ® ⥮६Ґ ђ®««п
­ ©¤Ґвбп $x_0\in (a,b)$, в Є п зв® $h'(x_0)=0$. ќв® ®§­ з Ґв, зв®
$$\begin{vmatrix}f'(x_0) & g'(x_0) & 0\\f(a) & g(a) & 1\\f(b) &
g(b) & 1\end{vmatrix}= f'(x_0)(g(a)-g(b))-g'(x_0)(f(a)-f(b))=0.\
\rhd$$

\noindent{\bf ‘«Ґ¤бвўЁҐ} (⥮६  ‹ Ја ­¦ ) /$f\in C[a,b]$, $f\in
D(a,b)$/$\Rightarrow$ $\exists x_0\in (a,b):$
$$f(b)-f(a)=f'(x_0)(b-a).$$

\noindent ќв  ⥮६  Ї®Є §лў Ґв, зв® ¤®«¦­  ­ ©вЁбм в®зЄ  $x_0$
(Ўлвм ¬®¦Ґв Ё ­Ґ ®¤­ ), ў Є®в®а®© Є б вҐ«м­ п Є Ја дЁЄг
Ї а ««Ґ«м­  е®а¤Ґ, ᮥ¤Ё­по饩 в®зЄЁ $(a,f(a))$, $(b,f(b))$.

\noindent{\bf ‹Ґ¬¬ } /$f\in C(\langle a,b\rangle)$, $f'(x)=0$ ­ 
$(a,b)$/$\Rightarrow$ $f(x)=\,$const ­  $\langle a,b\rangle$.

\noindent$\lhd:$ Џгбвм $x_1,x_2\in \langle a,b\rangle$. ’®Ј¤  Ї®
⥮६Ґ ‹ Ја ­¦  ­ ©¤Ґвбп $x_0\in (x_1,x_2)$, ў Є®в®а®©
$$f(x_2)-f(x_1)=f'(x_0)(x_2-x_1)=0.\ \rhd$$

\noindent{\bf ‹Ґ¬¬ } /$f\in C(a,b)$, $c\in (a,b)$, $f\in D(a,c)$,
$f\in D(c,b)$, $\exists \lim_{x\to c}f'(x)=A$/$\Rightarrow$ $f\in
D(a,b)$ Ё $f'(c)=A$.

\noindent$\lhd:$ Џ®«м§гҐ¬бп ⥮६®© ‹ Ја ­¦ :
$$\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f'(x_0)$$ ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј® $x_0\in (x,c)$.
Џ®бЄ®«мЄг $x_0\in (x,c)$, в® ЇаЁ $x\to c$ ®Ўп§ вҐ«м­® $x_0\to c$ Ё
$f'(x_0)\to A$. Џ®н⮬г $$\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\to A$$ ЇаЁ $x\to
c$. $\rhd$