ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ / LMA06

\section*{\it ‹ҐЄжЁп 6.}

\noindent{\bf Џа ўЁ«  ‹®ЇЁв «п.}

\noindent{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ 1.} (ЎҐбЄ®­Ґз­®Ј® ЇаҐ¤Ґ«  дг­ЄжЁЁ).
$f:(a,b)\backslash x_0\to\RR$. $\lim\limits_{x\to
x_0}f(x)=+\infty$ ®§­ з Ґв, зв® $$\forall M>0 \
\exists\delta=\delta(M)>0 :\ \forall x\in {\cal O}_{\delta}'(x_0)
\Rightarrow f(x)>M.$$

\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬  1.} (Їа ўЁ«  ‹®ЇЁв «п $(0/0)$) /$f,g\in
D({\cal O}'_{\delta}(x_0))$, $\lim\limits_{x\to
x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0$, $g'(x)\neq 0$ ў ${\cal
O}'_{\delta}(x_0)$, бгйҐбвўгҐв Є®­Ґз­л© Ё«Ё ЎҐбЄ®­Ґз­л© ЇаҐ¤Ґ«
$\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)/g'(x)$/$\Rightarrow$ $$1).\ \exists
\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)},\quad 2).
\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to
x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$$

\noindent$\lhd:$ „®®ЇаҐ¤Ґ«Ё¬ дг­ЄжЁЁ $f$ Ё $g$ ў в®зЄҐ $x_0$,
Ї®«®¦Ёў $f(x_0)=g(x_0)=0$. Џ® ⥮६Ґ Љ®иЁ:
$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)},$$
¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј® $\xi\in (x,x_0)$, $\xi=\xi(x)$ -- ­ҐЄ®в®а п дг­ЄжЁп
 аЈг¬Ґ­в  $x$. Џ®бЄ®«мЄг $\xi(x)\in (x,x_0)$ ЇаЁ «оЎ®¬ $x$ Ў«Ё§Є®¬
Є $x_0$, в® ЇаЁ $x\to x_0$ ®Ўп§ вҐ«м­® $\xi(x)\to x_0$. Џ®н⮬г
$$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to
x_0}\frac{f'(\xi(x))}{g'(\xi(x))}=\lim\limits_{\xi(x)\to
x_0}\frac{f'(\xi(x))}{g'(\xi(x))}=\lim\limits_{x\to
x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.\ \rhd$$

\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬  2.} (Їа ўЁ«  ‹®ЇЁв «п $(\infty/\infty)$)
({\bf ЎҐ§ ¤®Є § вҐ«мбвў }) /$f,g\in D({\cal O}'_{\delta}(x_0))$,\\
$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=\infty$,
$g'(x)\neq 0$ ў ${\cal O}'_{\delta}(x_0)$, бгйҐбвўгҐв Є®­Ґз­л© Ё«Ё
ЎҐбЄ®­Ґз­л© ЇаҐ¤Ґ« $\lim\limits_{x\to
x_0}f'(x)/g'(x)$/$\Rightarrow$ $$1).\ \exists \lim\limits_{x\to
x_0}\frac{f(x)}{g(x)},\quad 2). \lim\limits_{x\to
x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$$

\noindent{\bf ‡ ¬Ґз ­ЁҐ 1}. ’Ґ®аҐ¬л ®бв овбп бЇа ўҐ¤«Ёўл¬Ё в Є¦Ґ Ё
¤«п б«гз п, Є®Ј¤  $x_0=\infty$. Ља®¬Ґ в®Ј® ®­Ё ўҐа­л в Є¦Ґ Ё ¤«п
®¤­®бв®а®­­Ёе ЇаҐ¤Ґ«®ў.

\noindent{\bf ‡ ¬Ґз ­ЁҐ 2}. …б«Ё ЇаҐ¤Ґ« $\lim\limits_{x\to
x_0}f'(x)/g'(x)$ ­Ґ бгйҐбвўгҐв, в® нв® ­Ґ ®§­ з Ґв, зв® ­Ґ
бгйҐбвўгҐв ЇаҐ¤Ґ« $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)/g(x)$.

\noindent{\bf ‡ ¬Ґз ­ЁҐ 3}. €­®Ј¤  Їа ўЁ«  ‹®ЇЁв «п ЇаЁ¬Ґ­пов
Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­® ­ҐбЄ®«мЄ® а §.

„агЈЁҐ ўЁ¤л ­Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®б⥩: $(0\cdot\infty)$,
$(\infty-\infty)$, $(0^0)$, $(\infty^0)$, $(1^{\infty})$
(Ї®б«Ґ¤­ЁҐ ваЁ ЇҐаҐ¤ а бᬮв७ЁҐ¬ 㤮Ў­® Їа®«®Ј аЁд¬Ёа®ў вм), ---
а §«Ёз­л¬Ё ⮦¤Ґб⢥­­л¬Ё ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ёп¬Ё бв а овбп ᢥбвЁ Є
®б­®ў­л¬ вЁЇ ¬ $(0/0)$ Ё«Ё $(\infty/\infty)$.

\noindent{\bf ЃҐбЄ®­Ґз­® ¬ «лҐ Ё ЎҐбЄ®­Ґз­® Ў®«миЁҐ дг­ЄжЁЁ
(­ Ї®¬Ё­ ­ЁҐ).}

Ѓг¤Ґ¬ а бб¬ ваЁў вм ¤Ґ©б⢨⥫쭮§­ з­лҐ дг­ЄжЁЁ, § ¤ ­­лҐ ­ 
Ё­вҐаў «Ґ $(a,b)$ (Є®­Ґз­®¬ Ё«Ё ЎҐбЄ®­Ґз­®¬), Єа®¬Ґ, Ўлвм ¬®¦Ґв,
в®зЄЁ $x_0\in [a,b]$.

”г­ЄжЁо $f$ ­ §лў ов ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «®© (ЇаЁ $x\to x_0$), Ґб«Ё
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=0.$$ ”г­ЄжЁо $1/f$ ­ §лў ов ЇаЁ н⮬
ЎҐбЄ®­Ґз­® Ў®«ми®© (ЇаЁ $x\to x_0$). ‡ ЇЁбм $f(x)=\bar{o}(1)=o(1)$
®§­ з Ґв, зв® $f$ пў«пҐвбп ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «®© (ЇаЁ $x\to x_0$).
“б«®ўЁҐ (ЇаЁ $x\to x_0$) ­Ґ ўе®¤Ёв ў ®д®а¬«Ґ­ЁҐ $f(x)=o(1)$, ®­®
¤®Ў ў«пҐвбп Ґб«Ё нв®Ј® вॡгҐв Є®­вҐЄбв, ­® з бв® нв®Ј® ¤®Ў ў«Ґ­Ёп
­Ґ вॡгҐвбп ў®ўбҐ.

\noindent{\bf ‘«Ґ¤бвўЁҐ}. /$f:(a,b)\backslash \{x_0\}\to\RR$,
$x_0\in [a,b]$/$\Rightarrow$ $$\lim_{x\to x_0}f(x)=A\qquad
\Leftrightarrow\qquad f(x)=A+o(1).$$

ЋЎ®§­ зҐ­ЁҐ $f(x)=o(g(x))$ ЇаЁ $x\to x_0$ ®§­ з Ґв, зв®
$f(x)=\alpha(x) g(x)$, Ј¤Ґ $\alpha(x)=o(1)$ (ЇаЁ $x\to x_0$).

‘«Ґ¤гҐв Ї®¤зҐаЄ­гвм, зв® § ЇЁбм $f(x)=o(1)$ д ЄвЁзҐбЄЁ ®§­ з Ґв
ЇаЁ­ ¤«Ґ¦­®бвм $$f\in\{h\ |\ \lim_{x\to x_0}h(x)=0\}.$$ Џ®н⮬г
з бв® ¬®¦­® ўбваҐвЁвм § ЇЁбЁ в Є®Ј® вЁЇ 
$x=2x+o(1)=x^2+o(1)=o(1)$. ‚ нв®© § ЇЁбЁ ЇҐаў®Ґ а ўҐ­бвў® Ї®
бгйҐбвўг пў«пҐвбп § ¬Ґ­ЁвҐ«Ґ¬ §­ Є  $"\in"$,   Ї®б«Ґ¤гойЁҐ
ўла ¦ ов б®ўЇ ¤Ґ­ЁҐ ¬­®¦Ґбвў дг­ЄжЁ©.