ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ / LMA03

\section*{\it ‹ҐЄжЁп 3.}

\noindent {\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ 1.} (®¤­®бв®а®­­ҐЈ® ЇаҐ¤Ґ«  дг­ЄжЁЁ).
$f:(a,b)\to\RR$. $A=\lim\limits_{x\to +a}f(x)$ ®§­ з Ґв, зв®
$$\forall\varepsilon>0 \ \exists\delta=\delta(\varepsilon)>0 :\
\forall x\in {\cal O}_{\delta}'(a),\ x>a \Rightarrow
|f(x)-A|<\varepsilon.$$

ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ $\lim\limits_{x\to -b}f(x)$ ¤Ґ« Ґвбп  ­ «®ЈЁз­®
(ᤥ« вм б ¬®бв®п⥫쭮).

\noindent {\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ 2.} ”г­ЄжЁп $\alpha(x)$ ­ §лў Ґвбп
ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «®© ЇаЁ $x\to a$, Ґб«Ё ЇаЁ ­ҐЄ®в®а®¬ $\delta>0$ нв 
дг­ЄжЁп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  ў ®ЄаҐбв­®бвЁ ${\cal O}_{\delta}'(a)$ Ё
$$\lim_{x\to a}\alpha(x)=0.$$ Ђ­ «®ЈЁз­® ®ЇаҐ¤Ґ«повбп ЎҐбЄ®­Ґз­®
¬ « п дг­ЄжЁп ЇаЁ $x\to +a$ Ё $x\to -a$,   в Є¦Ґ ЇаЁ $x\to
+\infty$ Ё $x\to -\infty$ (ᤥ« вм б ¬®бв®п⥫쭮).

\noindent {\bf ‡ ¬Ґз ­ЁҐ 1.} …б«Ё $\lim\limits_{x\to a}f(x)=A$, в®
Ї® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо ЇаҐ¤Ґ«  Ї®«гзЁ¬ $\lim\limits_{x\to a}(f(x)-A)=0$,
в.Ґ. $$f(x)=A+\alpha(x),$$ Ј¤Ґ $\alpha(x)$ -- ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ « п ЇаЁ
$x\to a$. ‚Ґа­® в Є¦Ґ Ё ®Ўа в­®Ґ: Ґб«Ё $f(x)=A+\alpha(x)$, Ј¤Ґ
$\alpha(x)$ -- ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ « п ЇаЁ $x\to a$, в®
$\lim\limits_{x\to a}f(x)=A$.

\noindent {\bf ‡ ¬Ґз ­ЁҐ 2.} ”г­ЄжЁп $\alpha(x)\equiv 0$ пў«пҐвбп
ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «®© ЇаЁ $x\to a$ ¤«п «оЎ®Ј® $a\in\RR$.

Ћб­®ў­лҐ вҐ®аҐ¬л ® ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «ле пў«повбп, ў ®б­®ў­®¬,
б«Ґ¤бвўЁп¬Ё ⥮६ ® бў®©бвў е ЇаҐ¤Ґ«  дг­ЄжЁЁ:\\ {\bf ‘«Ґ¤бвўЁҐ
1.} (вҐ®аҐ¬л ® ЇаҐ¤Ґ«Ґ б㬬л) ‘㬬  ¤ўге ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «ле ЇаЁ
$x\to a$ дг­ЄжЁ© пў«пҐвбп ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «®© ЇаЁ $x\to a$
дг­ЄжЁҐ©.\\ {\bf ‘«Ґ¤бвўЁҐ 2.} (вҐ®аҐ¬л ® ЇаҐ¤Ґ«Ґ Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёп)
Џа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ ¤ўге ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «ле ЇаЁ $x\to a$ дг­ЄжЁ© пў«пҐвбп
ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «®© ЇаЁ $x\to a$ дг­ЄжЁҐ©.\\ ќвЁ б«Ґ¤бвўЁп
бЇа ўҐ¤«Ёўл в Є¦Ґ ¤«п б㬬 Ё Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ё© «оЎ®Ј® Є®­Ґз­®Ј® зЁб« 
ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «ле ЇаЁ $x\to a$ дг­ЄжЁ©, ¤«п ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «ле ЇаЁ
$x\to\pm a$ Ё ¤«п ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «ле  ЇаЁ $x\to\pm \infty$.

ѓ®ў®апв, зв® дг­ЄжЁп $f(x)$ ®Ја ­ЁзҐ­  ЇаЁ $x\to a$, Ґб«Ё ЇаЁ
­ҐЄ®в®а®¬ $\nu>0$ нв  дг­ЄжЁп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  Ё ®Ја ­ЁзҐ­  ў
®ЄаҐбв­®бвЁ ${\cal O}_{\nu}(a)$.

\noindent {\bf ’Ґ®аҐ¬ .} /”г­ЄжЁп $f(x)$ ®Ја ­ЁзҐ­ ,   дг­ЄжЁп
$\alpha(x)$ ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «  ЇаЁ $x\to a$/ $\Rightarrow$
$f(x)\cdot\alpha(x)$ -- ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «  ЇаЁ $x\to a$.

\noindent $\lhd$: ‘®Ј« б­® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо ®Ја ­ЁзҐ­­®бвЁ ўлЎҐаҐ¬
$\nu>0$ Ё $M>0$ в Є, зв®Ўл ЇаЁ $x\in {\cal O}_{\nu}'(a)$
ўлЇ®«­п«®бм гб«®ўЁҐ $|f(x)|<M$.

„ «ҐҐ, Ї® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо ЇаҐ¤Ґ«  ў®§м¬Ґ¬ $\varepsilon>0$ Їа®Ё§ў®«м­®
Ё Ї®¤ЎҐаҐ¬ ¤«п ­ҐЈ® $\delta>0$ в Є, зв®Ўл ЇаЁ $x\in {\cal
O}_{\delta}'(a)$ ўлЇ®«­п«®бм гб«®ўЁҐ $|\alpha(x)|<\varepsilon/M$.

’®Ј¤  ¤«п $\rho=\min\{\delta,\nu\}$ ЇаЁ $x\in {\cal O}_{\rho}'(a)$
ўлЇ®«­повбп ­Ґа ўҐ­бвў  $$|\alpha(x)f(x)|<M\cdot\varepsilon/M=
\varepsilon.$$ ќв® ®§­ з Ґв, зв® $\lim\limits_{x\to a}
(\alpha(x)f(x))=0$. $\rhd$\\ „«п ®Ў®§­ зҐ­Ёп в®Ј®, зв® дг­ЄжЁп
$\alpha(x)$ пў«пҐвбп ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «®© ЇаЁ $x\to a$ ЁбЇ®«м§гов
§ ЇЁбм: $\alpha(x)=\bar{o}(1)$ ЇаЁ $x\to a$. ‡ ЇЁбм
$\alpha(x)=\bar{o}(\beta(x))$ ЇаЁ $x\to a$ ®§­ з Ґв, зв®
$\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\bar{o}(1)$ ЇаЁ $x\to a$ (Є Є Ё ўлиҐ
ў¬Ґбв® $x\to a$ ¬®¦Ґв ЇаЁбгвбвў®ў вм ®¤­®бв®а®­­Ё© ЇаҐ¤Ґ« Ё«Ё
ЇаҐ¤Ґ« ў ЎҐбЄ®­Ґз­® г¤ «Ґ­­®© в®зЄҐ).

‡­ Є а ўҐ­бвў  ў нвЁе ®Ў®§­ зҐ­Ёпе ЇаЁ­Ё¬ Ґв ­Ґбў®©б⢥­­го Ґ¬г
а®«м, Ї®бЄ®«мЄг б«Ґў  ў ­Ёе бв®Ёв дг­ЄжЁп $\alpha(x)$,   бЇа ў  --
¬­®¦Ґбвў® $\bar{o}(1)$ дг­ЄжЁ©. ќв® Їа®пў«пҐвбп, ­ ЇаЁ¬Ґа, ў ¤ўге
в ЄЁе ЇаЁ¬Ґа е:\\ 1. Ґб«Ё $\alpha(x)=\bar{o}(1)$, в®
$2\alpha(x)=\bar{o}(1)$,\\ 2. ¬®¦­® ­ ЇЁб вм
$\alpha(x)=\bar{o}(1)$ Ё ­Ґ ЇаЁ­пв® ЇЁб вм
$\bar{o}(1)=\alpha(x)$.\\ ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, §­ Є $"="$ б«г¦Ёв ў нвЁе
®Ў®§­ зҐ­Ёпе Є Є § ¬Ґ­ЁвҐ«м §­ Є  $"\in"$.

‚ўҐ¤Ґ­­лҐ Їа ўЁ«  ®д®а¬«Ґ­Ёп з бв® Ї®¬®Ј ов §­ зЁвҐ«м­® б®Єа вЁвм
ўлЄ« ¤ЄЁ, ­ ЇаЁ¬Ґа, ЇаЁ ўлзЁб«Ґ­ЁЁ ЇаҐ¤Ґ«®ў. ’ Є®ў , Є ЇаЁ¬Ґаг,
§ ЇЁбм $$\sin x=x+\bar{o}(x)$$ (нЄўЁў «Ґ­в­ п ЇҐаў®¬г
§ ¬Ґз вҐ«м­®¬г ЇаҐ¤Ґ«г) Ё Ґ© Ї®¤®Ў­лҐ. ‘ ҐҐ Ї®¬®ймо ўлзЁб«Ґ­ЁҐ
­ҐЄ®в®але ЇаҐ¤Ґ«®ў ¬®¦Ґв Ўлвм ®аЈ ­Ё§®ў ­® б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬:
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{x}=\lim_{x\to
0}\frac{5x+\bar{o}(5x)}{x}= \lim_{x\to
0}\frac{5+\bar{o}(1)}{1}=5.$$ Ћ¤­ Є® ЇаЁ ЁбЇ®«м§®ў ­ЁЁ ®Ў®§­ зҐ­Ё©
$\bar{o}(1)$ ­Ґ®Ўе®¤Ё¬® б®Ў«о¤ вм ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­го ®бв®а®¦­®бвм,
бўп§ ­­го ў ®б­®ў­®¬ б ў®§¬®¦­л¬ Ї®пў«Ґ­ЁҐ¬ ­Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®б⥩ ўЁ¤ 
$\frac 00$ Ё ¤агЈЁе.

\noindent {\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ 3.} (­ҐЇаҐалў­®бвЁ дг­ЄжЁЁ ў в®зЄҐ
$x_0$). ”г­ЄжЁп $f:(a,b)\to\RR$ ­ §лў Ґвбп ­ҐЇаҐалў­®© ў в®зЄҐ
$x_0\in(a,b)$, Ґб«Ё $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$. Ќ  п§лЄҐ
$\varepsilon$--$\delta$ нв® ўлЈ«п¤Ёв в Є: $$\forall\varepsilon>0 \
\exists\delta=\delta(\varepsilon)>0 :\ \forall x\in {\cal
O}_{\delta}(x_0) \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.$$
% $C(x_0)$ --- Є« бб дг­ЄжЁ©, ­ҐЇаҐалў­ле ў в®зЄҐ $x_0$.

\noindent {\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ 4} (в®зҐЄ а §алў  I-Ј® Ё II-Ј® த ).
”г­ЄжЁп $f:(a,b)\to\RR$ ­ §лў Ґвбп а §алў­®© ў в®зЄҐ
$x_0\in(a,b)$, Ґб«Ё ®­  ­Ґ пў«пҐвбп ­ҐЇаҐалў­®© ў в®зЄҐ $x_0$.
…б«Ё $x_0$ -- в®зЄ  а §алў  дг­ЄжЁЁ $f$ Ё бгйҐбвўгов Є®­Ґз­лҐ
ЇаҐ¤Ґ«л $$f(x_0-0)=\lim_{x\to -x_0}f(x),\quad f(x_0+0)=\lim_{x\to
+x_0}f(x),$$ в® $x_0$ ­ §лў ов в®зЄ®© а §алў  I-Ј® த . …б«Ё
$f(x_0-0)=f(x_0+0)$, в® $x_0$ ­ §лў ов в®зЄ®© гбва ­Ё¬®Ј® а §алў .
’®зЄ ¬Ё а §алў  II-Ј® த  ­ §лў ов в®зЄЁ а §алў , ­Ґ пў«пойЁҐбп
в®зЄ ¬Ё а §алў  I-Ј® த .

\noindent {\bf ’Ґ®аҐ¬  1} (® бў®©бвў е дг­ЄжЁ©, ­ҐЇаҐалў­ле ў
в®зЄҐ). /дг­ЄжЁЁ $f$ Ё $g$ ­ҐЇаҐалў­л ў в®зЄҐ $x_0$/ $\Rightarrow$

 ) дг­ЄжЁЁ $c\cdot f$ (c --- Є®­бв ­в ), $f+g$, $f\cdot g$
­ҐЇаҐалў­л ў в®зЄҐ $x_0$,

Ў) Ґб«Ё $g(x_0)\neq 0$, в® дг­ЄжЁп $f/g$ ­ҐЇаҐалў­  ў в®зЄҐ $x_0$.

\noindent $\lhd$: ќв  ⥮६  пў«пҐвбп б«Ґ¤бвўЁҐ¬ вҐ®аҐ¬л ®
бў®©бвў е ЇаҐ¤Ґ«  дг­ЄжЁ©. $\rhd$

\noindent Џгбвм $f:[a,b]\to [A,B]$, $g:[A,B]\to \RR$. ’®Ј¤ 
дг­ЄжЁо $h=g\circ f:[a,b]\to \RR$, ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­го Їа ўЁ«®¬
$h(x)=g(f(x))$, ­ §лў ов б«®¦­®© дг­ЄжЁҐ©.

\noindent {\bf ’Ґ®аҐ¬  2} (® ­ҐЇаҐалў­®бвЁ б«®¦­®© дг­ЄжЁЁ).
/дг­ЄжЁп $f$ ­ҐЇаҐалў­  ў в®зЄҐ $x_0$, дг­ЄжЁп $g$ ­ҐЇаҐалў­  ў
в®зЄҐ $y_0=f(x_0)$/ $\Rightarrow$ б«®¦­ п дг­ЄжЁп $g(f(x))$
­ҐЇаҐалў­  ў в®зЄҐ $x_0$.

\noindent $\lhd$: „ў ¦¤л ў®бЇ®«м§гҐ¬бп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ¬ ­ҐЇаҐалў­®бвЁ.
‡ дЁЄбЁа㥬 $\varepsilon>0$ Ё ўлЎҐаҐ¬ $\eta=\eta(\varepsilon)>0$
в Є, зв®Ўл $$\forall y\in {\cal O}_{\eta}(y_0) \Rightarrow
|g(y)-g(y_0)|<\varepsilon.$$ Џ® ўлЎа ­­®¬г $\eta$ Ї®¤ЎҐаҐ¬
$\delta=\delta(\eta)>0$ в Є, зв®Ўл $$\forall x\in {\cal
O}_{\delta}(x_0) \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\eta.$$ Џ®н⮬г
$$\forall x\in {\cal O}_{\delta}(x_0) \Rightarrow
|f(x)-f(x_0)|<\eta \Rightarrow f(x)\in{\cal O}_{\eta}(f(x_0))
\Rightarrow |g(f(x))-g(f(x_0))|<\varepsilon,$$ зв® Ё вॡ®ў «®бм
¤®Є § вм. $\rhd$

‡ ¬Ґз ­ЁҐ. “⢥তҐ­ЁҐ нв®© вҐ®аҐ¬л ¬®¦­® § ЇЁб вм ў ўЁ¤Ґ д®а¬г«л
$$\lim_{x\to x_0}g(f(x))=g\bigl(\lim_{x\to x_0}f(x)\bigr),$$

‘®ўҐа襭­®  ­ «®ЈЁз­® гбв ­ ў«Ёў Ґвбп

\noindent {\bf ’Ґ®аҐ¬  3}. /$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=y_0$,
дг­ЄжЁп $g$ ­ҐЇаҐалў­  ў в®зЄҐ $y_0$/ $\Rightarrow$
$\lim\limits_{x\to x_0}g(f(x))=g(y_0)$.

\noindent $\lhd$: Џ®«м§гҐ¬бп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ¬ ­ҐЇаҐалў­®бвЁ Ё
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ¬ ЇаҐ¤Ґ« . $\rhd$

\noindent {\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ 5} (­ҐЇаҐалў­®бвЁ дг­ЄжЁЁ). ”г­ЄжЁп
$f:(a,b)\to\RR$ ­ §лў Ґвбп ­ҐЇаҐалў­®© ­  $(a,b)$, Ґб«Ё ®­ 
­ҐЇаҐалў­  ў Є ¦¤®© в®зЄҐ $x_0\in (a,b)$. …б«Ё $f:[a,b]\to\RR$
­ҐЇаҐалў­  ­  $(a,b)$ Ё $$f(a)=\lim_{x\to +a}f(x),\quad
f(b)=\lim_{x\to -b}f(x),$$ в® $f$ ­ §лў Ґвбп ­ҐЇаҐалў­®© ­ 
$[a,b]$.

‘Ё¬ў®«л $C((a,b),\RR)$ Ё $C([a,b],\RR)$ ЁбЇ®«м§гов ¤«п ®Ў®§­ зҐ­Ёп
Є« бб®ў ўбҐе в ЄЁе дг­ЄжЁ©.

\noindent {\bf ’Ґ®аҐ¬  4}. /$f\in C([a,b],\RR)$, $a<b$,
$f(a)\leqslant 0$, $f(b)\geqslant 0$/ $\Rightarrow$ $\exists
x_0\in [a,b]:\ f(x_0)=0$.

\noindent $\lhd$: ЏаЁ¬Ґ­пҐ¬ ¬Ґв®¤ ¤Ґ«Ґ­Ёп ®в१Є  Ї®Ї®« ¬. Џ®
Ё­¤гЄжЁЁ бва®Ё¬ Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм $\{[a_n,b_n]\}_{n=1}^{\infty}$
®в१Є®ў. Џгбвм $a_1=a$, $b_1=b$, $c=(a_1+b_1)/2$. ’®Ј¤ 
$f(a_1)\leqslant 0$, $f(b_1)\geqslant 0$. …б«Ё $f(c)\leqslant 0$,
Ї®«®¦Ё¬ $a_2=б$, $b_2=b_1$, Ґб«Ё $f(c)> 0$, Ї®«®¦Ё¬ $a_2=a_1$,
$b_2=c$. ‚ «оЎ®¬ б«гз Ґ Ё¬ҐҐ¬ $$1)\ [a_2,b_2]\subset
[a_1,b_1],\quad 2)\ f(a_2)\leqslant 0, f(b_2)\geqslant 0,\quad 3)\
b_2-a_2=(b_1-a_1)/2.$$ ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬ ®в१®Є $[a_n,b_n]$,
$n\geqslant 2$, б® бў®©бвў ¬Ё $$1)\ [a_n,b_n]\subset
[a_{n-1},b_{n-1}],\quad 2)\ f(a_n)\leqslant 0, f(b_n)\geqslant
0,\quad 3)\ b_n-a_n=(b_{n-1}-a_{n-1})/2$$ Ї®бв஥­. Џ®«®¦Ё¬
$c=(a_n+b_n)/2$. …б«Ё $f(c)\leqslant 0$, в® $a_{n+1}=б$,
$b_{n+1}=b_n$, Ґб«Ё $f(c)> 0$, Ї®«®¦Ё¬ $a_{n+1}=a_n$, $b_{n+1}=
c$. ’®Ј¤  $$1)\ [a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_{n},b_{n}],\quad 2)\
f(a_{n+1})\leqslant 0, f(b_{n+1})\geqslant 0,\quad 3)\
b_{n+1}-a_{n+1}=(b_{n}-a_{n})/2.$$ Џ®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм
$\{[a_n,b_n]\}_{n=1}^{\infty}$ Ї®бв஥­ . ‘®Ј« б­® 1) нв 
Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм пў«пҐвбп ў«®¦Ґ­­®©; б®Ј« б­® 3)
$b_n-a_n=(b_1-a_1)/2^n$, в.Ґ. $\{[a_n,b_n]\}_{n=1}^{\infty}$ Ї®
¤«Ё­Ґ бв६Ёвбп Є ­г«о. Џ® ЇаЁ­жЁЇг ў«®¦Ґ­­ле ®в१Є®ў ­ ©¤Ґвбп
в®зЄ  $x_0\in\RR$, ®Ўй п ўбҐ¬ Ї®бв஥­­л¬ ®в१Є ¬. ЊҐв®¤®¬
¤®Є § вҐ«мбвў  "®в Їа®вЁў­®Ј®" гЎҐ¤Ё¬бп, зв® $f(x_0)=0$.
ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬, Є ЇаЁ¬Ґаг, $f(x_0)> 0$. ђ бб㦤Ґ­Ёп Ўг¤Ґ¬ Їа®ў®¤Ёвм
¤«п б«гз п $x_0\in (a,b)$, б«гз © $x_0=a$ Ё $x_0=b$
а бб¬ ваЁў овбп  ­ «®ЈЁз­®. ‚®бЇ®«м§гҐ¬бп ­ҐЇаҐалў­®бвмо $f$: Ї®
§ ¤ ­­®¬г $\varepsilon_0=f(x_0)>0$ Ї®¤ЎҐаҐ¬ $\delta_0>0$ в Є,
зв®Ўл $$\forall x\in {\cal O}_{\delta_0}(x_0) \Rightarrow
|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon_0.$$ ’ Є Є Є Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм
$\{[a_n,b_n]\}_{n=1}^{\infty}$ Ї® ¤«Ё­Ґ бв६Ёвбп Є ­г«о, ­ ©¤Ґвбп
$m\in\NN$ в Є®Ґ, зв® $\forall n\geqslant m,\ n\in\NN \Rightarrow
|b_n-a_n|<\delta_0$. ’ Є Є Є $x_0\in [a_n,b_n]$ ЇаЁ ўбҐе
$n\in\NN$, в® $|x_0-a_m|<\delta_0$. ќв® ®§­ з Ґв, зв® $a_m\in
{\cal O}_{\delta_0}(x_0)$. ‚®бЇ®«м§гҐ¬бп гб«®ўЁҐ¬ 2):
$$f(x_0)\leqslant f(x_0)-f(a_m)=|f(x_0)-f(a_m)|<
\varepsilon_0=f(x_0)$$ -- Їа®вЁў®аҐзЁҐ. $\rhd$

\noindent {\bf ‘«Ґ¤бвўЁҐ} (⥮६  Љ®иЁ). /$f\in C([a,b],\RR)$,
$a<b$, $f(a)=A$, $f(b)=B$, $C\in [A,B]$/ $\Rightarrow$ $\exists
x_0\in [a,b]:\ f(x_0)=C$.

\noindent $\lhd$: ”г­ЄжЁп $g(x)=f(x)-C$ ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв
$C([a,b],\RR)$. $\rhd$

Џгбвм $f(\cdot)\in C(\langle a,b\rangle,\RR)$, $\langle a,b
\rangle$ --- ­ҐЄ®в®ал© Їа®¬Ґ¦гв®Є ­  $\RR$, $x_0\in\langle
a,b\rangle$. Њ®¦­® Ї®Є § вм, зв® ®Ўа § $\langle a,b \rangle$ ЇаЁ
®в®Ўа ¦Ґ­ЁЁ $f$, б®ўЇ ¤ ойЁ© Ї® ⥮६Ґ Љ®иЁ б
$$\bigcup_{x\in\langle a,b\rangle}[f(x_0),f(x)]=f(\langle
a,b\rangle),$$ в Є¦Ґ пў«пҐвбп Їа®¬Ґ¦гвЄ®¬ ­  $\RR$ (Ўлвм ¬®¦Ґв
ЎҐбЄ®­Ґз­л¬). ‘Їа ўҐ¤«Ёў  б«Ґ¤гой п

\noindent {\bf ’Ґ®аҐ¬  5}. (⥮६  ‚Ґ©Ґаива бб ). ({\bf ЎҐ§
¤®Є § вҐ«мбвў })/$f\in C([a,b],\RR)$/$\Rightarrow$

$f([a,b])=[A,B]\subset\RR$,\\ ®§­ з ой п, зв® ­ҐЇаҐалў­ п ­ 
®в१ЄҐ $[a,b]$ зЁб«®ў п дг­ЄжЁп ®Ја ­ЁзҐ­  ­  $[a,b]$ Ё ¤®бвЁЈ Ґв
в ¬ бў®Ёе ¬Ё­Ё¬ «м­®Ј® Ё ¬ ЄбЁ¬ «м­®Ј® §­ зҐ­Ё©. „«п зЁб«®ўле
дг­ЄжЁ©, ­ҐЇаҐалў­ле ­  ¤агЈЁе Їа®¬Ґ¦гвЄ е, нв®, ў®®ЎйҐ Ј®ў®ап,
㦥 ­Ґ в Є.

\noindent {\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ 6} (бва®Ј®© ¬®­®в®­­®бвЁ дг­ЄжЁЁ).
”г­ЄжЁп $f:\langle a,b\rangle\to\RR$ ­ §лў Ґвбп бва®Ј®
ў®§а бв о饩 ­  Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $\langle a,b\rangle$, Ґб«Ё ¤«п «оЎле
$x_1,x_2\in\langle a,b\rangle$, $x_1< x_2$, ўлЇ®«­пҐвбп
­Ґа ўҐ­бвў® $f(x_1)<f(x_2)$. $f$ ­ §лў Ґвбп бва®Ј® гЎлў о饩, Ґб«Ё
пў«пҐвбп бва®Ј® ў®§а бв о饩 дг­ЄжЁп $(-f)$. ”г­ЄжЁЁ бва®Ј®
ў®§а бв ойЁҐ Ё«Ё бва®Ј® гЎлў ойЁҐ ­ §лў овбп Їа®бв® бва®Ј®
¬®­®в®­­л¬Ё.

\noindent Џгбвм $f:[a,b]\to [A,B]$, $g:[A,B]\to \RR$ в Є®ўл, зв®
б«®¦­ п дг­ЄжЁп $h=g\circ f:[a,b]\to \RR$ 㤮ў«Ґвў®апҐв а ўҐ­бвўг
$h(x)=x$ ЇаЁ «оЎ®¬ $x\in [a,b]$. ’®Ј¤  дг­ЄжЁо $g$ ­ §лў ов
®Ўа в­®© Є $f$ дг­ЄжЁҐ© Ё ®Ў®§­ з ов $f^{-1}$.

\noindent {\bf ’Ґ®аҐ¬  6} ({\bf ЎҐ§ ¤®Є § вҐ«мбвў }). /$f\in
C([a,b],\RR)$ --- бва®Ј® ў®§а бв Ґв, $f(a)=A$,
$f(b)=B$/$\Rightarrow$ $f^{-1}$ ­ҐЇаҐалў­  Ё бва®Ј® ў®§а бв Ґв ­ 
$[A,B]$.

\noindent $\lhd$: {\footnotesize Џ®«м§гҐ¬бп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ¬ бва®Ј®©
¬®­®в®­­®бвЁ дг­ЄжЁЁ. Џ® ⥮६Ґ Љ®иЁ Ё ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо бва®Ј®©
¬®­®в®­­®бвЁ $f([a,b])=[A,B]$. ќв® ®§­ з Ґв, зв® ¤«п Є ¦¤®Ј®
$y_0\in [A,B]$ ЇаЁ ­ҐЄ®в®а®¬ $x_0\in [a,b]$ $$f(x_0)=y_0.$$ Џ®
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо бва®Ј®© ¬®­®в®­­®бвЁ, Ґб«Ё $x_1\neq x_0$, в®
$f(x_1)\neq f(x_0)$, в.Ґ. н«Ґ¬Ґ­в $x_0\in [a,b]$ б® бў®©бвў®¬
$f(x_0)=y_0$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ ®¤­®§­ з­®. ‚롥६ ҐЈ® ў Є зҐб⢥ §­ зҐ­Ёп
$f^{-1}(y_0)=x_0$, $f^{-1}: [A,B]\to\RR$.

…б«Ё $y_1<y_2$, $y_1,\ y_2\in [A,B]$, в® ¤«п $x_1=f^{-1}(y_1)$,
$x_2=f^{-1}(y_2)$ ­Ґ ¬®Јгв ўлЇ®«­пвмбп ­Ё $x_1=x_2$ (в.Є. $f$
--- ®¤­®§­ з­® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­ п дг­ЄжЁп), ­Ё $x_1>x_2$ (в.Є. $f$ ---
бва®Ј® ў®§а бв ой п дг­ЄжЁп). Џ®н⮬г $x_1<x_2$ Ё $f^{-1}$ бва®Ј®
ў®§а бв Ґв ­  $[A,B]$.

Ћбв Ґвбп Їа®ўҐаЁвм ­ҐЇаҐалў­®бвм ®в®Ўа ¦Ґ­Ёп $f^{-1}$. Џгбвм
$y_0\in (A,B)$ (б«гз Ё $y_0= A$ Ё $y_0= B$ а бб¬ ваЁў овбп
 ­ «®ЈЁз­®), $x_0=f^{-1}(y_0)$. ‡ дЁЄбЁа㥬 $\varepsilon_0>0$ в Є,
зв®Ўл ${\cal O}_{\varepsilon_0}(x_0)\subset [a,b]$. ’®Ј¤ ,
а бб㦤 п Є Є ў ­ з «Ґ ¤®Є § вҐ«мбвў , $$y_0\in
f([x_0-\varepsilon_0,x_0+\varepsilon_0])=[f(x_0-\varepsilon_0),
f(x_0+\varepsilon_0)].$$ Џ®«®¦Ё¬
$$\delta_0=\min\{y_0-f(x_0-\varepsilon_0),f(x_0+\varepsilon_0)
-y_0\}>0$$ Ё, §­ зЁв, ${\cal O}_{\delta_0}(y_0)\subset
[f(x_0-\varepsilon_0), f(x_0+\varepsilon_0)]$. ќв® ўЄ«о祭ЁҐ ¬®¦­®
§ ЇЁб вм ў ўЁ¤Ґ $$f^{-1}\left({\cal
O}_{\delta_0}(y_0)\right)\subset
f^{-1}\left([f(x_0-\varepsilon_0),
f(x_0+\varepsilon_0)]\right)\subset
[x_0-\varepsilon_0,x_0+\varepsilon_0],$$ Ј¤Ґ Ї®б«Ґ¤­Ё© §­ Є
"$\subset$" ­Ґ ¬®¦Ґв, ў®®ЎйҐ Ј®ў®ап, Ўлвм § ¬Ґ­Ґ­ ­  §­ Є "$=$"
Ї®Є  ­Ґ ®Ў®б­®ў ­  ­ҐЇаҐалў­®бвм $f^{-1}$. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬,
$f^{-1}\left({\cal O}_{\delta_0}(y_0)\right)\subset
[x_0-\varepsilon_0,x_0+\varepsilon_0]$ Ё, ¤агЈЁ¬Ё б«®ў ¬Ё,
$f^{-1}(y)\in [x_0-\varepsilon_0,x_0+\varepsilon_0]$ ¤«п «оЎ®Ј®
$y\in{\cal O}_{\delta_0}(y_0)$. Џ®н⮬г, Ї® Їа®Ё§ў®«м­® ўлЎа ­­®¬г
¤®бв в®з­® ¬ «®¬г $\varepsilon_0>0$ ¬л Ї®бва®Ё«Ё $\delta_0>0$ в Є,
зв® $$\forall y\in {\cal O}_{\delta_0}(y_0) \Rightarrow
|f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)|<\varepsilon_0.$$ ќв® Ё ®§­ з Ґв
­ҐЇаҐалў­®бвм ®в®Ўа ¦Ґ­Ёп $f^{-1}(\cdot)$ ў в®зЄҐ $y_0$.} $\rhd$

‘®ўҐа襭­®  ­ «®ЈЁз­® гбв ­ ў«Ёў Ґвбп

\noindent {\bf ’Ґ®аҐ¬  7}. /$f\in C((a,b),\RR)$
--- бва®Ј® ў®§а бв Ґв ­  Ё­вҐаў «Ґ $(a,b)$ (Є®­Ґз­®¬ Ё«Ё ЎҐбЄ®­Ґз­®¬),
$\langle A,B\rangle=f((a,b))$ --- ®Ўа § ®в®Ўа ¦Ґ­Ёп
$f$/$\Rightarrow$ $f^{-1}$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  ­  Ё­вҐаў «Ґ $(A,B)$ (Ўлвм
¬®¦Ґв ЎҐбЄ®­Ґз­®¬) Ё $f^{-1}\in C((A,B),\RR)$ --- бва®Ј®
ў®§а бв Ґв.

{\it ЌҐЇаҐалў­®бвм н«Ґ¬Ґ­в а­ле дг­ЄжЁ©.}

1. €§ вҐ®аҐ¬л ® бў®©бвў е дг­ЄжЁ©, ­ҐЇаҐалў­ле ў в®зЄҐ б«Ґ¤гҐв,
зв® ўбпЄЁ© Ї®«Ё­®¬ $P(\cdot)$ ­ҐЇаҐа뢥­ ­  ®Ў« бвЁ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп
--- $\RR$.

2. €§ нв®© ¦Ґ ⥮६л б«Ґ¤гҐв, зв® ўбпЄ п а жЁ®­ «м­ п дг­ЄжЁп
$R=P/Q$, $P$ Ё $Q$ --- Ї®«Ё­®¬л, ­ҐЇаҐалў­  ­  ®Ў« бвЁ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп
--- зЁб«®ў®© Їаאַ©, Ё§ Є®в®а®© г¤ «Ґ­л в®зЄЁ, Ј¤Ґ $Q(x)=0$.

3. ЌҐЇаҐалў­®бвм Ї®Є § вҐ«м­®© дг­ЄжЁЁ $a^x$, $a>0$, ­  ®Ў« бвЁ
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп $\RR$ б«Ґ¤гҐв Ё§ бў®©бвў нв®© дг­ЄжЁЁ Ё ¤®Є § вҐ«мбвў 
в®Ј®, зв® $\lim\limits_{x\to 0}a^x=1$ (б ¬®бв®п⥫쭮): Ґб«Ё
$x_0\in\RR$, в® $$\lim\limits_{x\to x_0}a^x=\lim\limits_{x\to
x_0}(a^{(x-x_0)}\cdot a^{x_0})= a^{x_0}\cdot \lim\limits_{x\to
0}a^{x}=a^{x_0}.$$

4. ”г­ЄжЁп $\log_a x$, $a>0$, $a\neq 1$, ­  ®Ў« бвЁ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп
$\RR_+=\{x\in\RR:\ x>0\}$ пў«пҐвбп ®Ўа в­®© Є бва®Ј® ¬®­®в®­­®©
дг­ЄжЁЁ $a^y$, $y\in\RR$. Џ® ⥮६Ґ 7 ®вбо¤  б«Ґ¤гҐв
­ҐЇаҐалў­®бвм $\log_a x$ ­  $\RR_+$.

5. ‘⥯Ґ­­ п дг­ЄжЁп $x^a$, $a\in\RR$, ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  ­  $\RR_+$ Ё
ЇаҐ¤бв ўЁ¬  ў ўЁ¤Ґ $x^a=e^{a \ln x}$. Џ® ⥮६Ґ ® ­ҐЇаҐалў­®бвЁ
б«®¦­®© дг­ЄжЁЁ ®вбо¤  б«Ґ¤гҐв ҐҐ ­ҐЇаҐалў­®бвм ­  $\RR_+$.

6. ”г­ЄжЁп $\sin\,(\cdot)$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  ­  $\RR$. …б«Ё $x_0\in\RR$,
в® $$|\sin x-\sin x_0|= 2|\sin (\frac{x-x_0}2)||\cos
(\frac{x+x_0}2)|\leqslant |{x-x_0}|.$$ Џ® ⥮६Ґ ®Ў ®Ја ­ЁзҐ­­®©
б室Ё¬®бвЁ ®вбо¤  б«Ґ¤гҐв, зв® $\lim\limits_{x\to x_0}|\sin x-\sin
x_0|=0$. Џ®н⮬г $\sin(\cdot)\in C(\RR,\RR)$.

7. $\cos\,(\cdot)\in C(\RR,\RR)$, ${\rm tg}\, (\cdot)\in
C((-\pi/2,\pi/2),\RR)$, ${\rm ctg}\, (\cdot)\in C((0,\pi),\RR)$.
ќвЁ г⢥তҐ­Ёп пў«повбп б«Ґ¤бвўЁҐ¬ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ё©, бў®©бвў дг­ЄжЁЁ
$\sin\,(\cdot)$, Їг­Єв  6 Ё ⥮६ 1, 2.

8. ”г­ЄжЁп $\sin\,(\cdot)\in C([-\pi/2,\pi/2],\RR)$ --- бва®Ј®
ў®§а бв Ґв. Џ® ⥮६Ґ 6 ®Ўа в­ п дг­ЄжЁп $\arcsin\,(\cdot)\in
C([-1,1],\RR)$. ’®з­® в Є¦Ґ

$\arccos\,(\cdot)\in C([-1,1],\RR)$, ${\rm arctg}\,(\cdot)\in
C((-\infty,\infty),\RR)$, ${\rm arcctg}\,(\cdot)\in
C((-\infty,\infty),\RR)$.