3. Уравнение Шредингера.

Вследствие фундаментальной особенности явлений мик­ромира, в квантовой механике можно говорить лишь о вероятности того или иного значения динамической переменной и о среднем значении динамической переменной, а не об ее опреде­ленном числовом значении в данный момент времени. По­этому классическое описание движения частиц в квантовой механике теряет смысл. Весь анализ явлений микромира проводится на языке понятий классической физики, таких, как волна и частица постольку, поскольку мы не обладаем иными понятиями. Ирония здесь состоит в том, что эти клас­сические понятия отражают свойства объектов микромира неполно и односторонне. В квантовой механике вектором состояния является волновая функция Ψ. Великий австрийс­кий физик Эрвин Шрёдингер, проникшись идеей де Бройля о волнах материи, создал теорию, в которой дискретные стационарные состояния энергии уподоблялись стоячим волнам какой-либо системы. В аппарат квантовой теории прочно вош­ло в качестве ее основного уравнения – уравнение Шрёдингера относительно волновой функции Ψ. Сам Шрёдингер ин­терпретировал Ψ-функцию как реальный волновой процесс в пространстве и во времени, который, в конечном счете, должен приводить к отрицанию дискретных состояний и кван­товых скачков. Однако дальнейшее развитие теории показа­ло неадекватность подобных представлений, и волновая фун­кция Ψ стала интерпретироваться как волна вероятности, а квадрат ее модуля — как мера вероятности обладания микро­объектом определенной координаты или в другой, дополнительной к первой, физической ситуации — определенного им­пульса. Итак, волновая функция получила статус волны ве­роятности, чем еще раз подчеркивается статистический, ве­роятностный характер поведения микрообъектов. Казалось бы, что о причинно-следственном описании движения объек­тов следует забыть. Однако это не так. Уравнение Шрёдингера описывает эволюции Ψ-функции с течением времени, яв­ляется детерминированным и обратимым. Волновая функция представляет собой, полную характеристи­ку состояния: зная волновую функцию Ψ, можно вычислить вероятность обнаружения определенного значения физической величины и средние значения физических величин.

4. Принцип суперпозиции. Суть принципа заключается в следующем. Пусть некоторая квантово-механическая система может находиться в двух состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ₁ и Ψ₂. Тогда она может находиться и в любом состоянии, которое описывается линейной комбинацией или линейной суперпозицией этих двух функций:

Ψ=с₁ Ψ₁+с₂ Ψ₂

Где с₁ и с₂ – произвольные числа.

Суперпозиция состояний содержит альтернативные состояния одной и той же частицы. Коэффициенты с₁ и с₂ указывают на вероятности, с которыми может быть обнаружена частица в том или ином состоянии в каждом отдельном эксперименте.

5. Принцип тождественности. Различия между классической и квантовой механикой выявились при рассмотрении системы многих частиц. Классический подход к столкновению двух одинаковых частиц позволяет различить их движение после удара. Ведь каждая частица имеет свою собственную траекторию, даже если они оказались симметричны. В квантовой механике траекторий нет, в процессе столкновения области локализации частиц перекрываются, различить их после взаимодействия невозможно даже в принципе. Следовательно, одинаковые частицы неразличимы.

Принцип тождественности легко формулируется математически и имеет серьезные последствия. Запишем волновую функцию Ψ системы из двух одинаковых частиц, она будет зависеть от координат и спинов каждой частицы, которые мы условно обозначим числами 1 и 2. Здесь 1 означает совокупность всех координат и спин первой частицы, а 2 – второй. Квадрат модуля волновой функции означает вероятность нахождения частицы в данном месте, тождественность частиц требует, чтобы эта вероятность не изменялась, если частицы поменялись местами, т.е.:

|Ψ(1,2)|²= |Ψ(2,1)|²

Из этой формулы вытекают две возможности:

Ψ(1,2)= Ψ(2,1),

Ψ(1,2)= -Ψ(2,1).

Функция, не изменяющая своего знака при перемене частиц местами, называется симметричной, а функция, изменяющая знак на противоположный – антисимметричной.

Все частицы с симметричными волновыми функциями называются бозонами, они обладают целым спином (фотоны, некоторые мезоны). Частицы с антисимметричными волновыми функциями называются фермионами, они обладают полуцелым спином (электроны, протоны, нейтроны).

Принцип Паули: две тождественные частицы с полуцелым спином не могут одновременно находиться в одном квантовом состоянии.

Принцип Паули имеет решающее значение для понимания сущности периодического закона Д.И.Менделеева. В сложном атоме в каждом состоянии может находиться только один электрон, в состоянии с минимальной энергией – только два электрона с противоположными спинами. Третий электрон вынужден занимать состояние с более высокой энергией. Четвертый электрон может обладать такой же энергией, как и третий, но должен отличаться от него хотя бы одним квантовым числом из четырех, и т.д. Порядок заполнения электронных оболочек в сложном атоме определяет его электронные конфигурации, т.е. распределение электронов по оболочкам. Именно верхние оболочки определяют химические свойства элемента, периодичность в свойствах имеет в своей основе сходство внешних электронных оболочек. Электроны внешних оболочек легко подвергаются воздействиям. Их взаимодействие определяет химические связи между атомами, объединенными в молекулы.

Релятивистская квантовая физика

В 1927 г. английский физик Поль Дирак, рассматривая уравнение Шрёдингера, обратил внимание на его нереляти­вистский характер. При этом квантовая механика описывает объекты микромира, и хотя к 1927 г. их было известно только три: электрон, протон и фотон (даже нейтрон был экспериментально обнаружен только в 1932 г.), было ясно, что движутся они со скоростями, весьма близкими к скоро­сти света или равными ей, и более адекватное описание их поведения требует применения специальной теории относительности. Дирак составил уравнение, которое описывало движение электрона с учетом законов и квантовой механи­ки, и теории относительности Эйнштейна, и получил фор­мулу для энергии электрона, которой удовлетворяли два ре­шения: одно решение давало известный электрон с положи­тельной энергией, другое - неизвестный электрон-двойник, но с отрицательной энергией. Так возникло представление о частицах и соответствующих им античастицах, о мирах и антимирах. К этому же времени была разработана кванто­вая электродинамика. Суть ее состоит в том, что поле более не рассматривается как континуалисткая непрерывная сре­да. Дирак применил к теории электромагнитного поля правила квантования, в результате чего получил дискретные значения поля. Обнаружение античастиц углубило представ­ление о поле. Считалось, что электромагнитного поля нет, если нет квантов этого поля — фотонов. Следовательно, в этой области пространства должна быть пустота. Ведь спе­циальная теория относительности «изгнала» из теории эфир, можно сказать, что победила точка зрения о вакууме, о пу­стоте. Но пуст ли вакуум, — вот вопрос, который вновь воз­ник в связи с открытием Дирака. Сейчас хорошо известны эффекты, доказывающие, что вакуум пуст только в сред­нем. В нем постоянно рождается и исчезает огромное количество виртуальных частиц и античастиц. Даже если мы меряем заряд электрона, то, как оказалось, голый заряд электрона равнялся бы бесконечности. Мы же измеряем за­ряд электрона в «шубе» окружающих его виртуальных час­тиц.

Собственно представление о вакууме как непрерывной активности содержащихся в нем виртуальных частиц со­держится в принципе неопределенности Гейзенберга. Прин­цип неопределенности Гейзенберга имеет, кроме приведен­ного выше, еще и такое выражение: ∆E ∙ ∆t ≥ h. Согласно этому, квантовые эффекты могут на время нарушать закон сохранения энергии. В течение короткого времени At энер­гия, взятая как бы «взаймы», может расходоваться на рож­дение короткоживущих частиц, исчезающих при возвраще­нии «займа» энергии. Это и есть виртуальные частицы. Воз­никая из «ничего», они снова возвращаются в «ничто». Так что вакуум в физике оказывается не пустым, а представля­ет собой море виртуальных частиц.