12.3. Оценка уровней значимости коэффициентов регрессионного уравнения

Для коэффициентов регрессионного уравнения проверка их уровня значимости осуществляется по t-критерию Стьюдента и по критерию F Фишера. Ниже мы рассмотрим оценку достовер­ности показателей регрессии только для линейных уравнений (12.1) и (12.2).

Y= a0 + а1 • X (12.1)

Х= b0 + b1 • Y (12.2)

Для это типа уравнений оценивают по t-критерию Стьюден­та только величины коэффициентов а1 и b1 с использованием вычисления величины Тф по следующим формулам:

(12.27)

где (12.28)

Где r_ух коэффициент корреляции, а величину а1 можно вы­числить по формулам 12.5 или 12.7.

Формула (12.27) используется для вычисления величины Тф, которая позволяет оценить уровень значимости коэффициента а1 уравнения регрессии Y по X.

(12.29)

269

где (12.30)

Величину b1 можно вычислить по формулам (12.6) или (12.8).

Формула (12.29) используется для вычисления величины Тф, которая позволяет оценить уровень значимости коэффициента b1 уравнения регрессии X по Y

Пример. Оценим уровень значимости коэффициентов регрес­сии a1 и b1 уравнений (12.17), и (12.18), полученных при реше­нии задачи 12.1. Воспользуемся для этого формулами (12.27), (12.28), (12.29) и (12.30).

Напомним вид полученных уравнений регрессии:

Y_х = 3 + 0,06 • X (12.17)

Х_у= 9 + 1 • Y (12.19)

Величина а1 в уравнении (12.17) равна 0,06. Поэтому для расчета по формуле (12.27) нужно подсчитать величину Sb_yx. Со­гласно условию задачи величина п = 8. Коэффициент корреля­ции также уже был подсчитан нами по формуле 12.9:

четы проделать в таблице 12.2:

Таблица 12.2

№ испыту­емых п/п	xi	yi	xi - x	(xi - x)2	yi - y	( yi - y)2
1	8	2	-4,75	22,56	- 1,75	3,06
2	В	3	-4,75	22,56	-0,75	0,56
3	10	4	-2,75	7,56	0,25	0,06
4	10	5	-2,75	7,56	1,25	15,62
5	14	5	1,25	1,56	1,25	15.82
6	16	4	3,25	10,56	0,25	0,06
7	18	3	5,25	27,56	-0,75	0.56
8	18	4	5,25	27,56	0,25	0,06
Суммы	102	30	0	127,48	0	35,6
Средние	12,75	3,75

270

Подставляем полученные значения в формулу (12.28), полу­чаем:

Теперь рассчитаем величину Тф по формуле (12.27):

Величина Тф проверяется на уровень значимости по табли­це 16 Приложения 1 для t-критерия Стьюдента. Число степеней свободы в этом случае будет равно 8 - 2 = 6, поэтому критичес­кие значения равны соответственно для Р< 0,05 t_кp = 2,45 и для Р< 0,01 t_KP = 3,71. В принятой форме записи это выглядит так:

Строим «ось значимости»:

Полученная величина Тф попала в зону незначимости, сле­довательно мы должны принять гипотезу Н₀ о том, что величина коэффициента регрессии уравнения (12.17) неотличима от нуля. Иными словами, полученное уравнение регрессии неадекватно исходным экспериментальным данным.

Рассчитаем теперь уровень значимости коэффициента b1. Для этого необходимо вычислить величину Sb_xy по формуле (12.30), для которой уже расчитаны все необходимые величины:

271

Теперь рассчитаем величину Тф по формуле (12.27):

Мы можем сразу построить «ось значимости», поскольку все предварительные операции были проделаны выше:

Полученная величина Тф попала в зону незначимости, сле­довательно мы должны принять гипотезу H₀ о том, что величина коэффициента регрессии уравнения (12.19) неотличима от нуля. Иными словами, полученное уравнение регрессии неадекватно исходным экспериментальным данным.