4.6. Степень свободы

Число степеней свободы это число свободно варьирующих единиц в составе выборки. Так, если вся выборка состоит из п элементов и характеризуется средней X, то любой элемент этой совокупности может быть получен как разность между величи­ной n • X и суммой всех остальных элементов, кроме самого это­го элемента.

52

Пример. Рассмотрим ряд 4.5: 2468 10. Мы помним, что сред­няя этого ряда равна 6. В этом ряду 5 чисел, следовательно N = 5. Предположим, что мы хотим получить последний элемент ряда

- 10, зная все предыдущие элементы и среднее этого ряда. Тогда:

5-6-2-4-6-8= 10

Предположим, что мы хотим получить первый элемент ряда

- 2, зная все последующие элементы и среднее этого ряда. Тогда:

5-6-4-6-8-10 = 2и т.д.

Следовательно, один элемент выборки не имеет свободы ва­риации и всегда может быть выражен через другие элементы и среднее. Это означает, что число степеней свободы у выборочно­го ряда обозначаемое в таких случаях символом k будет опреде­ляться как k = п -1, где п — общее число элементов ряда (вы­борки).

При наличии не одного, а нескольких ограничений свободы вариации, число степеней свободы, обозначаемое как v (гречес-и.ш буква ню) будет равно v = п - k, где k соответствует числу ограничений свободы вариации.

В общем случае для таблицы экспериментальных данных число степеней свободы будет определяться по следующей формуле:

v = (с - 1)•(n- 1) (4.8)

где с — число столбцов, а п — число строк (число испытуемых).

Следует подчеркнуть, однако, что для ряда статистических методов расчет числа степеней свободы имеет свою специфику.

4.7. Понятие нормального распределения

Нормальное распределение играет большую роль в математи­ческой статистике, поскольку многие статистические методы предполагают, что, анализируемые с их помощью эксперимен­тальные данные распределены нормально. График нормального распределения имеет вил колоколообразной кривой (см. рис. 2).

53

Его важной особенностью является то, что форма и положение графика нормального распределения определяется только двумя параметрами: средней µ(мю) и стандартным отклонением о (сиг­ма). Если стандартное отклонение σ постоянно, а величина сред­ней µ меняется, то собственно форма нормальной кривой оста­ется неизменной, а лишь ее график смещается вправо (при уве­личении µ) или влево (при уменьшении µ) по оси абсцисс -ОХ. При условии постоянства средней ц изменение сигмы влечет за собой изменение только ширины кривой: при уменьшении сигмы кривая делается более узкой, и поднимается при этом вверх, а при увеличении сигмы кривая расширяется, но опуска­ется вниз. Однако во всех случаях нормальная кривая оказывает­ся строго симметричной относительно средней, сохраняя пра­вильную колоколообразную форму.

54

Для нормального распределения характерно также совпаде­ние величин средней арифметической, моды и медианы. Равен­ство этих показателей указывает на нормальность данного рас­пределения. Это распределение обладает еще одной важной осо­бенностью: чем больше величина признака отклоняется от сред­него значения, тем меньше будет частота встречаемости (веро­ятность) этого признака в распределении. «Нормальным» такое распределение было названо потому, что оно наиболее часто встречалось в естественно-научных исследованиях и казалось «нормой» распределения случайных величин.

В психологических исследованиях нормальное распределение используется в первую очередь при разработке и применении те­стов интеллекта и способностей. Так, отклонения показателей интеллекта IQ следуют закону нормального распределения, имея среднее значение равное 100 для любой конкретной возрастной группы и стандартное отклонение в подавляющем большинстве случаев равное 16.

Исходя из закона нормального распределения можно устано­вить, насколько близко к крайним значениям распределения подходит то или иное значение IQ, а используя таблицы стан­дартного нормального распределения, можно вычислить, какая часть популяции имеет то или иное значение IQ.

Однако применительно к другим психологическим катего­риям, в первую очередь к таким, как личностная и мотиваци-онная сферы, применение нормального распределения пред­ставляется весьма дискуссионным. Известно, что в реальных психологических экспериментах редко получаются данные, распределенные строго по нормальному закону. В большинстве случаев сырые психологические данные часто дают асимметрич­ные, «ненормальные» распределения. Как подчеркивает Е.В. Си­доренко (30), причина этого заключается в самой специфике некоторых психологических признаков. Бывает, что от 10 до 20% испытуемых получают оценку «ноль», например, в методи­ке Хекхаузена, когда в их рассказах не встречается ни одной словесной формулировки, которая отражала бы мотивы надеж­ды на успех или боязни неудачи. Распределение таких оценок не может быть нормальным, как бы ни увеличивался объем вы­борки.

55

Несмотря на это, при обработке экспериментальных данных всегда целесообразно проводить оценку характера распределения (см. главу 8, раздел 8.2). Эта оценка важна, потому что в зависи­мости от характера распределения решается вопрос о возможно­сти применения того или иного статистического метода. Как бу­дет понятно из дальнейшего изложения, при нормальном рас­пределении экспериментальных данных применяются особые методы статистической обработки.