12.2. Множественная линейная регрессия

Предположим, что психолог при анализе успешности обуче­ния подростков в дополнение к независимой переменной IQ рассматривает другие независимые переменные, влияющие, по его мнению, на успеваемость, например такие, как мотивация, личностные особенности и т.п. В этом случае можно построить линейное уравнение множественной регрессии, в которое будут

264

входить все вышеназванные переменные. В общем случае, зави­симость между несколькими переменными величинами выража­ют уравнением множественной регрессии, которая может быть как линейной, так и не линейной, В простейшем случае множе­ственная линейная регрессия выражается уравнением с двумя независимыми переменными величинами X и Z и имеет вид (12.20). К в данном случае является зависимой переменной.

Y=a +b • X+c• Z (12.20)

где а — свободный член, b и с — параметры уравнения (12.20).

Уравнение (12.20) может решаться относительно зависимой переменной Z, тогда X и Y являются независимыми переменны­ми и уравнение множественной регрессии имеет следующий вид:

Z = a + b•X+c•Y (12.21)

Можно решить уравнение (12.20) и относительно X, тогда Z и Y будут независимыми переменными, а уравнение будет иметь следующий вид:

X=a + b•Y+c• Z (12.22)

При проведении конкретных расчетов выбор зависимых и не­зависимых переменных определяется планом эксперимента.

Решение уравнений (12.20), (12.21) и (12.22) состоит в том, что находятся величины а, Ь и с на основе решения системы из трех уравнений:

Для решения уравнения (12.20) система имеет следующий вид:

(12.13)

Для решения уравнения (12.21) система будет выглядеть сле­дующим образом:

(12.14)

265

Для решения уравнения (12.22) система будет иметь следую­щий вид:

(12.15)

В общем случае уравнение регрессии представляет собой сложный полином, описывающий зависимость сразу между не­сколькими переменными. Такое уравнение множественной рег­рессии имеет вид:

Y=b₀ + b_l-x_t + b,-x₂ + .. + b_p.x_p (12.16)

Где X₁, Х₂ , X₃ и т.п. — интересующие психолога независимые переменные, а Y — зависимая переменная.

Приведем примеры уравнений множественной регрессии, В исследовании Р. Кеттелла было установлено, что эффективность деятельности психолога-практика и психолога- исследователя можно прогнозировать на основе разных характеристик, по­скольку уравнения множественной регрессии имеют для них раз­ный вид.

Уравнение множественной регрессии для психолога-практика:

Эфф = 0,72A + 0,29B+ 0,29H+ 0,29N (12.17)

Уравнение множественной регрессии для психолога-исследо­вателя:

Эфф = 0,31А + 0,78B+ 0,47N (12.18)

Где:

А — готовность к контактам,

В — общая интеллектуальность,

Н — ненасыщаемость контактами с другими людьми,

N — умение поддерживать контакт.

Следовательно, для психолога-исследователя не характерно наличие интенсивного общения, в то время как для психолога-практика интенсивное общение оказывается самым значимым

266

качеством (цит. по В.Н. Дружинин. Экспериментальная психоло­гия. М. 1997, с. 36).

Для закрепления материала решим с помощью уравнения множественной регрессии следующую задачу. Вспомним задачу 11.10, в которой 10 менеджеров оценивались по методике экс­пертных оценок психологических характеристик личности руко­водителя. Психолога интересовали тогда связи тактичности (пере­менная X) с требовательностью (переменная Y) и критичностью (переменная Z). Сейчас его интересует вопрос — при увеличении величины экспертных баллов на 1 при оценке тактичности, на ка­кую величину экспертных баллов увеличится или уменьшится эк­спертная оценка требовательности и критичности?

Иными словами, решается уравнение множественной регрес­сии вида:

Х= а + b•Y+ c• Z (12.22)

Для решения этой задачи воспользуемся системой уравнений (12.15) и таблицей 11.12. Перепишем данные из таблицы 11.12 сразу в систему уравнений (12.15), получим следующую систему уравнений (12.19):

(12.19)

Чтобы решить эту систему относительно параметров a, b и с, разделим каждое из уравнений системы (12.19) на коэффициент при параметре а, т.е. первое уравнение системы поделим на 10, второе на 165, третье на 294. Получится следующая система урав­нений:

(12.20)

Затем вычтем первое уравнение из второго, а второе из тре­тьего, получим:

(12.21)

Опять проделаем ту же операцию, т.е. разделим каждое урав­нение системы (12.21) на коэффициент при b. Для первого урав-

267

нения это будет 1,02, а для второго — 0,17. Получим следующую систему:

(12.22)

Вычтем из первого уравнения системы (12.22) второе, полу­чим:

- с • 1,59 = - 0,68 (12.23)

Отсюда с = 0,43.

Подставляя полученное значение с в первое уравнение сис­темы (12.23) получаем:

b + 0,43 • 2,08 = 2,49 (12.24)

Отсюда b = 1,59

Подставляем полученные значения b и с в первое уравнение системы (12.20) получаем:

а + 1,59 • 16,5 + 0,43 • 29,4 = 57,5 (12.25)

Отсюда а = 18,47

Следовательно, искомое уравнение регресии будет выглядеть так:

(12.26)

Полученное уравнение (12.26) дает ответ на вопрос задачи. Так, при увеличении величины оценки тактичности на 1 балл, величина экспертных оценок показателя требовательности уве­личится в среднем на 1,6 балла, при постоянной величине кри­тичности. А при постоянной величине требовательности при увеличении величины оценки тактичности величина эксперт­ных оценок показателя критичности увеличится в среднем на 0,43 балла.

Полученное уравнение множественной регрессии (12.26) имеет еще одно приложение. Так, подставляя в него значения переменных Y и Z, можно определить ожидаемую величину пе­ременной X. Для Y = 10 и Z = 8 получаем экспертную оценку тактичности в среднем X = 38, а при Y = 15 и Z= 14 экспертная оценка тактичности в среднем Х = 48,5.

Для применения метода множественной линейной регрессии необходимо соблюдать следующие условия:

268

1. Сравниваемые переменные должны быть измерены в шкале интервалов или отношений.

2. Предполагается, что все переменные имеют нормальный закон распределения.

3. Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных должно быть одинаковым.