Построение эпюр y (z), φ (z), m (z), q (z) и реактивных давлений r (z)

Изменение напряженно-деформированного состояния балки по ее длине характеризуется эпюрами y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z), то есть графиками изменения этих функций вдоль оси Z. После нахождения приведенных начальных параметров уравнения (8) для y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z) полностью определены и можно строить эпюры.

При этом необходимо учитывать правила знаков: прогиб считается положительным, если он совпадает с положительным направлением оси у (вниз), угол поворота сечения φ (Z) считается положительным, если сечение поворачивается по часовой стрелке. Для знаков M (Z) и Q (Z) принимается правило: М>0 в данном сечении балки, если там растянуты нижние волокна и сжаты верхние, Q>0 в данном сечении, если вектор Q стремится повернуть элемент балки по часовой стрелке – рис. 7.

Рис. 8

Эпюра реактивных давлений грунта R(Z) строится на основании формулы (1) после построения эпюры y (Z).

В качестве примера рассмотрим процесс построения эпюр для балки, изображенной на рис. 9. Сечение балки – прямоугольное b * h = 0.3 * 0.4 м², E = 2.1 * 10¹⁰ Па, K = 6 * 10⁷ Па, m = 10⁴ нм, Р = 10⁴ н, q = 10⁴ н/м.

Уравнения для y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z) будут следующими:

13

Коэффициент приведенные начальные параметры, найденные из условий закрепления балки по концам, будут:

Строим эпюры y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z) для последовательности сечений Z = 0, 0.5, 1.0, 1.5,…, 8, рис. 9.

Для проверки правильности построения эпюр можно использовать формулы [1]:

. (12)

Следует помнить, что первая производная функции в любой точке ее графика равна тангенсу угла наклона касательной в этой точке к оси Z. Таким образом, если при Z₂ > Z₁ M₂ > M₁, то на этом участке Q>0, если при Z₂ > Z₁ φ₂ > φ₁, то на этом участке M < 0, если при Z₂ > Z₁ y₂ > y₁, то на этом участке φ > 0.

Например, на рис. 9 при Z < 2 м М возрастает, поэтому Q > 0, при

Z > 6 м М убывает, поэтому Q < 0.

Отметим также, что если при Z = Z_i M = M_экстр, то в этой точке

Q = 0, если при Z = Z_i φ = φ_экстр, то в этой точке М=0, если при Z = Z_i

у = y_экстр, то в этой точке φ = 0.

Например, на рис. 9 при Z = 2,18 м, 5,37 м, 6,09 м функция прогиба у имеет экстремумы, поэтому в этих точках φ = y ^́_z = 0. Добавим, что если на балку действуют сосредоточенные силы Р_i, то на эпюре Q в этих сечениях должны быть скачки, равные по величине Р_i и направленные в сторону действия Р_i – сечение Z = 2 м на эпюре Q , рис. 9. Если на балку действуют сосредоточенные моменты m_i, то на эпюре М в этих сечениях должны быть скачки, величина которых совпадает с величиной приложенных моментов – например, сечение Z= 6 м эпюры М, рис. 9.

14

P=10⁴ H m=10⁴ Hм

Рис. 9

15