Средние величины

Задача средней одним числом охарактеризовать уровень признака всех единиц однородной совокупности у которых размер признака варьирует, т.е. колеблется.

Под средней величиной понимается обобщающий показатель который характеризует типичный уровень варьируемого признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

Виды средних величин:

1. Среднее арифметическое

   1. Среднее арифметическое простое, применяется когда все варианты изучаемого признака повторяются одинаковое число раз (или данное несгруппированное)

2. Среднеарифметическое взвешенное, среднее из вариантов, которое повторяется различное число раз, в качестве весов выступает число единиц в различных группах. В группы объединяют одинаковые варианты

f- веса (количество) частота с которым повторяется признак х

2. Среднеегормоническое, в ряде случаев когда расчетная база не дает отдельного значения изучаемого признака применяется среднеегормоническое (4)

M=x*f

3. Среднее хронологическое применяется для расчета средней в моментных рядах динамики. Моментный ряд динамики – ряд данных известных на определенную дату (момент времени) (пример: выпуск продукции на 1 января) (5)

4. Среднее геометрическое, применяется для расчетов средних темпов и коэффициентов роста в рядах динамики (6)

Структурное среднее.

К структурным средним относится Мода и Медиана

Мода – наиболее часто встречающиеся вариант изучаемого признака. В интервальном ряду распределения порядок нахождения моды следующий:

1. Определяем модальную частоту (самая большая с точки зрения численного выражения) частота.

2. Определение интервала признака который соответствует данной частоте

3. Определение моды по следующей формуле: (7)

Xmo – нижняя граница модального интервала

Fmo – частота модального интервала

Fmo-1 – частота интервала предыдущего модальному

Fmo+1 – чатсота интервала, следующего за модальным

i – размер самого модального интервала

Медиана – вариант изучаемого признака находящийся в середине ранжированного ряда. Ранжированный ряд – выравнивание по возрастанию или убыванию.

В интервальном ряду распределения порядок нахождения медианы:

1. Ранжируем ряд

2. Определяем сумму и полусумму частот

3. Определяем медианную частоту путем суммирования частот сверху до значения середины частот

4. Определяем медианный интервал который соответствует серединной частоте

5. Определяем медиану по формуле (8)

Xme – нижняя граница медианного интервала

i – величина интервала

S (me-1) – накопленная частота интервала предшествующаего медианному

f – частота

Показатели вариации

Само слово Вариация имеет латинское происхождение, колеблемость, различия

Абсолютные показатели вариации

1. Размах вариации, разность между максимальными и минимальными значениями признака. Простота расчета (9)

2. Среднее линейное отклонение

   1. Среднее линейное отклонение простое (10)

   2. Среднее линейное отклонение взвешенное (11)

3. Среднее квадратическое отклонение, обобщающая характеристика размеров вариаций признака в совокупности ; показывает на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения и является абсолютной мерой колеблемости признака.

   1. Среднее квадратическое отклонение простое

2. Среднее квадратическое отклонение взвешенное

На основе среднего квадратического отклонения рассчитывают дисперсию.

Линейный коэффициент вариации, представляет собой выраженное в процентах отношение среднеквадратического отклонения к средней арифметической. Используется для сравнительной оценки вариации единиц совокупности и как характеристика однородности совокупности. Если коэффициент вариации не превышает 33%

Совокупность является однородной

Правила сложения дисперсии

Вариация признаков обусловлена различными факторами. Некоторые из этих факторов можно выделить по какому либо признаку и анализировать, однако ряд факторов влияющих на изменение явления могут быть не существенным (случайные факторы), однако их влияние так же необходимо учитывать.

Виды дисперсий:

1. Общая. Измеряет вариацию признака по всей совокупности под влияние всем факторов обусловивших эту вариацию

2. Межгрупповая. Характеризует систематическую вариацию результативного признака обусловленного влиянием признака фактора положенного в основание группировки.

3. Внутригрупповая. Отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации обусловленную влиянием неучтенных факторов

4. Средняя внутригрупповая (на основе групповых дисперсий)

n – количество или частота

Правило сложения дисперсий.