4.2.1.2 Решение задач линейного программирования симплекс-методом

Графический способ решения задач линейного программирования весьма прост, однако его можно использовать только при наличии двух переменных, что существенно ограничивает его применение для решения реальных задач. Для решения задач линейного программирования с любым количеством переменных применяется специальный аналитический метод, называемый симплекс-методом.

Симплекс-метод представляет собой алгоритм решения задач линейного программирования матричным способом на базе метода модифицированных Жордановых исключений. Четкость этого алгоритма позволила разработать пакеты программ для решения задач линейного программирования симплекс-методом на компьютере.

Для решения задач линейного программирования симплекс-методом необходимо её математическую модель привести к стандартному (каноническому) виду.

При приведении задачи линейного программирования к стандартному виду необходимо предусмотреть следующее:

а) целевую функцию задачи необходимо обозначить символом Z, а основные ограничения в направлении сверху вниз символами y₁,y₂,...,y_i.....,y_m;

б) целевая функция задачи должна максимизироваться;

в) все основные ограничения задачи y_i должны быть вида y_i.0.

Если целевая функция задачи линейного программирования минимизируется, то для приведения её к стандартному виду необходимо все её слагаемые умножить на -1, а затем находить максимум этой целевой функции.

Для приведения систем основных ограничений к стандартному виду необходимо выполнить следующие преобразования.

Во всех основных ограничениях y_i постоянные величины (свободные члены) b_i необходимо перенести в левую сторону ограничений, то есть привести ограничения к виду y_i 0 или y_i 0, Ограничения вида y_i 0 необходимо умножить на -1. Таким образом, все ограничения будут приведены к виду y_i 0.

Приведенная к стандартному виду задача линейного программирования даёт исходную информацию для её решения «вручную». Исходные данные представляются в виде матрицы, имеющей n+1 столбец и m+1 строк. Затем решается задача симплекс-методом в два этапа:

- находится опорное решение, то есть наихудшее из возможных;

- находится оптимальное решение, то есть наилучшее из возможных.

При решении задачи линейного программирования симплекс-методом на компьютере приводить её к стандартному виду нет необходимости, так как это осуществляется по специально разработанной программе. Кроме того, при решении задачи линейного программирования симплекс-методом на компьютере символы целевой функции и ограничений, а также условные обозначения переменных и постоянных величин математической модели задачи могут быть произвольными.

Решается задача №1 линейного программирования симплекс-методом на компьютере на базе её математической модели (рис. 3.4, 4.4, 5.4. 6.4, 7.4).

Рис. 4.3 Решение задачи №1 линейного программирования симплекс-методом при помощи специальной программы

Рис. 4.4 Результат решения задачи №1 линейного программирования симплекс-методом при помощи специальной программы

Рис. 4.5 Результат решения задачи №1 линейного программирования симплекс-методом при помощи помощью надстройки «Поиск решения»

Microsoft Excel 11.0 Отчет по устойчивости

Рабочий лист: [Курсовой1.xls]Задача №1 Численное решение

Отчет создан: 07.01.2012 13:10:16

Изменяемые ячейки

Результ.

Нормир.

Ячейка

Имя

значение

градиент

$B$14

x1 a2

900

0

$B$15

x2 a2

157

0

Ограничения

Результ.

Лагранжа

Ячейка

Имя

значение

Множитель

$B$16

Ог1 a2

861

0

$B$17

Oг2 a2

650

1

а

Microsoft Excel 11.0 Отчет по пределам

Рабочий лист: [Курсовой1.xls]Отчет по пределам 1

Отчет создан: 07.01.2012 13:13:05

Целевое

Ячейка

Имя

Значение

$B$13

x1+x2®max a2

1057

Изменяемое

Нижний

Целевой

Верхний

Целевой

Ячейка

Имя

Значение

предел

результат

предел

результат

$B$14

x1 a2

900

0

157

900

1057

$B$15

x2 a2

157

0

900

157

1057

б

Рис. 4.6 Отчеты по устойчивости (а) и пределам (б) решения задачи №1 линейного программирования симплекс-методом при помощи помощью надстройки «Поиск решения»

В итоге представляются результаты решения этой задачи:

- оптимальные значения x_1опт и x_2опт переменных x₁ и x₂;

- максимальное значения целевой функции Z_max при оптимальных значениях переменных x_1опт и x_2опт.