2.4.2 Указания по выполнению задания к-4

Из задач, решаемых по этой теме, необходимо обратить особое внимание на задачи с плоскими механизмами, состоящими из нескольких звеньев.

Механизм, движение которого исследуется, надо изобразить на рисунке в том положении, для которого требуется определить соответствующие характеристики. При решении кинематических задач плоского многозвенного механизма рекомендуется придерживаться нижеследующего порядка.

1. Выяснить число тел (звеньев), входящих в данный механизм и вид движения каждого из них.

2. Установить тело, движение которого задано (ведущее звено). Для этого в теле определить все величины, указанные в условии задачи, затем найти скорость точки, соединяющей это тело с последующим.

3. Перейти к рассмотрению следующего тела, в котором уже известна ско­рость одной точки (общей с первым телом). Если из вида движения будет найдено хотя бы направление скорости еще одной точки (например, известна траектория точки), применить к этой точке теорему о скорости, выбрав за полюс точку, скорость которой известна. Далее из этого равенства определить угловую скорость тела. После этого по вышеупомянутой теореме определить скорости точек, указанных в условии задачи, а затем ско­рость точки, соединяющей это тело со следующим.

4. Перейти к следующему телу, далее см. выше п. 3.

Примечания:

1. Решение задачи об ускорениях производится после решения задачи о ско­ростях. Порядок решения аналогичен вышеприведенному.

2. Если тело, к которому перешли, совершает поступательное движение, то достаточно ранее найденных величин.

МЦС (мгновенный центр скоростей) определяется для каждого звена в отдельности; то же относится к угловым скоростям и угловым ускорениям.

Найденное значение скорости точки не является величиной постоянной. Это - значение скорости точки только в данный момент времени (мгновенное).

При этом ускорение точки может быть не равным нулю, что относится и к угловой скорости звена.

В ниже приведенных примерах расчет скорости сделан двумя способами: применением теоремы о скорости точки плоской фигуры и применением метода МЦС, а ускорения – только применением теоремы.

2.4.3 Примеры выполнения задания к-4

Пример К-4.1. Кривошип О₁О = l вращается вокруг оси, проходящей через точку О₁ имеет в данный момент угловую скорость  и угловое ускорение ε (рис. 3.96 а). На палец О этого кривошипа свободно насажено колесо 1 радиусом r, которое катится без скольжения по неподвижному колесу радиусом R = l - r.

Найти в данный момент времени угловую скорость и угловое ускорениеколеса1, скорости и ускорения точек А и В (рис. 2.97).

Решение:

Способ 1. Применение теоремы о скорости точки плоской фигуры. Механизм состоит из двух тел: кривошип О₁О совершает вращательное движение, колесо 1 совершает плоскопараллельное движение.

Точка О принадлежит одновременно телу (колесу 1) и кривошипу О₁О, поэтому в силу неразрывности кинематических параметров .

Переходя к следующему телу ( колесу 1), будем помнить, что у этого тела уже известна скорость одной точки O – . Определим еще скорость точки Р – точки касания колес. Так как происходит качение без скольжения, скорости точек касания двух тел должны быть равны. Поскольку одно из колес (радиусом R) неподвижно, то = 0. Применим к точке Р теорему о скорости точки плоской фигуры, взяв точку О за полюс:

(2.5)

где

В данном случае легко угадать направление , следовательно, и направление скорости. В принципе, можно направить перпендикулярно к РО произвольно. Тогда знак покажет, что если – направление верно, а если направление противоположно выбранному.

а)	б)
Рис. 2.96. Расчетная схема к примеру К.4.1: а - расчетная схема механизма; б - план ускорений

Следует иметь в виду, что определяется и направлением. Спроецируем (2.5) на осиx и у. Поскольку .

После этого можем найти скорость любой точки колеса 1, например, А и В, применяя к ним теорему о скорости точки плоской фигуры, взяв точку О за полюс:

, (2.6)

где .

Направление определяется направлением, а модуль векторанеизвестен. Проецируя (2.6) на оси координат x и у, получим:

тогда

Так как < 0, то направление вектора противоположно осиx.

Аналогично рассчитывается скорость точки В:

. (2.7)

Проецируя (2.7) на оси x и у, получим:

Направляющие косинусы определяются формулами:

Способ 2. Метод МЦС(мгновенный центр скоростей) и определение ускорений.

Для решения задачи рассматриваем движение колеса 1. По данным задачи легко найти скорость и ускоренияточкиO этого колеса, которую принимаем за полюс.

Определение и . Зная  и  кривошипа, находим:

Направления векторов и определяются направлением и, вектор направлен от О к О₁. Показываем их на рисунке.

Определение , . Точка Р зацепления колес является МЦС для шес­терни 1. Следовательно, угловая скорость шестерни равна:

,

а направление определяется направлением

Зная и положение МЦС колеса1, находим скорости точек А и В:

Векторы инаправлены перпендикулярно АР и ВР, и их направления определяются направлением.

Определение . Так как в выражении для линейного ускорения а величина ОР = r остается постоянной при любом положении колеса 1, то

.

Векторы инаправлены в разные стороны, так как вращение колеса1 – замедленное, направлено противоположно.

Определение ускорений точек А и В. Рассматривая колесо 1 и принимая точку О за полюс, имеем:

Находим:

Векторы и направлены от рассматриваемых точек к полюсу, а векторы и перпендикулярны к ним, и их направления определяются направлением(см. рис. 2.96,б).

Изображаем на рисунке все векторы, из которых слагаются ускорения точек А и В. Спроецировав (2.8) и (2.9) на оси координат, получим:

Ответ: .

Пример К-4.2. Механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединен­ных друг с другом и с неподвижными опорами O₁ и O₂ шарнирами (рис. 2.97), точка Д находится в середине стержня 2.

Длины стержней равны соответственно: l₁ = 0,4 м, l₂ = 1,2 м, l₃ = 1,4 м, l₄ = 0,6 м. Для положения механизма, показанного на рисунке, по известной угловой скоро­сти = 2c^-1 угловому ускорению = 4 с^-2 стержня O₁А в данный момент времени найти скорости иточек В и Е, угловую скоростьи угловое ускорениезвена АВ, а также ускорение точки В.

Решение:

Механизм образуют четыре тела: 1 – О₁А совершает вращательное движе­ние; 2 – АВ совершает плоскопараллельное движение; 3 – ДЕ совершает плоскопараллельное движение; 4 – O₂Е совершает вращательное движение. Начинаем с рассмотрения движе­ния тела 1, найдем . Точка А принадлежит телу О₁А, совершающему вращательное движение, поэтому

Перейдем к телу 2. Зная направление вектора скорости точки А (), можем указать направление вектора скорости точки В () – по направляющей, в ту или другую сторону. Предположительно выберем направление. Применив к точке В теорему скоростей и взяв точку А за полюс, получим:

(2.10)

где .

Направление выберем предположительно. Спроецируем (2.10) на оси координат (xBу):

–это означает, что предварительно выбранные направления соответствуют истинным. Угловая скорость вращения шатуна АВ:

.

Знак показывает, что направлениепротивоположно направлению вращения часовой стрелки.

Рис. 2.97. Расчетная схема к примеру К-4.2.

Найдем по теореме, взяв за полюс точку В:

, (2.11)

где .

Направление находится в соответствии с направлением.

Спроецируем (2.11) на оси координат, направление и величина скорости неизвестны:

Так как , то вектор скоростилежит на осиx, причем . Следовательно, направлениепротивоположено направлению оси х.

Определим , для этого рассмотрим стержень ДЕ, знаяи направление, так как точка E принадлежит стержню ЕО₂, который совершает вращательное движение. Направление выберем предположительно. Выбирая Д полюсом и применяя к точке Е теорему о скорости точки плоской фигуры, получим:

где .

Предположительно выбрав направление и проецируя векторное равенство на оси координатx и y, получим:

Так как , то предположительно выбранные направления соответствуют действительным.

, и направление _ED совпадает с направлением вращения часовой стрелки (см. направление ).

Определение . Предварительно находим скорость точки А:

.

Направление определяется направлением.

Для определения воспользуемся теоремой о проекции скоростей двух точек стержня АВ на прямую, проходящую через точкиA и В. Направление скорости известно. Находим:

отсюда .

Определение . Находим положение МЦС – точка Р₂ звена АВ, восстанавливая из точек А и В перпендикуляры к и. Рассчитываем: АР₂ = АD/соs30° = 0,69м, АР₂ = 1,16 с^-1. Направление определяется направлением.

Определение . Точка Е принадлежит стержню ДЕ. Следовательно, для определения надо предварительно найти. Так как точка Д принадлежит одновременно стержням АВ и ДЕ, и нет разрыва параметров, то:

ДР₂ = (/АР₂) ДР₂ = 0,40 м/с.

Вектор перпендикулярен к отрезку Р₂Д и направлен в соответствии с направлением угловой скорости .

Так как точка Е принадлежит стержню О₂Е, вращающемуся вокруг точки С₂, то О₂Е. Но точка Е одновременно принадлежит и ДЕ, поэтому, восстанавливая из точек Д и Е перпендикуляры к и, получаем МЦС – точка Р₃ звена ДЕ. Из геометрии следует, чтоДЕР₃ = ДР₃Е = 30°, тогда ДР₃Е равнобедренный. Составив пропорцию, находим:

; .

По направлению определяем направление поворота стержня ДЕ, т.е. направление угловой скорости .Вектор будет направлен в сторону поворота стержня ДЕ перпендикулярно к Р₃Е.

Определение . Находим сначала ускорение точки А:

Вектор направлен вдоль АО₁, а - перпендикулярно к АО₁; изображаем эти векторы на рисунке.

Приняв А за полюс и применяя теорему об ускорении к точке В, получим:

.

Находим . Вектор направлен от В к А. Вектор направлен перпендикулярно к АВ (конкретное направление выберем предположительное). Изображаем на рисунке эти векторы. Для нахожденияпоследнее векторное равенство спроецируем на осьx, перпендикулярную к .

Так как точка В одновременно принадлежит и ползуну, имеющему направляющие, то предполагаем, что вектор направлен вниз:

Отсюда, подставляя числовые значения всех величин, находим . Знак “минус” указывает, что векторнаправлен в сторону, противоположную направлению, указанному на рисунке.

Определение . Сначала находим . Для этого последнее векторное равенство спроецируем на ось Вy:

Отсюда находим = -3,96 м/с². Знак «минус» указывает, что вектор направлен противоположно направлению, показанному на рисунке.

Из равенства определяем:

Так как < 0, то направлено против движения часовой стрелки (противоположно первоначально предполагаемому направлению).

Ответ: м/с;.

Пример К-4.3. К кривошипу, равномерно вращающемуся вокруг оси О с угло­вой скоростью , прикреплен шатун АВ с коромыслом ВС (рис 2.98). Даны размеры: ОА =r = 0,5 м; АВ = 2r; ВС = r; ОАВ=90°;АВС=45°. Определить ускорение точки В, а также угловую скорость и угловое ускорение коромысла ВС и шатуна АВ.

Решение:

Рассмотрим движение тел, образующих механизм: 1 – ОА – вращательное; 2 – АВ – плоскопараллельное; 3 – ВС – вращательное. Решение начнем с ОА, найдем :

.

Перейдем к рассмотрению шатуна АВ: кроме можем найти направление вектора скорости. Так как В принадлежит ВС, то в его вращательном движении но В одновременно принадлежит АВ, тогда, направление выберем предположительно. Проецируя векторное равенство на оси координат хВу, получим:

Так как и, предварительно выбранные направления соответствуют истинным. В соответствии с направлениемугловая скорость направлена по ходу часовой стрелки.

Точка В принадлежит коромыслу ВС, поэтому . Угловая скоростьнаправлена по ходу часовой стрелки.

Определение , . Рассматривая движение шатуна АВ, выберем за полюс точку А, принадлежащую одновременно и кривошипу ОА, совершающему вращательное движение. Для точки А, так как , получаем:

Вектор перпендикулярен к ОА, его направление определяется, а вектор направлен от А к О.

Определение . В связи с тем что точка В принадлежит звену ВС, вектор перпендикулярен к звену ВС. Проводя перпендикуляры к векторами, получаем МЦС звена АВ –. Изследует, что.

Поэтому

Направление поворота показано на рис 2.98.

Определение ускорения точки В. По теореме об ускорениях точки при плоском движе­нии твердого тела имеем:

В этом выражении неизвестны направление и величина . Кроме того, неизвестна величина, так как для определения нельзя воспользоваться методом МЦС (расстояние до МЦС от точки А непостоянное), но легко найти.

Вычисляемыми будут только численные значения величин и, , направления выбираем предположительно. В проекциях на оси координат последнее векторное равенство дает два скалярных уравнения, из которых определяются неизвестные.

Предварительно найдем и .

Определение . Зная , находим:

Вектор направлен от В к А.

Определение . Зная , находим:

Вектор направлен от В к С.

Определение ,. Для определения спроецируем обе части векторного равенства в явном виде на оси координат x и у:

Подставляя численные значения величин, получаем: м/с²,

Знак “минус” показывает, что вектор имеет направление, противоположное предположительно выбранному. Так какV_B  0 и  0, вращение коромысла ВС – замедленное. Зная и, находим :

Определение , . По известным , и рассчитываем:

.

Направление определяется направлением. Направлениеопределяется направлением; – истинным направлением . Указываем ина рис. 2.98.

Ответ: .

Приложения А

Образец оформления титульного Титульный листа

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Орловский государственный технический Университет