3.5.2 Указания по выполнению задания д-5

[Один из общих принципов механики, называемый принципом Даламбера – Лагранжа, формулируется так: движение механической системы с идеальными связями под действием приложенных к ней активных сил происходит так, что в каждый момент времени сумма элементарных работ этих активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы из рассматриваемого положения равна нулю.

Уравнение, дающее математическое выражение принципа Даламбера –Лагранжа, называется общим уравнением динамики:

. (3.46)

Преимущество общего уравнения динамики состоит в том, что в его формулировке отсутствуют силы реакций идеальных связей. Если не все связи идеальные, следует к активным силам добавить силы реакций, соответствующие неидеальным связям, например силы трения.

При решении задач с помощью общего уравнения динамики для выбранной механической системы с одной степенью свободы рекомендуется придерживаться следующей последовательности:

1) показать на рисунке активные силы и силы реакций, соответствующие неидеальным связям;

2) приложить к телам системы силы инерции;

3) дать возможное перемещение одной из точек системы и выразить возможные перемещения точек приложения всех сил через это перемещение;

4) вычислить сумму возможных работ всех сил, указанных в первых двух пунктах, и составить общее уравнение динамики;

5) найти искомую величину, решив составленное уравнение.

3.5.3 Примеры выполнения задания д-5

Пример Д-5.1. Используя общее уравнение динамики, решить задачу для схемы, показанной на рис. 3.126.

Дано: Р₁ = 6Р, Р₂ = 4Р, Р₃ = 2Р, Р₄ = 2Р, Р₅ = P, F = 16Р.

Найти: а₁ – ускорение груза 1.

Рис. 3.126. Расчетная схема к примеру Д-5.1

Решение: применим для решения задачи общее уравнение динамики. Связи для грузов 1 и 2 неидеальные, так как надо учитывать трение.

1. Показываем на рисунке активные силы и силу . Для грузов 1 и 2 показываем реакции шероховатых поверхностей и,(неидеальные связи). Задавшись направлением ускорения груза, показываем силы инерции поступательно движущихся грузов 1 и 2 – , пары сил инерции для вращающихся шкивов 4 и 5 – , а также главный вектор и главный моментсил инерции тела3, совершающего плоскопараллельное движение, величины которых равны:

Так как массы шкивов 4 и 5 распределены по их внешним ободам, а тело 3 – однородный цилиндр, то

Силы трения для тел 1 и 2 определяются через нормальные реакции, т.е. , аиравны величинам составляющих сил тяжести, перпендикулярным к плоскостям движения:,. Поэтому.

2. Сообщая системе возможное перемещение и составляя уравнение работ на данном перемещении (3.43), будем иметь:

Все перемещения выразим через возможное перемещение груза 1, т.е. через .

Воспользуемся тем, что в случае стационарных связей возможные перемещения связаны аналогично скоростям и ускорениям:

(3.45)

Для тела 3 учтено, что оно совершает мгновенно вращательное движение вокруг МЦС, который находится в точке соприкосновения с плоскостью движения. Подставив (3.45) в уравнение (3.44) с учетом выражений для моментов и сил инерции, получим:

(3.46)

Входящие в это выражение ускорения выразим через искомое ускорение :

;

Соотношения между ускорениями такие же, как и между скоростями этих же точек или тел. Учитывая, что в выражении (3.46) приравниваем к нулю выражение в скобках. После преобразования будем иметь:

Подставляя исходные данные задачи, получим:

или

.

Ответ: .

Приложения А

Образец оформления титульного Титульный листа

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Орловский государственный технический Университет