2. Пример решения задачи управления запасами

2.1. Нахождение оптимальной производственной программы

Рассмотрим следующий пример:

Пусть количество отрезков времени N = 6 (Январь – Июнь), спрос D_t = 3, для t = . Затраты определяются по формуле:

, где

x_t – выпуск продукции;

- запасы на конец отрезка t ;

h∙i_t – затраты на хранение;

h = 1 – затраты на хранение единицы продукции;

- производственные затраты

, где t = ;

, где t = .

Производственные затраты – это сумма условно постоянных затрат на переналадку оборудования – 13 и затрат пропорциональных выпуску продукции - .

Производственные мощности и складские площади ограниченны, поэтому налагаются ограничения на выпуск х и уровень запасов i.

;

Затраты на переналадку оборудования относительно высоки по сравнению с другими элементами затрат. Поэтому необходимо стремиться к укрупнению партии выпускаемой продукции. Объем выпуска ограничен пятью единицами. Спрос в каждом периоде равен трем единицам. Поэтому уровень запасов в течение одного отрезка времени не может возрасти больше чем на две единицы. Это означает, что в течение двух периодов времени не удается избежать двух переналадок.

Обозначим:

- минимальные затраты на n последних отрезков при начальном уровне запасов i.

- выпуск продукции, который обеспечит . Будем считать, что уровень запасов на конец всего планового периода должен быть равен нулю.

Пусть n = 1.

Рассмотрим программу на последний месяц (на июнь)

D₆ = D_июня = 3 – спрос на июнь.

Запишем условие (4) для рассмотренного примера:

Где - уровень запасов на конец всего планового периода (для нас ), - спрос на июнь.

Тогда .

Следовательно , т.е.

Уровень запасов для n=1 не превышает 3.

Тогда выпуск x₁ неотрицательный, целая величина лежит в пределах:

, т.е.

Выпуск в июне , где i - запас на начало последнего периода, (на 1 июня).

Теперь можно составить таблицу.

= 13 + 2(3 – i).

Таблица 1

Возможные значения запаса
0 1 2 3	3 2 1 0	19 17 15 0

Для каждого шага n будем строить одну таблицу, в которой предусмотрено:

1. по одной строке для каждого возможного значения начального уровня запаса ;

2. по одному столбцу для каждого возможного значения объема выпуска продукции х.

Будем записывать минимальные затраты для соответствующих сочетаний выпуска х и начального запаса i.

Некоторые клетки таблицы могут быть запрещены в силу условий задачи, каждое из представленных в клетках таблицы чисел представляет собой сумму затрат для периода n и оптимальность затрат для n – 1 последующих периодов. В двух дополнительных столбцах записывается минимальная сумма по строке и соответствующий оптимальный выпуск продукции.

Для n = 2 формула для заполнения клеток таблицы:

, где

- затраты на хранение единицы продукции

13 + 2х – затраты на производство

– затраты на хранение

– минимальные затраты на июнь

Ограничения для уровня запасов

Тогда для данной задачи , но по условию ; следовательно .

Ограничения для выпуска продукции: ,

Так, например,

, следовательно , но по условию и тогда

, и т.д.

Согласно указанным ограничениям можно отметить запрещенные клетки: для это клетки (1;0) и (1;1).

Таблица 2

х	0	1	2	3	4	5
0	* х	*	*	38	39	40		3	38
1	*	*	36	37	38	26		5	26
2	*	34	35	36	24	*		4	24
3	19	33	34	22	*	*		0	19
4	18	32	20	*	*	*		0	18

кл. (0; 3):

кл. (1; 2):

кл. (1; 3):

Для n = 3 формула для заполнения таблицы следующая:

(для нашего примера )

Таблица 3

х	0	1	2	3	4	5
0	*	*	*	19 + 38	22 + 26	25 + 24		4	48
1	*	*	17 + 38	20 + 26	23 + 24	26 + 19		5	45
2	*	15 + 38	18 + 26	21 + 24	24 + 19	27 + 18		4	43
3	0 + 38	16 + 26	19 + 24	22 + 19	25 + 18	*		0	38
4	1 + 26	17 + 24	20 + 19	23 + 18	*	*		0	27

Примечание: х – в клетке, ставится знак «*», значит клетка запрещена, например кл. (0; 0): спрос в данном случае 3, а выпуск 0, данный объем выпуска не может обеспечить такой спрос, следовательно, клетка запрещена.

Аналогично составляем таблицы для n = 4, n = 5 и n = 6.

Для получения оптимальной программы составляем сводную таблицу.

Таблица 4

Начальный запас на период
0	3	19	3	38	4	48	3 или 4	67	5	79	4	96
1	2	17	5	26	5	45	5	64	5	74	5	93
2	1	15	4	24	4	43	5	54	4	72	4	91
3	0	0	0	19	0	38	0	48	0	67	0	79
4	*	*	0	18	0	27	0	46	0	65	0	75

Найдем оптимальную программу выпуска продукции.

Пусть запас на начало всего планового периода будет равен 0, тогда получим таблицу 5.

Таблица 5

Оптимальная программа выпуска

Число шагов до конца планового периода	Запас на начало месяца	месяц	Оптимальный выпуск	Запас на конец месяца
	0	Январь	4	1
	1	Февраль	5	3
	3	Март	0	0
	0	Апрель	4	1
	1	Май	5	3
	3	июнь	0	0