vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Контрольные вопросы
1.Чем отличается абсолютно упругий удар от абсолютно неупругого удара?
2.Что называется механической системой?
3.Какие системы являются замкнутыми?
4.В чём заключается закон сохранения импульса?
5.Каким свойством пространства обуславливается справедливость закона сохранения импульса?
6.В чём заключается закон сохранения полной механической энергии?
7.Для каких систем выполняется закон сохранения полной механической энергии?
8.В каких случаях закон сохранения полной механической энергии не выполняется?
9.В чём физическая сущность закона сохранения и превращения энергии?
10.Следствием каких законов являются выражения для скоростей тел после центрального абсолютно упругого удара?
РАБОТА 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ УНИВЕРСАЛЬНОГО МАЯТНИКА
Цель работы - определить ускорение свободного падения при помощи универсального маятника.
Теоретические основы лабораторной работы
Измерения ускорения свободного падения выполняются с помощью косвенных методов. Многие из них основаны на использовании формул для периода колебаний математического и физического маятников.
38
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на невесомой, нерастяжимой нити и совершающая колебание в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.
Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити.
Период колебаний математического маятника
T 2 l / g , |
(1) |
где l - длина маятника; g - ускорение свободного падения. Отсюда ускорение свободного падения определяется по
формуле
g 4 2l / T 2 |
(2) |
Ускорение g можно вычислить, измерив Т и l. Погрешность определения g в этом случае связана с тем, что реальный маятник, используемый в лабораторных условиях, может только с некоторым приближением рассматриваться как математический. Чем больше l, тем точнее косвенное измерение ускорения свободного падения с использованием этой методики.
Физическим маятником называется абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести.
Период колебаний физического маятника
T 2 |
|
J |
|
2 |
|
L |
|
, |
(3) |
|
mgl |
g |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
где J - момент инерции маятника относительно оси качаний (точки подвеса); m - его масса; l - расстояние от центра масс до оси качаний.
Величину L = J/(ml) называют приведенной длиной физического маятника. Она равна длине такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.
Зная T, m, l и J можно по формуле (3) найти ускорение свободного падения g. Массу маятника и период его колебаний можно измерить с очень высокой точностью, но точно измерить
39
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
момент инерции не удается. Указанного недостатка лишен метод |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
оборотного |
маятника, |
|
который |
позволяет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С1 |
|
|
|||||||||||||||||||
исключить |
момент |
инерции из |
расчетной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В1 |
|||||||||||||||||||||||
формулы для g. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Метод оборотного маятника основан |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|||||||||||||||||||||||
на том, что во всяком физическом маятнике |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
можно найти такие две точки, что при |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
последовательном подвешивании маятника за |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
одну или другую, период колебаний его |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
остается одним и тем же. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С2 |
|
|
||||||||
Расстояние |
|
между |
этими |
|
точками |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
представляет собой |
приведенную |
|
длину |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В2 |
|||||||||||||||||||
данного маятника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Оборотный |
|
маятник |
|
(рис.1) |
|
|
состоит |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
обычно из |
металлического |
|
стержня |
А, по |
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
которому могут передвигаться и закрепляться |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
в том или ином положении грузы В1 и В2 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
опорные призмы С1 и С2. Центр масс маятника - точка О. Период |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
колебаний маятника можно менять, перемещая грузы или опорные |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
призмы. Маятник подвешивают вначале на призме С1 и измеряют |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
период его колебаний Т1. Затем маятник подвешивают на призме С2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и измеряют период колебаний Т2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Допустим, что нам удалось найти такое положение грузов, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при котором периоды колебаний маятников Т1 и Т2 на призме С1 и С2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
совпадают, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 T2 T 2 |
|
|
J1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
J 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
mgl1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mgl2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Отсюда следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
J |
|
mgl |
|
T 2 |
|
|
, |
|
|
J |
|
mgl |
|
|
|
T 2 |
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
По теореме Штейнера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
J1 |
J 0 |
ml12 ; |
|
|
|
J 2 |
|
J 0 ml22 , |
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
||||||||||||||||||||||
где J0 - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр масс и параллельной оси качаний.
С учетом формул (5) и (6) можно записать
40
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
J1 J 2 |
|
T 2mgl1 T 2mgl2 |
m l12 |
l22 |
|||||||||
Следовательно |
4 2 |
|
|
|
4 2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= T 2 g |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
l |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
2 |
|
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
Период колебаний физического маятника |
|
||||||||||||
|
|
l1 l2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
T 2 |
2 |
L |
|
(7) |
||||||||
|
|
g |
g |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ускорение свободного падения |
|
|
|
|
|
(8) |
|||||||
|
|
g 4 2 L / T 2 |
|
|
|
|
|
||||||
Формула (7) аналогична формуле (1) для математического маятника. Следовательно, L = l1 + l2 - приведенная длина физического маятника, которая, как видно из рис.1, равна расстоянию между призмами С1 и С2, в момент измерений когда Т1 = Т2. Это расстояние легко может быть измерено с большой точностью.
Чтобы пояснить процедуру достижения равенства периодов Т1 и Т2, исследуем, как зависит период колебаний от расстояния l между центром масс и осью качаний маятника. Согласно формулам
(3) и (6), имеем
|
|
|
|
J0 ml 2 |
|
|
T 2 |
J |
2 |
|
. (9) |
||
mgl |
mgl |
|||||
Для определения минимума функции Т = f(l) (формула 9) необходимо приравнять нулю её первую производную. Период колебаний будет минимален т. е.
Т = Тmin при lmin = 
J 0 / m (рис.2).
При Т Тmin одно и то же значение Т достигается при двух
разных значениях l; одно из них больше, а другое меньше lmin. Эти значения l1 и l2 и входят в формулу для приведенной длины маятника L.
41
Т
T’2
Т=Т1=Т2 
Т”2 |
|
|
Тmin |
|
|
2 2 2 |
|
|
min |
1 |
Рис.2
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 |
|
|
|
|
|
||||||||
Вначале измеряется период колебаний маятника Т1 |
|||||||||||||
относительно призмы С1. Затем маятник переворачивается и |
|||||||||||||
измеряется период колебаний Т2 относительно призмы С2. Если при |
|||||||||||||
этом получится |
T T |
, то этому будет соответствовать l1 |
l |
. И |
|||||||||
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
для того, чтобы приблизить T |
и Т1, надо увеличить |
l1 |
. Для этого |
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
надо призму С2 передвинуть от середины стержня к краю. Если |
|||||||||||||
получится T2 < Т1, то призму С2 надо будет передвинуть к середине |
|||||||||||||
стержня. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Анализ точности измерения g методом оборотного маятника |
|||||||||||||
показывает, что погрешность измерения слабо зависит от точности, |
|||||||||||||
с которой выполняется равенство Т1 = Т2. Достаточно добиться того, |
|||||||||||||
чтобы периоды оказались равны друг другу с точностью 0,5 %. |
|
||||||||||||
Кроме того, для получения достаточной точности измерения |
|||||||||||||
отношение l1/l2 |
не должно быть слишком малым |
или слишком |
|||||||||||
|
|
|
|
большим. Достаточно выполнить |
|||||||||
3 |
|
4 |
С1 |
изменения |
в |
пределах |
1,5 < l1/ |
||||||
|
|
l2 < 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 |
|
6 |
|
Описание установки |
|
|||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
В |
основании 1 |
универсального |
||||||||
|
|
С2 |
|||||||||||
|
|
маятника |
|
закреплена |
колонка 7, |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
на которой зафиксирован верхний |
|||||||||
|
|
|
кронштейн 4 |
|
и |
|
нижний |
||||||
|
9 |
|
10 |
|
|
||||||||
|
|
кронштейн 9 |
|
|
|
|
|
с |
|||||
2 |
|
|
|
фотоэлектрическим |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
датчиком 10 (рис.3). |
Отвинчивая |
|||||||||
1 |
|
|
11 |
винт 5, |
|
верхний |
|
кронштейн |
|||||
|
|
|
можно |
поворачивать |
вокруг |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
колонки. |
|
С |
одной |
стороны |
|||||
Рис.3 |
|
|
|
кронштейна 4 |
|
|
|
находится |
|||||
|
|
|
математический |
маятник 2, |
с |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
другой - на вмонтированных вкладышах оборотный маятник 8. |
|
||||||||||||
Длину математического маятника можно регулировать при помощи |
|||||||||||||
винта 3 и определять при помощи шкалы на колонке. |
|
|
|
|
|
||||||||
42
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Оборотный маятник выполнен в виде стального стержня, на котором крепятся две призмы (ножа) С1 и С2 и два диска 6. На стержень через 10 мм нанесены кольцевые нарезки, служащие для точного определения длины оборотного маятника (расстояние между призмами). Нижний кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком можно перемещать вдоль колонки. Фотоэлектрический датчик соединен с встроенным в основание универсальным электронным секундомером 11, который измеряет число колебаний n и общее время этих колебаний t. Период колебаний T = t/n.
Порядок выполнения работы
I. Математический маятник.
1.Поместить математический маятник (2) между нижним кронштейном (9) и датчиком (10), повернув соответствующим образом верхний кронштейн. При этом черта на шарике маятника визуально должна быть продолжением черты на фотодатчике (оптическая ось датчика проходит через шарик).
2.Отклонить маятник на угол 5 (примерно) и придержать шарик рукой.
3.Привести маятник в движение, отпустив шарик.
4.Измерить время 10 колебаний (n=10).
5.Повторить пп.1-4 еще десять раз.
6.По шкале на вертикальной колонке прибора определить длину маятника.
7.Результаты опыта записать в таблицу 1.
Таблица 1
Физ. величина |
t |
Ti |
gi |
Ед. измерения |
|
|
|
Номер опыта |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
… |
|
|
|
n |
|
|
|
II. Оборотный маятник
Измерение ускорения свободного падения g с помощью оборотного маятника сводится к измерению периодов колебаний Т1 и Т2 соответственно на призмах С1 и С2 (рис. 3), их сравнительной
43
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
оценке, последующего подбора такого положения призм, при котором достигается равенство периодов, измерению расстояния L = l1 + l2 между призмами (рис. 1) и вычислению ускорения свободного падения.
1.Поместить оборотный маятник (8) между нижним кронштейном
(9) и датчиком (10), повернув верхний кронштейн на 180 .
2.Зафиксировать диски на стержне так, чтобы один из них находился вблизи конца стержня, а другой вблизи его середины.
3.Закрепить маятник на верхнем кронштейне на призме, находящейся вблизи конца стержня (рис. 3), так чтобы другой конец стержня проходил через оптическую ось счётного устройства.
4.Отклонить маятник примерно на 5 от положения равновесия и придержать его рукой.
5.Привести маятник в движение, отпустив его.
6.Измерить время t десяти колебаний маятника.
7.Определить период колебаний оборотного маятника T1 по формуле: T1 = t/n.
8.Снять маятник и закрепить его на второй призме.
9.Измерить период Т2, повторив пп.4-7.
10.Сравнить периоды Т2 и T1 (вместо периодов можно сравнивать времена). Если Т2 > T1, вторую призму переместить в направлении диска, находящегося в конце стержня. Если Т2 < T1, переместить призму в направлении середины стержня (положение дисков и первой призмы при этом не менять).
11.Измерить снова период Т2.
12.Сравнить периоды T1 и Т2.
13.Положение второй призмы изменять до тех пор, пока значение
периода Т2 не станет равным значению периода T1 с точностью до 0,5 %.
14.Измерить расстояние между призмами по числу нарезок, которые нанесены через каждые 10 мм.
Обработка результатов измерений
1. Определить период колебаний математического маятника по формуле T = t/n.
44
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
2. Вычислить ускорение свободного падения |
для каждого |
измерения по формуле (2). |
|
3.Вычислить среднее значение g ускорения свободного падения.
4.Определить период колебаний оборотного маятника по формуле
T = t/n.
5.Определить приведенную длину оборотного маятника L по измеренному расстоянию между призмами.
6.Вычислить ускорение свободного падения по формуле (8).
7.Вывести формулы максимальной абсолютной или среднеквадратической погрешности косвенных измерений (по указанию преподавателя), используя соответствующие зависимости для математического и оборотного маятника.
8. Окончательный результат записать в виде g g g или
g g g .
Контрольные вопросы
1.Какое ускорение называют ускорением свободного падения?
2.Что такое математический маятник?
3.Что такое физический маятник?
4.Что называют периодом колебаний?
5.Что называют приведенной длиной оборотного маятника?
6.По какой формуле определяется период колебаний математического маятника?
7.По какой формуле определяется период колебаний оборотного маятника?
8.Почему с помощью маятников можно измерить ускорение свободного падения?
9.С чем связана погрешность определения g с помощью математического маятника?
С чем связана погрешность определения g с помощью оборотного маятника и, как ее устранить?
45