vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Тело |
Положения оси |
|
|
|
Момент |
|
|
|
|
|
инерции |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Полый тонкостенный |
Ось симметрии |
|
m R2 |
|||
цилиндр радиусом R |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Сплошной цилиндр или |
То же |
1 |
m R2 |
|||
диск радиуса R |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Прямой тонкий |
Ось перпендикулярна |
|
1 |
|
m l2 |
|
стержню и проходят |
|
|||||
12 |
||||||
стержень длиной l |
через его середину |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Прямой тонкий |
Ось перпендикулярна |
1 |
m l2 |
|||
стержню и проходит |
||||||
стержень длиной l |
через его конец |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Шар радиусом R |
Ось проходят через центр |
2 |
m R2 |
|||
|
шара |
5 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Метод наименьших квадратов
Суть метода заключается в поиске такой функциональной
зависимости у = (х, с1, с2, ..., сm) с коэффициентами сj(j = 1,2,...,m), при которой сумма
n |
,c2 |
...,cm |
2 |
S yi xi ,c1 |
(1) |
||
i 1 |
|
|
|
будет минимальна. Здесь уi - совокупность экспериментальных значений функции.
В соответствии с необходимым условием экстремума функций нескольких переменных, нужно приравнять к нулю частные производные суммы (1) по каждому из коэффициентов, т.е.
S |
0; |
S |
0; ..., |
S |
0. |
(2) |
|
c2 |
cm |
||||
t1 |
|
|
|
|||
54
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Полученные уравнения (2) для нахождения коэффициентов сj называются нормальными уравнениями для выбора наилучшего приближения к экспериментальным данным.
Если аппроксимирующая функция может быть представлена в виде линейной комбинации функций
m
(x) cj j (x)
j 0
(здесь j(x) - известные функции), то аппроксимация называется линейной.
Рассмотрим использование метода на примере наиболее простой, линейной зависимости. Если две переменные у и х связаны зависимостью типа у = А + Вх, то график такой функции, как известно, представляет собой прямую, наклон которой к оси абсцисс
определяется коэффициентом В = tg , а точка пересечения ординаты
y x 0 A .
На практике каждое измерение хi и уi сопровождается погрешностью. На рис. показаны экспериментальные точки с учетом погрешности при наличии линейной зависимости.
Можно провести множество прямых, которые близко проходят около этих точек. Метод наименьших квадратов позволяет подобрать такие коэффициенты А и В, что аппроксимация экспериментальных точек прямой у = f(х, А, В) будет наилучшей с точки зрения выполнения условия (1). Это условие предполагает в качестве критерия наилучших значений А и В такие, при которых вероятность получения всего данного набора результатов измерений уi(i = 1,2,...,N) максимальна.
Предположим, что результат измерения каждого значения уi подчиняется распределению Гаусса и средняя квадратическая
погрешность
вероятности,
PA, B
у одинакова для всех измерений. Согласно теории вероятность получения значения уi
( yi ) |
1 |
е yi y 2 / 2 2y , |
(3) |
|
|||
|
y |
|
|
где yi = A + Bxi - истинное значение измеряемой величины при значении аргумента xi.
55
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Вероятность получения всего набора результатов измерений у1, у2, ..., уN равна произведению соответствующих вероятностей:
PA,B y1 ,..., yN PA,B y1 ... … PA, B yN ~
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
е 2 /2 |
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
где |
|
y |
|
|
|
2 |
|
|||
|
N |
i |
A Bx |
|
||||||
2 |
|
|
|
i |
|
. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
i 1 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
Из формулы (4) следует, что вероятность максимальна, когда значение 2 минимально. Причем, если y постоянно для всех yi, то минимальной должна быть сумма
N |
2 |
S yi A Bxi . |
|
i 1 |
|
Итак, мы вернулись к условию (14), введенному в общем виде для любой функциональной зависимости.
Расчет величин А и В. В соответствии с уравнениями (2)
приравняем производные по коэффициентам А и В к нулю: |
|
|||||||
|
|
|
S |
|
S |
|
||
|
|
|
|
0, |
|
0. |
|
|
Тогда |
|
A |
|
B |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
S |
|
|
|
N |
|
|
|
|
2 yi A Bxi 0; |
|
||||||
|
A |
|
||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
N |
|
||
|
|
|
yi B xi NA; |
(5) |
||||
|
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
||
S
B
N |
|
|
|
2 yi A Bxi xi 0; |
|
||
i 1 |
|
|
|
N |
N |
N |
|
yi xi B xi2 |
A xi . |
(6) |
|
i 1 |
i 1 |
i 1 |
|
56
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
В результате решения системы нормальных уравнений (5) и
(6) получим наилучшие оценки постоянных А и В для прямой у = А + Вх, основанные на измеренных точках xi, yi:
A |
xi2 |
yi xi xi yi |
; |
|||
|
|
C |
|
|||
|
|
|
|
|
(7) |
|
|
|
N xi yi |
xi yi |
|
||
B |
|
; |
|
|||
|
|
|
C |
|
||
где C N xi2 xi 2. |
|
|
|
|
||
|
у. Не вдаваясь в довольно |
|||||
Погрешность в измерениях |
||||||
сложные теоретические рассуждения, приведем формулу для
расчета погрешности у |
при |
наличии |
линейной |
аппроксимации |
|||
у = А +Вх: |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
N |
|
|
|
2y |
|
|
yi A Bxi |
, |
(8) |
||
|
|
||||||
|
|
N 2 i 1 |
|
|
|
||
где А и В определяются по формуле (7).
Если в опыте произведено только два измерения, то у = . Это означает, что при обработке данных опыта методом наименьших квадратов необходимо, чтобы число опытов было по крайней мере больше двух.
Погрешность постоянных А и В. Величины А и В рассчитывают на основании экспериментальных данных xi и yi. Так как каждое измерение xi и yi сопровождается погрешностью, то и
величины А и В имеют погрешности А и В. Их рассчитывают по формулам
2 |
2 |
x2 |
/ C, |
2 |
N 2 |
/ C. |
A |
y |
i |
|
B |
y |
|
ПРИЛОЖЕНИЕ 3.
Штангенциркуль
Штангенциркуль предназначен для измерения длины до 150500 мм, с точностью до 0.1 или 0.05 мм.
57
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Штангенциркуль состоит из масштабной линейки – М с выступом А, называемым губкой, и подвижной рамки К, с другой губкой В. Рамка передвигается вдоль масштабной линейки, часть рамки снабжена нониусом.
Измеряемый объект зажимается между губками масштабной линейки и рамки.
Нуль масштабной линейки смещен на некоторое расстояние от плоскости губки А, на такое же расстояние смещен и нуль нониуса относительно плоскости губки В на рамке К. Таким образом, измеряемая длина предмета равна расстоянию между нулем масштабной линейки и нулем нониуса.
Снятие отсчета.
0
1
2
3
4
5 6 7
0 1 2 3 4 56 7 8 91
0
Число десятых долей миллиметра, снимается по подвижной шкале напротив первого штриха, совпадающего с риской на верхней шкале.
Число миллиметров
отсчитывается по верхней шкале напротив нуля на подвижной рамке
Измеряемый объект
данный объект имеет толщину 3,45 мм
Микрометр.
Микрометр используется для измерения небольших значений длины до 25-50 мм и более с точностью до 0.01 мм.
58
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Микрометр состоит из микрометрического винта А, ввинченного в скобу Е.
Измеряемое тело помещается между плоскостями торца А и упора А', укрепленного в скобе.
Измеряемое тело
Шаг винта А равен 0,5 мм. На барабане С имеется лимб, разбитый на 50 равных делений. При вращении барабана он перемещается вдоль шкалы Д, цена деления которой равна 0,5 мм, т.е. шагу винта А. Таким образом, цена деления лимба барабана 0,01 мм.
Измерение микрометром производят следующим образом: вращая винт А за головку В, прижимают измеряемый предмет к упору А' затем берут отсчет по неподвижной шкале Д с точностью
59
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
до 0,5 мм и прибавляют сотые доли миллиметра, которые отсчитывают по делениям лимба барабана С.
Число сотых отсчитывают по штриху лимба, находящемуся против продольного штриха шкалы Д.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Основная литература
Учебники и учебные пособия
1.Савельев И.В. Курс физики. Т. 1. СПб.: М.: Лань, 2008.
2.Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 2009.
3.Детлаф А.А. Курс физики / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. М.:
Высшая школа, 2009.
4. Яворский Б.М. Основы физики т.1,2. / Б.М. Яворский, А.А. Пинский. М.: Наука, 2009.
Сборники задач
5. Трофимова Т.И. Курс физики: задачи и решения. М.: Академия, 2009.
6.Иродов И.Е. Задачи по общей физике. СПб., М.: Лань, 2009.
7.Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике. СПб., М.: Лань, 2007.
8.Рогачев Н.М. Решение задач по курсу общей физики. СПб., М.: Лань, 2008.
9.Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. СПб., М.: Лань, 2009.
10.Фирганг Е.В. Руководство к решению задач по курсу общей физики. М.: Лань, 2009.
11.Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики с решениями. М.: Высш. школа, 2009.
10.Чертов А.Г. Задачник по физике / А.Г. Чертов, А.А. Воробьёв. М.: Физматлит, 2009.
Дополнительная литература
12.Трофимова Т.И. Краткий курс физики. М.: Высшая школа, 2010.
13.Сивухин Д.В. Общий курс физики, тт. 1-5, М.: Наука, 2009.
60
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
14.Фриш С.Э. Курс общей физики / С.Э. Фриш, А.В. Тиморева А.В. СПб., М.: Лань, 2008.
15.Калашников Н.П. Физика. Интернет-тестирование базовых знаний / Н.П. Калашников, Н.М. Кожевников. СПб., М.: Лань, 2009. Сайт Росаккредагенства www.fepo.ru
16.Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности. М.: Наука, 1977.
61