vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ В ФИЗИЧЕСКОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ

Цель обработки результатов - оценить полученный цифровой материал и привести его в удобные формы представления, которые позволяют быстро и качественно сопоставлять и анализировать различные результаты.

1. Формы и методы обработки результатов измерений

Важнейшим этапом программы эксперимента является выбор методов обработки и анализа экспериментальных данных.

Формами представления экспериментального материала могут служить таблицы, графики, номограммы, формулы.

Таблица, как правило, используется для записи результатов непосредственных измерений и результатов расчета параметров, если не используется автоматическая обработка данных с применением компьютера.

Основные методы обработки экспериментальных данных: графические, математические, критериальные и их сочетания.

Графические методы используются для наиболее наглядного представления экспериментальных результатов, понимания их физической сущности, выявления тенденции и общего характера функциональной связи между величинами, наглядного определения экстремума. Как правило, графические методы предшествуют обработке данных с помощью математического аппарата. При необходимости выполнять расчеты по полученным эмпирическим формулам от многих переменных рационально построение номограмм, завершающих процесс математической обработки данных.

Для графического изображения экспериментальных результатов, как правило, применяют систему прямоугольных координат.

Для более наглядного изображения нелинейных функций применяют полулогарифмические и логарифмические координаты сетки.

8

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Для изображения экстремумов функций необходимо использовать более плотную информацию об измеряемой величине.

Математические методы обработки и анализа данных применяются для оценок погрешностей и достоверностей установления критериев, доверительных интервалов, тесноты связей, эмпирических формул и т.д.

Критериальные методы обработки используют для получения оценки, распространяющейся не только на один полученный результат, но и на целый класс явлений. Обобщенная критериальная зависимость незаменима при изучении сложных систем при большом количестве варьируемых факторов. Критериальная обработка результатов позволяет сократить количество варьируемых факторов за счет их комбинаций в критерии подобия и тем самым уменьшить число необходимых экспериментов.

2. Аппроксимация экспериментальных данных

Важнейшей задачей физического эксперимента является установление функциональной зависимости между изучаемыми признаками, например, двумя переменными физическими величинами.

Графическое изображение точек на плоскости, конечно, позволяет наглядно представить динамику развития процесса, выявить определенные тенденции, но для обеспечения удобства последующего практическое использование полученных эмпирических результатов в вычислениях, математических моделях, задачах оптимизации и во многих других случаях необходимо решение ряда проблем.

Как правило, возникает необходимость интерполировать, или экстраполировать функциональную зависимость, т.е. найти значения функции соответствующие аргументу, лежащие внутри или вне области эксперимента. Имеющиеся погрешности эксперимента в значениях полученных величин желательно «сгладить». Это приводит к задаче построения аппроксимирующей (приближающей) функции, описывающей зависимость между

9

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

величинами, полученными в результате экспериментальных измерений. Формулы, изображающие такую функциональную зависимость, называются эмпирическими формулами.

Процесс построения аппроксимирующей функции состоит из двух этапов:

-выяснение общего вида приближающей функции;

-определение параметров, для которых приближение оказывается наилучшим.

В учебном физическом эксперименте, как правило, одной из задач является сопоставление полученных экспериментальных данных с теоретическими зависимостями, лежащими в основе лабораторной работы. Выбор аппроксимирующей функции определён законами (соотношениями), определяющими физические величины формулами из соответствующего раздела физики и однозначно определяет вид приближающей функции.

В случае лабораторной работы с элементами научно – исследовательского характера вид аппроксимирующей функции может быть произвольным.

Поэтому сначала полученные опытные точки наносятся на график и оцениваются визуально. Затем подбирается соответствующего вида кривая, желательно из числа наиболее простых элементарных функций с минимальным числом параметров.

После соответствующего выбора вида функции переходят к этапу определения параметров приближающей функции уже заданного вида одним из математических методов.

Основным принципом, при этом является необходимость прохождения кривой между измеренными точками так, чтобы некоторая заданная мера для отклонения оказалась минимальной. Эта задача является основной задачей выравнивания (сглаживания) результатов измерения и вывода эмпирических формул.

Существуют различные математические методы решения задачи аппроксимации. Наибольшее распространение получил метод наименьших квадратов, разработанный Гауссом. Его краткое изложение представлено в приложении 1. В компьютерной программе ЕХЕL реализация метода осуществляется при

10

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

использовании режима линии тренда и выбранного закона аппроксимации экспериментальных данных.

3. Оценка погрешностей измерений

Вычисление случайных погрешностей при прямых измерениях

При прямых измерениях значение искомой величины получают непосредственно по показаниям измерительного прибора. Так, например, длина измеряется линейкой, время по часам и т. д.

При проведении измерений величины х, из-за наличия случайных ошибок, получаем n различных значений: х1, х2, х3… хn

Истинным значением некоторой величины х принято считать среднее арифметическое значение этой величины.

x xèñò .

Разность между средним значением и результатом i – го измерения называют абсолютной погрешностью отдельного измерения величины х

Средняя абсолютная погрешность измерения величины х

Для характеристики точности измерений служит относительная ошибка, которую принято выражать в процентах или в частях целого

xx ּ100% .

Доверительный интервал – интервал значений величины х, внутри которого с определенной вероятностью, называемой доверительной, находится величина хист:

11

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

количеству точек в данном интервале, получим ступенчатую кривую (гистограмму).

Например, в выделенный интервал, заключенный между

значениями хi и хi + , попало ki точек и высота прямоугольника 1

равна ki.

Отношение площади выделенного прямоугольника к площади всех прямоугольников, т.е. ki /[(k1 + k2+ ... + kn) ] = ki /

n = ki/n, определяет вероятность того, что при проведении единичного измерения его результат окажется в интервале между хi

и xi + .

Гистограмму строят так, чтобы сумма площадей всех прямоугольников была равна единице (такая процедура называется нормировкой). Тогда вероятность попадания результата измерения в интервале от х1 до х2 равна суммарной площади прямоугольников, заключенных между х1 и х2.

Если неограниченно увеличивать число измерений n, а

интервал устремить к нулю, то в пределе нормированная гистограмма перейдет в непрерывную кривую (рис.2), которую называют кривой нормального распределения. Функция распределения определяется формулой Гаусса

Физический смысл остается тем же: площадь под любым участком кривой нормального распределения равна вероятности «попадания» результата измерения в интервал х, ограниченный этим участком.

Входящую в формулу Гаусса величину называют

стандартным отклонением, а 2 - дисперсией измерения.

При достаточно большом числе измерений стандартное отклонение (или средняя квадратичная ошибка) определяется по формуле

n

(xi x )2

i 1 n 1

13

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Средняя квадратичная ошибка используется, когда необходимо знать надежность полученных результатов.

В случае выполнения серии измерений, необходимо рассчитать средние арифметические x каждого отдельного

измерения и их средние квадратичные погрешности , а затем определить среднюю квадратичную погрешность серии

независимых прямых измерений одной и той же величины x по формуле

или средняя квадратичная ошибка среднего значения

n

xi x 2

x i 1n n 1

где: - средняя квадратичная ошибка каждого отдельного измерения, n – число измерений.

При выполнении лабораторных работ студенты могут использовать как среднюю абсолютную ошибку, так и среднюю квадратичную. Какую из них применять указывается непосредственно в каждой конкретной работе (или указывается преподавателем).

Обычно если число измерений не превышает 3 – 5, то можно использовать среднюю абсолютную ошибку. Если число измерений порядка 10 и более, то следует использовать более корректную оценку с помощью средней квадратичной ошибки.

Физический смысл средней квадратичной погрешности.

При любых численных значениях стандартного

самое, с вероятностью 68 % ошибка единичного измерения не

14

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

соответствует доверительная вероятность 95 %, а доверительному

Если ограничится доверительной вероятностью 68 %, то

величину стандартного отклонения используют для оценки случайной погрешности. При этом результат измерений величины х должен быть представлен в виде x .

Эта запись означает, что с вероятностью 68 % результат единичного измерения величины х окажется в интервале значений от ( x ) до ( x ).

Учет систематических ошибок

Увеличением числа измерений можно уменьшить только случайные ошибки опыта, но не систематические.

Максимальное значение систематической ошибки обычно указывается на приборе или в его паспорте. У неэлектрических приборов, имеющих шкалу с делениями, принимают в качестве систематической ошибки половину цены деления прибора. Для измерений с помощью обычной металлической линейки систематическая ошибка составляет не менее 0,5 мм. Приборы, имеющие дополнительную шкалу (нониус) имеют точность измерений соответствующую дополнительной шкале. Например, для измерений штангенциркулем – 0,1 – 0,05 мм; микрометром – 0,01 мм.

На шкалах электроизмерительных приборов указывается класс точности. Согласно ГОСТу, электроизмерительные приборы делятся по степени точности на семь классов: 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 4. Зная класс точности К, можно вычислить систематическую ошибку прибора ∆х по формуле

x xïð

100

15

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

где К – класс точности прибора в процентах, xпр – предельное значение величины, которое может быть измерено по шкале прибора.

Так, амперметр класса 0,5 со шкалой до 5А измеряет ток с ошибкой не более

Ответ с учетом систематических и случайных ошибок записывается в виде

x x ïîëí

Погрешность косвенного измерения

Если искомая физическая величина не может быть измерена непосредственно прибором, а посредством формулы выражается через измеряемые величины, то такие измерения называются

косвенными.

Как и при прямых измерениях можно вычислять среднюю абсолютную (среднюю арифметическую) ошибку или среднюю квадратичную ошибку косвенных измерений.

Общие правила вычисления ошибок для обоих случаев выводятся с помощью дифференциального исчисления.

Пусть физическая величина (x, y, z, ...) является функцией ряда независимых аргументов x, y, z, ..., каждый из которых может быть определен экспериментально. Путем прямых измерений

Средняя абсолютная погрешность косвенных измерений физической величины вычисляется по формуле

16

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

вычисленные для средних значений соответствующих аргументов. Так как в формуле использованы абсолютные величины всех

членов суммы, то выражение для оценивает максимальную погрешность измерения функции при заданных максимальных ошибках независимых переменных.

Средняя квадратичная погрешность косвенных измерений физической величины

Относительная максимальная погрешность косвенных измерений физической величины

Аналогично можно записать относительную среднюю

квадратичную погрешность косвенных измерений Если формула представляет выражение удобное для

логарифмирования (то есть произведение, дробь, степень), то удобнее вначале вычислять относительную погрешность .

Для этого (в случае средней абсолютной погрешности) надо проделать следующее.

1.Прологарифмировать выражение для косвенного измерения физической величины.

2.Продифференцировать его.

3.Объединить все члены с одинаковым дифференциалом и вынести его за скобки.

4.Взять выражение перед различными дифференциалами по

модулю.

17