Метод Ньютона (метод касательных)

Его отличие от предыдущего метода состоит в том, что на k-ой итерации вместо хорды проводится касательная к кривой y=F(x) при x=x₀ и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс. При этом не обязательно задавать отрезок [a;b], содержащий корень ур-ия, достаточно найти лишь некоторое начальное приближение корня x=x₀ . При этом

x₀=a , если f’(x)*f’’(x)<0 (убывающая функция) и

x₀=b, если f’(x)*f’’(x)>0 (возрастающая) на заданном отрезке.

Расчетная формула метода Ньютона имеет вид:

.

Критерий окончания итерационного процесса. При заданной точности >0 вычисления следует вести до тех пор, пока не окажется выполненным неравенство .

Пример 4

Уточнить корень уравнения x³-0.2x²+0.5x+1.5=0, лежащий на промежутке [-1; 0] c точностью до 0,001 методом касательных.

Так как f(-1)<0 и f(0)>0 и f’’(x)<0, то за начальное приближение принимаем x₀= –1.

Находим f’(x)=3x²-0.4x+0.5. Для вычислений используем таблицу:

n	xn	xn2	xn3	f(xn)	f’(xn)
0	-1	1	-1	-0.2	3.9	-0.051
1	-0.949	0.9006	-1.8547	-0.0093	3.5814	-0.0026
2	-0.9464	0.8957	-0.8477	-0.0004	3.5657	-0.00001
3	-0.94639

Ответ: x≈–0.946

Комбинированный метод

Данный метод состоит в объединении двух последних описанных методов. Целесообразность его состоит в том, что для непрерывных функций f(x) с непрерывными производными, не меняющими знака на отрезке [a,b], приближение к корню осуществляется с разных сторон.

Формулы для итерационных вычислений:

• Если f’(x)*f’’(x)>0 на отрезке [a,b] , то

• Если f’(x)*f’’(x)<0 на отрезке [a,b] , то

.

Вычисления прекращаются при выполнении условия: и корень уравнения равен половине отрезка [a_k+1, b_k+1].

Пример 5

Найти корень уравнения 8x⁴-32x+1=0 на отрезке [1, 2] с точностью 0.01, используя комбинированный метод.

На левом конце отрезка производная равна 0. Для выполнения расчетов следует сузить отрезок таким образом, чтобы в отрезке и на его концах производные функции были знакопостоянны и не равны 0. Возьмем отрезок [1.1, 2]. На концах отрезка функция принимает значения разных знаков, f’(x)>0 и f’’(x)>0. Значит, что уравнение имеет один корень на отрезке и можно воспользоваться формулами комбинированного метода.

a₀=1.1, b₀=2.

Разность

Продолжаем вычисления:

A₂=1.53; b₂=1.59

A₃=1.576; b₃=1.577.

Последние значения имеют разность 0,02<2ε

Ответ: X≈(1,576+1,577)/2=1,5765.

Метод простой итерации (метод последовательных повторений)

Для применения метода простой итерации следует исходное уравнение преобразовать к виду, удобному для итерации x=φ(x): на отрезке [a,b].

Функция φ(x) называется итерационной функцией. Эта замена может быть выполнена по формуле: , где и знак k совпадал бы со знаком f’(x) на отрезке [a,b].

Расчетная формула метода простой итерации имеет вид: .

Критерий окончания итерационного процесса. При заданной точности >0 вычисления следует вести до тех пор, пока не окажется выполненным неравенство: .

Пример 6

Уточнить корень уравнения 2x+lg(2x+3)=1, лежащий на промежутке [0; 0.5] c точностью до 0,0001.

Для уточнения корня методом итераций приведем уравнение к виду .

Функцию будем искать из соотношения .

Находим f(x)=2x+lg(2x+3)-1; f’(x)=2+0.8686/(2x+3);

;

f’(x)>0 на интервале [0; 0.5].

Примем k=2, тогда .

За начальное приближение возьмем x₀=0, все остальные приближения будем определять из равенства .

Вычисления удобно располагать в таблице:

n	xn	2xn+3	lg(2xn+3)	½*lg(2xn+3)
0	0	3	0.4771	0.2386
1	0.2614	3.5228	0.5469	0.2734
2	0.2266	3.4532	0.5382	0.2691
3	0.2309	3.4618	0.5394	0.2697
4	0.2303	3.4606	0.5392	0.2696
5	0.2304

Ответ: x≈0.2304

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1

Построить блок-схему решения уравнения методом половинного деления.

Задача 2

Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом половинного деления с точностью до 0,01.

1. 2^x+5x-3=0;

2. 3x⁴+4x³-12x²-5=0;

3. e^-2x-2x+1=0;

4. .

Задача 3

Построить блок-схему решения уравнения методом хорд.

Задача 4

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом хорд с точностью до 0,001.

1. x-sin x=0.25;

2. tg(0.58x+0.1)=x²;

3. ;

4. .

Задача 5

Построить блок-схему решения уравнения комбинированным методом.

Задача 6

Отделить корни уравнения любым способом и уточнить один из них методом касательных с точностью до 0,001 (воспользоваться вариантами Задачи 2).

Задача 7

Построить блок-схему решения уравнения методом итераций.

Задача 8

Отделить корни уравнения любым способом и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001.

1. Ln x+(x+1)³=0;

2. x*2^x=0;

3. ;

4. x²+4sin x=0.

1 Дихотомия – в переводе с греческого – разделяю на две части.