физика Литвинова н. н. электромагнетизм конспект ответы ВОЛНОВАЯ ОПТИКА / Общие правила выполнения ЛР

vk.com/club152685050

Выводим окончательную формулу для систематической погрешности θR:

Ответ: R = (0,083±0,003) м.

Пример 4

Проводится косвенное измерение постоянной Стефана–Больцма- на σ. Для этого измеряются падение напряжения U на лампе накаливания, ток через эту лампу I и температура нити накаливания Т. Диапазон измерения напряжений 0–30 В, класс точности вольтметра KU = 1; т. е. QU = 0,3 В. Диапазон измерений тока 0–3 A, класс точности амперметра KI = 0,5; т. е. QI = 0,015 A. Диапазон измерения температуры 1000–2000 К, класс точности KТ = 1; т. е. QТ = 20 К. Коэффициент серости вольфрама a = 0,4; площадь излучающей поверхности S = 2 · 10–5 м2. Запишем результаты прямых измерений и данные с установки:

31

vk.com/club152685050

U = 6,3±0,3B; I = 0,750±0,015A; T =1860±20Ê; a = 0,4; S =10−5ì2.

Решение. Формула Стефана–Больцмана для серого тела:

R = a σT4, ãäå R −энергетическая светимость;

щих слагаемых равны единице. Температура входит в упомянутую функцию в четвертой функции, значит, перед относительной погрешностью температуры должен быть множитель 4.

Ответ: σ = (4,9±0,6) · 10– 8 Вт/м2К4.

Пример 5

Проводится косвенное измерение электроемкости конденсатора C. Для этого сравниваются показания гальванометра n = 31 для исследуемого конденсатора и n0 = 34 и для конденсатора с известной электроемкостью C0 = 4700 пФ.

Класс точности гальванометра K = 1,5. Диапазон измерений

nmax = 50.

Решение. Неизвестная электроемкость C выражается через известную – C0 по формуле

C = C0n, n0

32

vk.com/club152685050

и, таким образом, является функцией двух переменных C = C(n, n0). Обе эти переменные входят в функцию в первой степени, поэтому оба коэффициента κ1 и κ2 в формуле (4) равны единице.

Систематические погрешности θn и θn0 вычисляем по формуле (1а)

θn = θn0 = K100nmax = 1,1005 50 = 43.

Вычисляем электроемкость и погрешность по этим формулам

C = 470034 31 =4280 ( ïÔ),

θC = 4280 031,75 + 034,75 = 4280(0,024+0,022)= 200 ( ïÔ).

Окончательное значение электроемкости нужно округлить до соответствующего десятичного разряда

Ответ: C = (4300 ± 200) пФ.

Пример 6

Проводится косвенное измерение электрической постоянной ε0 в системе СИ. Для этого на специально собранной установке измеряется напряжение U вольтметром (класс точности 2,5, диапазон измерений 15 В), угол отклонения магнитной стрелки β компасом (класс точности не указан, диапазон ±180°) и горизонтальная составляющая напряженности магнитного поля Земли НЗемли (косвенное измерение, проведенное ранее). Результаты измерений:

U = (12,0 ± 0,4) В, β = (6,0 ± 0,5)°, НЗемли = (10,7 ± 0,5) А/м. Решение. Электрическая постоянная вычисляется по формуле

ε = κ′2R HЗемли tgβ.

0 NνU

В этой формуле κ′=4,5 · 10–7 м–1 – константа установки; R =0,2 м – радиус катушки; N = 36 – количество витков провода в катушке, ν = 50 Гц – количество переключений схемы в секунду. Предварительное вычисление дает

ε0 = 4,5 10−7 2 0,2 10,7 0,105 =9,4 10−12 (Ô/ì). 36 50 12

33

vk.com/club152685050

Для вычисления систематической погрешности найденной величины учтем, что измеряемый угол β мал. Поэтому, тангенс этого угла можно заменить значением угла, выраженным в радианах1

tgβ =β.

Таким образом, ε0 = ε0(H, U, β), причем все три переменные входят в функцию множителями в первой степени

ε0 = κN′2νR HЗемлиU β.

Выразим с помощью формулы (4) систематическую погрешность величины ε0 через значение самой величины и относительные погрешности НЗемли, β и U.

Существенно, что относительные погрешности представляют собой дроби. Поэтому, значения в эту формулу можно подставлять в любых единицах измерения, не обязательно в СИ. Важно только, чтобы в числителе и знаменателе единицы измерения были одинаковыми. Таким образом, погрешность угла θβ и сам угол β подставляем в эту формулу в градусах, а не в радианах, как это было сделано в примере 2.

Ответ: ε0 = (9,4 ± 1,6) · 10–12 Ф/м.

Пример 7

Проводится косвенное измерение постоянной Холла. Для этого на специально собранной установке измеряется ток i, текущий через образец, помещенный в магнитное поле с индукцией B, и возникающая при этом ЭДС Холла. Магнитная индукция определяется по току I в обмотке соленоида с использованием градуировочного графика B(I).

Ток в соленоиде измеряется амперметром с классом точности 0,5 . Этот прибор обеспечивает измерение тока с относительной погреш-

1 Такая замена допустима при вычислении погрешности, но не желательна при вычислении самой величины ε0.

34

vk.com/club152685050

ностью 0,5%. Магнитная индукция, определяется таким способом с относительной систематической погрешностью 1% – θB = 0,01 · B.

Ток через образец определяется миллиамперметром с классом точности K =1. Предел измерения тока – 5 мА. Таким образом, систематическая погрешность тока в образце составляет θI = 0,01 · Imax = = 0,05 мА.

ЭДС Холла определяется цифровым вольтметром, работающим в диапазоне до 200 мВ и имеющем класс точности K = 0,4. Таким образом, систематическая погрешность измерения холловской ЭДС составляет

θε = 0,004 · 200 = 0,8 мВ.

R = iε Bb

В этой формуле b – толщина образца. Результаты измерений и данные установки:

B = (0,285±0,003) Тл, i = (0,75±0,05) мА, ε = 36,8 ±0,8 мВ, b = 0,8 мм. Решение. Предварительное вычисление постоянной Холла дает

Постоянная Холла, определяемая в опыте, является функцией трех переменных R = R(B, i, ε). Каждая из упомянутых переменных входит в функцию множителем первой степени. Поэтому систематическая погрешность θR выражается через значение самой функции и через относительные погрешности этих переменных со всеми коэффициентами κ в формуле (4), равными единице.

θR = R θBB + θii + θεε

Вычисление по этой формуле дает:

Ответ: R = (138 ± 14) · 10–3 Ом · м/Тл.

Пример 8

Проводится косвенное измерение концентрации свободных носителей в проводнике. Для этого на специально собранной установке измеряется постоянная Холла. Результаты измерений: R = (138 ±

± 14) · 10–3Ом · м/Тл

35

vk.com/club152685050

n = 83eRπ , θn = n θRR .

Здесь e = 1,602 · 10–19 Кл – элементарный заряд. Вычисляем по формулам:

Ответ: n = (5,3 ± 0,6) · 1019 (1/м3).

Пример 9

Проводится косвенное измерение электроемкости конденсатора C. Для этого сравниваются показания гальванометра n для исследуемого конденсатора и n0 и для конденсатора с известной электроемкостью C0 = 4700 пФ.

В табл. 2 даны результаты прямых измерений отбросов гальванометра n0 и n для известной – C0 и для неизвестной – C электроемкостей.

Решение. Найдем средние значения для прямых измерений n0 и n.

Находим средние квадратичные отклонения этих величин.

Sn0 = ∑(n0 −ni )2N(N−1).

Sn0 = ((34−34)2 +(34−34)2 +(34−35)2 +(34−34)2 +(34−33)2)5(5−1) = = ∑((0)2 +(0)2 +(−1)2 +(0)2 +(1)2 )5(5−1) = 220 ≈0,3.

36

vk.com/club152685050

Sn = ∑(n−ni )2N(N−1).

Sn = ((31,2−30)2 +(31,2−31)2 +(31,2−31)2 +(31,2−32)2 +(31,2−32)2 )20 = = ∑((1,2)2 +(0,2)2 +(0,2)2 +(0,8)2 +(0,8)2 )20 = 2,820 ≈0,4.

Неизвестная электроемкость C выражается через известную – C0 и через прямые измерения отбросов гальванометра n0 и n по формуле

C = C0n. n0

Предварительное вычисление по этой формуле дает

C = 4700 31,2 = 4313(ïÔ). 34

Измеренное значение электроемкости является функцией двух переменных C = C(n, n0), поэтому случайная погрешность этой величины выражается через случайные погрешности прямых измерений Sn0 , Sn и частные производные по переменным n0 и n.

= Cn00n 2 Snn00 2 + Cn00n 2 Snn 2 = Cn00n Snn00 2 + Snn 2

SC = C Snn00 2 + Snn 2.

37

vk.com/club152685050

Пример 10

Проводится косвенное измерение горизонтальной составляющей напряженности магнитного поля Земли. Для этого с помощью витка с током, ориентированного вдоль магнитного меридиана, создается магнитное поле, перпендикулярное полю Земли. В центр витка помещается компас, стрелка которого показывает направление напряженности результирующего поля. Тангенс угла отклонения стрелки равен отношению напряженности магнитного поля витка к напряженности внешнего магнитного поля

Вэтой формуле I – ток, R = 0,2 м – радиус витка, N = 36 – количество витков провода.

Втабл. 3 даны результаты прямых измерений тока I и угла α отклонения магнитной стрелки. Приведены результаты для двух направлений тока по витку.

Горизонтальную составляющую напряженности магнитного поля Земли находим по формуле

HЗемли = IN ctgαcp .

2R

Требуется найти горизонтальную составляющую напряженности магнитного поля Земли НЗ и среднее квадратичное отклонение SH этой величины.

Решение. Вычисляем пять значений НЗ для каждого значения тока и угла отклонения стрелки компаса αср. Данные первичной обработки приведены в табл. 4.

Теперь найдем среднее значение напряженности магнитного

38

vk.com/club152685050

Зная его, можно вычислить среднее квадратичное отклонение:

39

vk.com/club152685050

Приложение 2

Примеры обработки результатов измерений методом наименьших квадратов

Пример 11. Проверка закона Стефана–Больцмана:

R = σ · T4,

где R – энергетическая светимость (выражается через мощность Р излучения и площадь S поверхности – R = P/S), Т – абсолютная температура в Кельвинах, σ – константа Стефана–Больцмана. Для серой (не абсолютно черной) поверхности в правой части уравнения появится еще множитель а – коэффициент серости. С учетом всего вышесказанного запишем:

PS = a σ T4; P = (aσS) T4 = const T4.

Логарифмируем получившееся выражение и обозначаем ln(Const)= C:

ln P = lnConst+lnT4 = C+4lnT.

Вводя обозначение ln P = y, lnT = x, получаем в координатах (х;у) уравнение прямой с угловым коэффициентом k = 4:

y = C + 4 · x

Экспериментальная проверка закона Стефана–Больцмана состоит в проверке именно этого коэффициента. Для этого нужно провести серию измерений электрической мощности лампы в зависимости от температуры нити накаливания P(T).

Мощность лампы измеряется косвенно: непосредственно измеряются падение напряжения U и ток через лампу I, затем вычисляем P = I · U. Температура нити накала измеряется пирометром. Этот прибор измеряет яркостную температуру в градусах Цельсия. Показания прибора нужно перевести в кельвины и пересчитать яркостную температуру в истинную. Эта процедура описана в лабораторной работе: Проверка законов теплового излучения.

Считаем, что все сказанное уже проделано, имеется серия измерений P(T). Результаты приведены в табл. 5. Там же приведены натуральные логарифмы lnP и lnT. На рис. 10 показана получившаяся зависимость в логарифмических координатах. Каждое измерение температуры и мощности имеет свою погрешность. Эти погрешности указаны на рисунке вертикальными и горизонтальными отрезками. Требуется проанализировать имеющиеся данные и сделать заключение о их соответствии закону Стефана–Больцмана.

40