5. Дати поняття про “число степенів свободи” і про “число зв’язків”. Показати, які зв’язки є при порівнянні емпіричних і очікуваних частот (у критерії Пірсона).

Число степеней свободы (ЧСС) равно разности между числом случайных величин и числом линейных связей, наложенных на эти величины. В критерии согласия Пирсона рассматриваются разности , число которых равно k – числу (укрупненных) интервалов. Суммы наблюдаемых и теоретических частот одинаковы и равны общему числу наблюдений n , откуда имеем первую связь: . Центр теоретического распределения совмещен с центром выборки , откуда имеем вторую связь: . Наконец, для двухпараметрических законов уравнивается также мера изменчивости теоретическая и выборочная , откуда добавляется еще одна связь: . Здесь x_i – центры заданных интервалов, т. е. неслучайные коэффициенты.

5. Обґрунтувати умови, що необхідні для коректного застосування критерію Пірсона (врахувати особливості розподілу Бернуллі – Пуасона – Лапласа).

Прежде всего, обеспечиваем выполнение условия , для чего расширяем границы крайних интервалов (если требуется, до ). Число интервалов должно быть достаточно большим, чтобы в каждый интервал попало не более 10% наблюдений, т.е. . Тогда частоты m_i в каждом интервале будут распределены по закону Пуассона с характеристиками . С другой стороны, предполагается, что в каждый интервал попадает не менее 5-и наблюдений, для чего малонасыщенные интервалы укрупняем (объединяем с соседними). Тогда распределение Пуассона будет близким к распределению Лапласа (нормальному распределению), стандартизованные величины будут распределены нормально с нулевым мат. ожиданием и единичной дисперсией, следовательно, сумма квадратов этих величин будет иметь распределение Пирсона ². Несколько противоречивые требования могут быть удовлетворены только для больших выборок n  200. Для выборок меньшего размера условие не выполняется, частоты m_i в каждом интервале распределены по биномиальному закону (Бернулли) с характеристиками и в статистике Пирсона следует учесть поправку: .

5. Показати, як визначаються границі 90%–вого довірчого інтервалу на генеральну дисперсію за допомогою розподілу Пірсона.

Если Х распределено нормально, то статистика распределена по закону Пирсона ² с ЧСС = n – 1, потому с вероятностью 90% она заключна в пределах , откуда получаем 90%-ные границы на дисперсию совокупности: .

5. *Дати поняття про критерій узгодження Колмогорова – Смирнова.

Простой критерий Колмогорова – Смирнова основан на сравнении кумуляты с интегральной функцией теоретического закона. Найдем максимальное расхождение . Если статистика окажется больше 1,63 , теоретический закон отвергается, а если 1,36 – принимается. Корректное применение критерия предполагает известными параметры теоретического закона, а не определять их по выборочным данным (как в критерии Пирсона).

5. Дати поняття про нормальну імовірнісну криву, показати, як вона будується і використовується.

Для візуальній перевірки відповідності нормальному розподілу використовується графічний метод, який заснований на порівнянні кумуляти і інтегральної функції нормального закону. На краях укрупнених інтервалів s_i (у які повинно потрапити не менш 5-и спостережень) обчислюються ординати кумуляти F(s_i); передбачається, що ці значення породжені нормальним законом розподілу F(s_i) = (t_i) + ¹/₂ , звидки визначаються значення (t_i) = F(s_i) – ¹/₂ ; далі за таблицею інтегральної функції Лапласа знаходяться відповідні t_i і будується графік s_i – t_i . Для нормального закону цей графік являє собою прямую , чи . Якщо точки (s_i , t_i ) явно не групуються навколо деякий прямій, гіпотеза про нормальність розподілу відкидається. У такому випадку вид графіка нормальної імовірнісної кривої підказує, після якого функціонального перетворення змінної розподіл стане ближче до нормального.