5. *Дати поняття про квантілі розподілу, показати, як визначаються медіана і квартілі. Описати “вусату коробку” Тьюки.

Квантили – границы равнонасыщенных интервалов. Квартили – границы 4-х равнонасыщенных интервалов по 25% наблюдений в каждом. Средняя квартиль называется также медианой. По определению P(X > x_) =  или P(X  x_) = 1 – , откуда следует способ вычисления квантилей с помощью кумуляты: F(x_) = 1 – , в частности, F(x_0,75) = 0,25, F(Ме) = 0,50, F(x_0,25) = 0,75. По предложению Дж. Тьюки особенности распределения достаточно информативно описываются диаграммой «Ящик и усы». Границами «ящика» являются нижняя x_0,75 и верхняя x_0,25 квартили, средняя линия ящика – медиана; «усы» простираются до x_min и x_max , но не далее полутора межквартильного размаха от границ ящика. Точки за пределами «усов» считаются выбросами.

5. Розповісти, як за даними вибірки знайти параметри теоретичного закону розподілу і як по обраному законі розрахувати очікувані частоти попадання випадкової величини в задані інтервали (за допомогою диференційної й інтегральної функцій розподілу).

Оценки параметров выбранного закона распределения определяются методом моментов – теоретические моменты распределения приравниваются их выборочным оценкам; число таких соотношений (связей) равно числу параметров теоретического закона. Нормальный и равномерный законы распределения зависят от двух параметров, для их определения вводятся две связи: . Например, для равномерного закона эти соотношения имеют вид: , откуда определяются параметры a и b. Показательный закон распределения зависит только от одного параметра, который определяется из уравнения . Зная параметры теоретического закона, рассчитываются значения дифференциальной функции распределения (для центров интервалов) и интегральной функции (для правых краев интервалов). Теоретические частоты попадания случайной величины в заданные интервалы в соответствии с выбранным законом распределения, определяются с помощью интегральной теоремы . Если интервалы достаточно узкие, то приближенно  , где h_i – ширина интервала.

5. Дати поняття про розподіл Пірсона, про критерій узгодження Пірсона, описати послідовність розрахунків за критерієм Пірсона.

Если х_i распределены нормально с нулевым мат. ожиданием и единичной дисперсией N(x_i; 0; 1), то сумма квадратов таких величин распределена по закону Пирсона, который зависит от единственного параметра – числа степеней свободы (ЧСС). Область случайной изменчивости этой статистики ; В критерии согласия Пирсона сравниваются частоты попадания случайной величины в заданные интервалы: эмпирические – m_i и соответствующие предполагаемому закону распределения – . Статистика при выполнении некоторых условий распределена по закону Пирсона с ЧСС = k – 1 – p, где k – число интервалов, p – число параметров теоретического закона. Если вычисленное значение ² попадает в интервал , нуль-гипотеза об отсутствии значимых различий между двумя рядами частот не может быть отвергнута; считаем, что проверяемый закон соответствует данным. Если , нуль-гипотеза отвергается; проверяемый закон отклоняется, так как он неудовлетворительно описывает распределение данных. Если соответствие слишком хорошее , возникает сомнение в достоверности данных. Все остальные случаи являются областями неопределенности критерия.